人教A版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與公式大全

人教A版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與公式大全（按照教學(xué)順序）

必修一

第一章集合與函數(shù)概念

1.集合

1.1集合的概念及其表示

⑴.集合中元素的三個(gè)特征：

①.確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.

②.互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.

③.無序性：即集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換。

⑵.元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于（用符號(hào)“且”表示）和不屬于（用符號(hào)"g”表示）.

⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法.

（4）.常見的數(shù)集及其表示符號(hào)

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

表示符號(hào)NN*或N.ZQR

1.2集合間的基本關(guān)系

性質(zhì)符號(hào)表示

空集空集是任何集合的子集0CA

空集是任何非空集合的真子集0<ZA(AW0)

相等集合A與集合B所有元素相同A=B

子集集合A中的任何一個(gè)元素均是集合B中的元素A^B

真子集集合A中的任何一個(gè)元素均是集合B中的元

素，且B中至少有一個(gè)元素在A中沒有

1.3集合之間的基本運(yùn)算

符號(hào)表示集合表示

并集A<JB{x|XEA或XeB}

交集{x|xeA且xeB}

補(bǔ)集且

CVA{x|XGUXA}

【重要提醒】

1.若有限集A中有八個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2",真子集的個(gè)數(shù)為2"—1.

2.AQB^AHB=A<=>AUA(^B)=0<^>AU(=U.

3.奇數(shù)集：{x|x=2〃+1,”eZ}={x|x=2”一1,〃wZ}={x|x=4〃±l.〃wZ}.

4.德?摩根定律：①并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即既(AUB)=(uA)n(?〃B)：

②交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即瘠(40砌=(*)U(?“B).

2.函數(shù)及其表示

2.1函數(shù)與映射的相關(guān)概念

函數(shù)映射

兩個(gè)集合

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合

A、B

按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使對(duì)于集按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合

對(duì)應(yīng)關(guān)系合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合8中A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有

都有唯一確定的數(shù)式X)和它對(duì)應(yīng)唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱/：ATB為從集合A到集合B的一稱為從集合4到集合B的一個(gè)映

名稱

個(gè)函數(shù)射

記法y=於)，

注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義

域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn).

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xWA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相

對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合［/(x)|xWA}叫做函數(shù)的值域.

(3)構(gòu)成函數(shù)的三要素：函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(4)函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.

解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；

列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；

圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.

2.2函數(shù)的三要素

(1).函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的

要求為：

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4))，=x°的定義域是{M#0}.

(2).函數(shù)的解析式

(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對(duì)于不是y=/(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)

化為該形式.

(2)求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求

出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)誤.

(3).函數(shù)的值域

函數(shù)的值域就是函數(shù)值構(gòu)成的集合，熟練掌握以下四種常見初等函數(shù)的值域：

(1)一次函數(shù)y^kx+b(k為常數(shù)且后0)的值域?yàn)镽

k

(2)反比例函數(shù)y=為常數(shù)且原0)的值域?yàn)?-8,0)U(0,+oo).

x

(3)二次函數(shù))，=以^+法+以“，h,c為常數(shù)且存0),

4ac—h~

當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)椤?+oo)；當(dāng)。<0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?/p>

4a

4ac-b'

(-00,~7a~

求二次函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)掌握配方法：y=aJC2+bx+e=a(x+—)2+

2a4a

2.3分段函數(shù)

分段函數(shù)的概念

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，則這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)基本性質(zhì)

3.1函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)7U)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上

的任意兩個(gè)自變量的值為，X2

定義當(dāng)加令2時(shí)，都有於1)磯T2)，那

當(dāng)XI42時(shí)，都有《XI)4X2)，那

么就說函數(shù)處T)在區(qū)間D上是增函

么就說函數(shù)7U)在區(qū)間。上是減函數(shù)

數(shù)

V如)

圖象「1)\J(X2)

01~%~x

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)"滿足

(1)對(duì)于任意的xe/,都〃x)WM；(3)對(duì)于任意的xe/,都

條件

(2)存在使得/(七)=M(4)存在使得/伍)="

結(jié)論M為最大值M為最小值

注意：(1)函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；

(2)若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最

值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.

