廣西桂林市2021-2022學年高一上學期期末考試數(shù)學試題

桂林市2021~2022學年度上學期期末質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學一?單項選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一個選項是符合題目要求的.1.下列關系中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集以及有理數(shù)集的含義判斷數(shù)與集合的關系.【詳解】對于A，，所以A錯誤；對于B，不是整數(shù)，所以，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，因為不含任何元素，則，所以D錯誤.故選：C.2.命題“，有”的否定是（）A.，使 B.，有C.，使 D.，使【答案】D【解析】【分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結論，即可知正確選項.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴原命題的否定為.故選：D3.要完成下列兩項調(diào)查：（1）某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關消費購買力的某項指標；（2）從某中學高一年級的10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學習情況；應采用的抽樣方法分別是（）A.（1）用簡單隨機抽樣，（2）用分層隨機抽樣 B.（1）（2）都用簡單隨機抽樣C.（1）用分層隨機抽樣，（2）用簡單隨機抽樣 D.（1）（2）都用分層隨機抽樣【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡單隨機抽樣、分層抽樣的適用條件進行分析判斷.【詳解】因為有關消費購買力的某項指標受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣；從10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學習情況，個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機抽樣.故選：C4.在同一坐標系中，函數(shù)與大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，只有B滿足.故選：B.5.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對于ACD，舉例判斷即可，對于B，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】解：對于A，令，，滿足，但，故A錯誤，對于B，∵，∴，故B正確，對于C，當時，，故C錯誤，對于D，令，，滿足，而，故D錯誤.故選：B.6.“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關系，判斷“x>1”與“x>0”的關系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.7.甲、乙兩人破譯一份電報，甲能獨立破譯的概率為0.3，乙能獨立破譯的概率為0.4，且兩人是否破譯成功互不影響，則兩人都成功破譯的概率為（）A.0.5 B.0.7 C.0.12 D.0.88【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙分別能獨立破譯的概率為和，且兩人是否破譯成功互不影響，則這份電報兩人都成功破譯的概率為.C.8.若，則的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】采用拼湊法，結合基本不等式即可求解.【詳解】因為，，當且僅當時取到等號，故的最小值是3.故選：C9.已知函數(shù)，則，（）A.4 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計算可得；【詳解】解：因為，，所以，所以故選：D10.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A.（-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1） D.（1，2）【答案】C【解析】【分析】利用零點存在性定理判斷即可.【詳解】易知函數(shù)的圖像連續(xù)，，由零點存在性定理，排除A；又，，排除B；，，結合零點存在性定理，C正確故選：C.【點睛】判斷零點所在區(qū)間，只需利用零點存在性定理，求出區(qū)間端點的函數(shù)值，兩者異號即可，注意要看定義域判斷圖像是否連續(xù).11.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可解出．【詳解】因為，，，所以．故選：D．12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】令，則有或，在上的減區(qū)間為，故在上的減區(qū)間為，選A．二?多項選擇題：本題共3小題，每小題4分，共12分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.13.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)的有（）．A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可得解.【詳解】對于A：定義域為，關于原點對稱，是奇函數(shù)，不滿足題意；對于B：定義域為R，關于原點對稱，，，是偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足題意；對于C：定義域為R，關于原點對稱，，，是奇函數(shù)，不滿足題意；對于D：定義域為，關于原點對稱，，，是偶函數(shù)，當時，，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為增函數(shù)，滿足題意.故選：BD.14.從裝有2個紅球和2個白球的口袋中任取2個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.恰有1個紅球與恰有2個紅球 B.至少有1個白球與都是紅球C.恰有2個紅球與恰有2個白球 D.至少有1個紅球與至少有1個白球【答案】AC【解析】【分析】由題意知所有的實驗結果為：“都是白球”，“1個白球，1個紅球”，“都是紅球”，再根據(jù)互斥事件以及對立事件的定義判斷，即可得答案．【詳解】A、“恰有1個紅球”和“恰有2個紅球，這兩事件不會同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，故二者是互斥而不對立的事件，故A對；

B、“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，與“都是紅球”是對立事件，故B不對；

C、“恰有2個紅球”發(fā)生時，“恰有2個白球”不會發(fā)生，二者互斥，但在一次實驗中還可能二者都不發(fā)生，即不可能必有一個發(fā)生，故二者不是對立事件，故C對；

D、“至少有1個紅球”和“至少有1個白球”都包含“1個白球，1個紅球”的情況，二者不是互斥事件，故D不對；

故選：AC．15.已知是定義域為的奇函數(shù)，函數(shù)，，當時，恒成立，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的圖象與x軸有2個交點C.D.不等式的解集為【答案】BC【解析】【分析】變換得到，函數(shù)單調(diào)遞減，A錯誤，計算，B正確，根據(jù)結合奇偶性得到C正確，解不等式得到D錯誤，得到答案.【詳解】，兩邊同時除以得，即，，則在上單調(diào)遞減，A錯誤；因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞減，且，B正確.由得，即，即，C正確.不等式的解集為，D錯誤.故選：BC.三?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.16.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得到，求出的值，進而代入數(shù)據(jù)即可求出結果.【詳解】由題意可知，即，所以，即，所以，因此，故答案為：.17.函數(shù)的定義域為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次根式和分式有意義的要求可得不等式組，解不等式組可求得結果.【詳解】由題意得：，解得：且，即的定義域為.