函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(1)若〃x),g(x)均為區(qū)間4上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)

函數(shù)；

⑵若女>(),則妙(x)與/(x)的單調(diào)性相同；若&<0,則妙(x)與“X)單調(diào)性相反;

1

(3)函數(shù)y=/(￡)(/(x)>0)在公共定義域內(nèi)與》=一,，(x),y=——的單調(diào)性相反;

/(x)

(4)函數(shù))=/(￡)(/(x)“)在公共定義域內(nèi)與尸JTTS的單調(diào)性相同;

(5)一些重要函數(shù)的單調(diào)性：

①)二%+^的單調(diào)性：在和［1,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減;

b和［聆,+8上單調(diào)遞增，在

?y=ax+—(a>0,b>0)的單調(diào)性：在一8,-

a

上單調(diào)遞減.

(1).函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

y(_x)=/(x),那么函數(shù)"X)是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

/(-X)=-/(%),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意

一個(gè)X,一X也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

(2).函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單

調(diào)性相反.

(2)/(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

/(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)/(x)g(x)/(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

(3)若奇函數(shù)的定義域包括0,則/(0)=0.

(4)若函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，貝x)=〃x)=〃W).

(5)定義在(YO,M)上的任意函數(shù)/(X)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之

和.

(6)若函數(shù)y="X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(x)+/(—x)為偶函數(shù)，/(%)—/(—x)

為奇函數(shù)，為偶函數(shù).

重難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；

②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；

第二章基本初等函數(shù)

2.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

(1)根式

概念：式子缶叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

性質(zhì)：(%)"=〃(〃使也有意義)；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，句示=|〃|={

a,a<0.

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)募

tnn.---

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義是厘(a>0,m,〃GN*,且〃>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)

m1

指數(shù)幕的意義是/二=」一(。>0,怙“CN”,且〃>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0；0的負(fù)分

數(shù)指數(shù)帚沒有意義.

有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì):arcf=ar+s,(ar)s=ars；(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ.

(3)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

概念：函數(shù)y=a">0且存1)叫做指數(shù)函數(shù)，x是自變量，函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<〃<1

圖象

-o|~i~~o]~~i""x

定義域R

值域(0,+oo)

過定點(diǎn)(0，1)，即x=0時(shí)，y=l

當(dāng)x>0時(shí)，y>\；當(dāng)x〈0時(shí)，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)x<0時(shí)，0勺<1當(dāng)x>0時(shí)，(Xy<l

在(-8,+8)上是增函數(shù)在(-8,+8)上是減函數(shù)

2.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)對(duì)數(shù)的概念

如果a，=N(a>0,且存1)，那么x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做

對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①d°g/=N；②log,-=6(a>0,且吶).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；如果a>0且存1,M>0,N>0,那么

①log“(MN)=log(,M+log,,N；②log“竺=log“M-log“N；

N

nm

③logaM=nlogaM(neR)；?log?b=—logaZ?.

n

(3)換底公式：log“b=g&2(a,。均大于零且不等于I),

log,a

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：y=logd(a>0,且時(shí)1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+?)).

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<4<1

|）=log<A［尸

圖象

o/（））"0KLJ

11

定義域：(0，+8)

值域：R

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)時(shí)，y>0；當(dāng)x>l時(shí)，y<0；

當(dāng)0<r<l時(shí)，y<0當(dāng)0<x<l時(shí)，)>0

在(0,+oo)上是增函數(shù)在(0,+oo)上是減函數(shù)

2.3塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義：一般地，形如y=f的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

(2)常見的5種募函數(shù)的圖象

(3)募函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)零點(diǎn)的定義

一般地，如果函數(shù)y=/(%)在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即/(a)=0則a叫做這個(gè)函數(shù)

的零點(diǎn).

重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)；

2.零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［a,⑸上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)?/S)<0,

那么函數(shù)>=/(%)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cw(a,6),使得/(c)=0,這個(gè)c

也就是方程f(x)=0的根.

3.二分法

二分法求零點(diǎn)：對(duì)于在區(qū)間團(tuán)，切上連續(xù)不斷，且滿足/(a)?/(0)<0的函數(shù)y=/(x),

通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)

而得到零點(diǎn)近似.值的方法叫做二,分法.

給定精度￡,用二分法求函數(shù)/(%)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間出，b],驗(yàn)證<0,給定精度￡；

(2)求區(qū)間(a,h)的中點(diǎn)X]：

(3)計(jì)算/(芭)：①若/(再)=0,則/就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若/(辦/(不)<0,則令6=再(此時(shí)零點(diǎn)X。e3,項(xiàng)))；

③若/(%,)-/(/?)<0,則令a=修(此時(shí)零點(diǎn)玉)€(為力))；

(4)判斷是否達(dá)到精度￡；

即若|a-b|<￡,則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值a(或〃)；否則重復(fù)步驟2?4.

注意：二分法的條件/(a)-/(??<0表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn).

必修四

第一章三角函數(shù)

1.角的概念

1.角的定義

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

2.角的分類

正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

按旋轉(zhuǎn)方向

八山負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

不同分類

【零角：射線沒有旋轉(zhuǎn)

角的分類，

'象限角：角的終邊在第幾象限，這

按終邊位置

,個(gè)角就是第幾象限角

不同分類

.軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上

3.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S={6|6=a+k360。，k^Z].

2.弧度制及應(yīng)用

1.弧度制的定義

把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

2.弧度制下的有關(guān)公式

|a|=:(弧長(zhǎng)用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

巧出

角度與弧度的換算①1°-180②lrad-(n)

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

11.

扇形面積公式S=~jlr—^\a\r2

3.任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么

定義V叫做a的正弦，記sin

x叫做a的余弦，記cosa，叫做a的正切，記tana

a

I+++

各象

II+——

限符

III——+

號(hào)

IV—+——

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：siMa+cos2a=l(aCR).(2)商數(shù)關(guān)系:tana=黑:

2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧

5.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

組數(shù)一二三四五K

nn

角2kn+a(k￡Z)ii+a—aK-a2~a2+a

正弦sina一sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cocacoca—cocasina—sina?

正切tanatana一tana—tana

6.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

/D/普

iqy

圖象C2弘\「/一

。欣7x5AXfwrr

{x卜￡R,且,itezl

定義域RR

值域[-1,1][-1,1]R

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在［—5+2E,g+2E在［2阮一1：2燈［］(%

eZ)上是遞增函,兀兀、

(%￡Z)上是遞增函數(shù)，在1一/+&兀，2+”］(%EZ)

單調(diào)性數(shù)，在［2依，2如

一兀3兀一

1+24兀,三十2攵兀上是遞增函數(shù)

+n］(%eZ)上是遞

(%￡Z)上是遞減函數(shù)減函數(shù)

周期是2kn(k￡Z且周期是2E(Z￡Z周期是E(左?Z且無70),最小

周期性

kWO),最小正周期是2兀且ZW0),最小正正周期是兀

周期是2兀

對(duì)稱軸是X=k7l（k

對(duì)稱軸是x—~2"￥kit（k6

￡Z）,對(duì)稱中心是對(duì)稱中心是傳0）伏GZ）

對(duì)稱性

Z）,對(duì)稱中心是（航,0）也

（E+全0）（%￡Z）

eZ）

6.函數(shù)y=Asin（3x+<p）的圖象

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）“五點(diǎn)法”作圖原理：

正弦函數(shù)丫=$沿為［0,2n］的圖象上，五點(diǎn)是：（0,0）,1），（兀，0），（多，—1），（2兀，

0）.

余弦函數(shù)y=cosx,xe［0,2n］的圖象上，五點(diǎn)是：（0,1）,《，0）,（兀，一1）,（4，0）,（2兀,

1）.

（2）五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線（注意光滑）.

2.函數(shù)y=Asin（3x+<p）的有關(guān)概念

y=As\n（（ji）x+（p）振幅周期頻率相位初相

2n10）

F=-=—

（4>0,u?0）A/72na）x+（p（P

3.用五點(diǎn)法畫y=Asin（3x+（p）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖

用五點(diǎn)法畫y=Asin（3x+0一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示:

_（Pnq）R一（P3ncp2n一（p

X

a）2UI3OJ2u）oj3

n3n

u）x+q）0R2R

2T

y=As\n（a）x+q））0A0-A0

第二章平面向量

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量；向量的大

向量平面向量是自由向量

小叫做向量的長(zhǎng)度（或稱模）

零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0,其方向是任意的

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為土高

平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫0與任一向量平行或共線

做共線向量）

兩向量只有相等或不相等,不能比較大

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

⑴交換律：

求兩個(gè)向量和三*角形法則a+b=b+a；

加法

的運(yùn)算3(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b

+。

平行四邊形法則

求a與b的相反

向量一b的和的

減法a—b=a+(—b)