故答案為：.18.已知，用m，n表示為___________.【答案】【解析】【分析】結合換底公式以及對數(shù)的運算法則即可求出結果.詳解】，故答案為：.19.已知，若，則的最小值是___________.【答案】16【解析】【分析】乘1后借助已知展開，然后由基本不等式可得.【詳解】因為，所以當且僅當，，即時，取“=”號，所以的最小值為16.故答案為：1620.已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為________.【答案】3.2【解析】【分析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結果.【詳解】因為該組數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因為，所以該組數(shù)據(jù)的方差為．故答案為：.四?解答題：本大題共7小題，共70分，解答應給出文字說明?證明過程及演算步驟.21.已知全集.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)交集計算可得.（2）根據(jù)補集與并集的計算可得.【小問1詳解】由己知，所以【小問2詳解】∵，所以，所以.22.已知函數(shù)，.（1）利用定義證明函數(shù)單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）證明見詳解；（2）最大值；最小值.【解析】【分析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判斷的符號，進而可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用（1）中的結論可求得函數(shù)的最大值和最小值.【詳解】（1）任取、且，因為，所以，，，，，，即，因此，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；（2）由（1）知，當時，函數(shù)取得最小值；當時，函數(shù)取得最大值.【點睛】關鍵點睛：求函數(shù)的最值利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵.23.為適應新冠肺炎疫情長期存在的新形勢，打好疫情防控的主動仗，某學校大力普及科學防疫知識，現(xiàn)需要在2名女生?3名男生中任選2人擔任防疫宣講主持人，每位同學當選的機會是相同的.（1）寫出試驗的樣本空間，并求當選的2名同學中恰有1名女生的概率；（2）求當選的2名同學中至少有1名男生的概率.【答案】（1）樣本空間答案見解析，概率是（2）【解析】【分析】（1）將2名女生，3名男生分別用a，b；c，d，e表示，即可列出樣本空間，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）設事件“當選的2名同學中至少有1名男生”，事件“當選的2名同學中全部都是女生”，事件B，C為對立事件，利用古典概型的概率公式求出，最后根據(jù)對立事件的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：將2名女生，3名男生分別用a，b；c，d，e表示，則從5名同學中任選2名同學試驗的樣本空間為，共有10個樣本點，設事件“當選的2名同學中恰有1名女生”，則，樣本點有6個，∴.即當選的2名同學中恰有1名女生的概率是【小問2詳解】解：設事件“當選的2名同學中至少有1名男生”，事件“當選的2名同學中全部都是女生”，事件B，C為對立事件，因為，∴，∴.即當達的2名同學中至少有1名男生的概率是.24.某種產(chǎn)品的成本是50元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價（單位：元）與產(chǎn)品的日銷售量（單位：件）之間有如下表所示的關系：/元60708090/件80604020（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷是否適合作為與的函數(shù)模型，并說明理由；（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少時日利潤（單位：元）最大，并求最大值.【答案】（1）適合，理由見解析.（2）當每件產(chǎn)品售價為75元時日利潤最大，且最大值為1250.【解析】【分析】（1）把，分別代入，求得，再代入檢驗成立；（2）設日利潤為（單位：元），由（1）求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值.【小問1詳解】解：適合，理由如下：把，分別代入，得解得則，把，分別代入，檢驗成立.【小問2詳解】解：設日利潤為（單位：元），則，當時，，則當每件產(chǎn)品的售價為75元時日利潤最大，且最大值為1250.25.某校對100名高一學生的某次數(shù)學測試成績進行統(tǒng)計，分成五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中a值；（2）估計該校高一學生這次數(shù)學成績的眾數(shù)和平均數(shù)；（3）估計該校高一學生這次數(shù)學成績的75%分位數(shù).【答案】（1）（2）眾數(shù)為，平均數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；可得，（2）根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念和平均數(shù)的計算公式，即可求解；（3）因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，結合百分數(shù)的計算方法，即可求解.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念，可得眾數(shù)為，平均數(shù)為.【小問3詳解】解：因為50到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，所以75%分位數(shù)為.26.已知函數(shù)的圖象恒過定點A，且點A又在函數(shù)的圖象上.（1）求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象的平移變換可得點A坐標，然后代入函數(shù)可解；（2）將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，作圖可解.【小問1詳解】函數(shù)的圖象可由指數(shù)函數(shù)的圖象，向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到.因為函數(shù)的圖象過定點，故函數(shù)的圖象恒過定點，又因為A點在圖象上，則∴解得【小問2詳解】，若函數(shù)有兩個零點，則方程有兩個不等實根，令，，則它們的函數(shù)圖象有兩個交點，由圖可知：，故b的取值范圍為.27.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，且函數(shù)在上最小值為，求的值.【答案】（1）0（2）（3）2.【解析】【分析】（1）是定義域為的奇函數(shù),由，得到的值；（2）根據(jù)得到的范圍，從而得到的單調(diào)性，結合的奇偶性，得到將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，通過得到的范圍；（3）由得到，從而得到解析式，令，得到，動軸定區(qū)間分類討論，根據(jù)最小值為，得