運(yùn)算叫做a與ba

三角形法則

的差

|Aa|=|A||a|.當(dāng)A>0時(shí)，Aa

求實(shí)數(shù)A與向

的方向與a的方向相同；當(dāng)入<A(pa)=(Ap)a；(A+p)a=Aa+

數(shù)乘量a的積的運(yùn)

0時(shí),福的方向與a的方向相反；A(a+b)=Aa+Ab

算

當(dāng)4=0時(shí)，Aa=0

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

運(yùn)算坐標(biāo)表示

和（差）a=(xi,yi),b=(X2,力)，a+b=(xi+x2,9+力)，a—b=(x］一x2,yi-y2)

數(shù)乘已知a=（xi，yi）,則M=（Axi，AyJ,其中人是實(shí)數(shù)

任一向量的坐標(biāo)己知A（xi，%），8（X2，力），則下才=（X2—X1，力一yi）

4.向量的夾角

定義圖不范圍共線與垂直

已知兩個(gè)非零向量a和b,設(shè)1?是a與b的夾角，

支或

作3^=a,"5/=b,則則e的取值范圍是

Q〃b,9=90y_Lb

ZAOB就是a與b的夾角0°<|?<180°

5.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為則數(shù)量|a||b|cosi?叫做a與b的數(shù)

定義

量積，記作a-b

|a|cos9叫做向量a在b方向上的投影，

投影

|b|coSl?叫做向量b在a方向上的投影

幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos9的乘積

6.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律ab=ba

分配律(a+b)c=a-c+bc

數(shù)乘結(jié)合律(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab)

第三章三角恒等變換

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：①②tan8=與堂，

cosO

2、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限)

3、和角與差角公式

sin(a±/?)=sincrcos(3±cosasin/3cos(a±/?)=cosacos尸干sinasin力

anan

tan(a±，)=，"土,°.(sina±cosa)2=1±2sinacosa

1不tanatan°

4、二倍角公式及降嘉公式

sin2a=sinacosa.cos2cr=cos2a—sin2a-2cos2or-1=1—2sin2a

-2tana.21—cos2a1+cos2a

tan2a=--------sin-a=--------,cos2-a=---------

1-tan**a22

必修五

第一章解三角形

nhc

【正弦定理】/一=’_=」一=2R(R為AABC外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

【正弦定理的變形】①a=2RsinA力=2Rsin8,c=2RsinC

?abca+b+c-八

②----=-----=-----=-----------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

【三角形常用結(jié)論】

(1)a>b<^>A>B<^>sinA>sinB<=>cosA<cosB

(2)在△ABC中，有

A+B+C=%OC=?-(A+B)OJC-H^O2C=2%-2(A+B).

222

(3)面積公式:

①S--ah,--bh.=—ch@S=—aZ?sinC--Z?csinA=—easinB.

2"2'2',222

第二章數(shù)列

2.1等差數(shù)列

(1).等差數(shù)列的定義-------(證明或判斷等差數(shù)列)

①4用一%="(d為常數(shù))或②-4,=%-(〃22)

(2).等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

a,,=%+(〃-l)d或an=am+(〃-1n)d

①當(dāng)dW0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式4=%+(〃-1)4=出+%々是關(guān)于”的一次函數(shù)，且

斜率為公差d；

(3).等差數(shù)列的前"和：s“=M3,5“=〃4+也51

"22

①前〃和Sn=+亞/)d=9〃2+(q_1)n是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

(4)、等差中項(xiàng)：

⑴若a,A/成等差數(shù)列，則A叫做。與b的等差中項(xiàng)，且4=生電。

2

(2)當(dāng)m+n=〃+q時(shí)，則有a,?+a?=ap+aq

5、若｛%｝是等差數(shù)列，S”,S2”—S”,S3”—S2“，…也成等差數(shù)列.

2.2等比數(shù)列

(1)等比數(shù)列的定義--------(證明或判斷等比數(shù)列)4=夕①為常數(shù))，

an

nm

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=ad"'或q=amq-。

(3)等比數(shù)列的前〃和：①當(dāng)q=l時(shí)，S“=〃q；

②當(dāng)4Hl時(shí)，==-一1”。

\-q\-q

(4)等比中項(xiàng)：

⑴若a,A/成等比數(shù)列，那么A叫做。與人的等比中項(xiàng)，A2=ab。

(2)當(dāng)加+〃=〃+q時(shí)，則有am,an=3P,aq?

第三章不等式

1.一元二次不等式的概念及形式

(1).概念：把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

(2).形式：①ar2+bx+c>0(a和);②or2+bx+c、K)(a#0)；

③ar2+bx+c<O(a/O)；@ar2+hx+匕0(〃邦).

2.一元二次不等式的解集的概念及三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

(1)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有

解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.

(2)關(guān)于x的一元二次不等式辦2+bx+c>0(a#))或a^+fcv+ccOm/))的解集；

若二次函數(shù)為則一元二次不等式兀琪>0或y(x)<0的解集，就是分別

使二次函數(shù)/U)的函數(shù)值為正值或負(fù)值時(shí)自變量x的取值的集合.

⑶三個(gè)“二次”之間的關(guān)系:

設(shè)_Ax)=?^+bx+c(a>0)，方程cu^+bx+c—O的判別式4ac

判別式/

4>0/=0/<0

=〃-4QC

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

解不等式求方程人r)=0的解沒有實(shí)數(shù)解

解.，X2解Xi=X2

心)>0

VV

或式X)<畫函數(shù)y=ya)的示\LL

0的步驟意圖

叩|=*2Xo\X

得不

,b

火x)>0{x——五}R

等式或X>X2}

的解

段)<0{X\X\<X<X2}00

集

3.分式不等式的解法

定義:分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.

解法：等價(jià)轉(zhuǎn)化法解分式不等式

黑>0小x)g(x)>0,黑<0=J(x).g(x)<().

4.簡(jiǎn)單的高次不等式的解法

解法：穿根法

①將y（x）最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；

②將y（x）分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；

③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點(diǎn)畫曲線（注意重

根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過）；

④觀察曲線顯現(xiàn)出的次幻的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

5.二元一次不等式（組）

（1）定義：我們把含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式；

把由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.

（2）解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)（x,y）,所有這樣的有序數(shù)

對(duì)（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對(duì)可以看成是直角坐標(biāo)平面內(nèi)

點(diǎn)的坐標(biāo).于是，二元一次不等式（組）的解集就可以看成直角坐標(biāo)內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合.

6.平面區(qū)域

（1）定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax+By+CO表示直線Ax+By

+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線Ax+By+C=O某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，

直線Ar+By+C=O稱為這個(gè)平面區(qū)域的邊界.這時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，把直線Ax+By

+C=0畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界；而不等式表示的平面區(qū)域包括邊

界，把邊界畫成實(shí)線.

（2）判斷方法：只需在直線Ar+8），+C=O的同一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)（xo,為）作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax。

+B），o+C的符號(hào)就可以斷定Ax+By+OO表示的是直線Ax+By+C=O哪一側(cè)的平面區(qū)域.

特別地，當(dāng)C/）時(shí)，常取原點(diǎn)（0,0）作為測(cè)試點(diǎn)；當(dāng)C=0時(shí)，常?。?,1）或（1,0）作為測(cè)試點(diǎn).

7.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱意義

約束條件變量X,y滿足的一組條件

線性約束條件關(guān)于X,y的二元一次不等式

目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式

線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x,y的一次函數(shù)解析式

可行解滿足線性約束條件的解

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題

8.線性規(guī)劃常用來解決下列問題：

（1）給定一定數(shù)量的人力、物力、資金等資源，怎樣安排運(yùn)用這些資源，才能使完成的任務(wù)

量最大，收到的效益最大.

（2）給定一項(xiàng)任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排，才能使完成這項(xiàng)任務(wù)的人力、資金、物力資源最小.常見

問題有：物資調(diào)運(yùn)、產(chǎn)品安排、下料等問題.

9.基本不等式（或）均值不等式：等2疝

10.基本不等式的變形與拓展

1（1）若力G&則a?+b2>2ab；

⑵若a,beR,則ab<巴士（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

2

2.（1）若。>0,。>0,則巴心2^^；（2）若。>0,/?>0,則“+/?22y[ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)

2

取“=”）；

⑶若a>0,b>0,則ab4（半J（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

3.若x>0,則x+」N2（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"="）；若x<0,則x+1v—2（當(dāng)且僅當(dāng)x=-l

XX

時(shí)取“="）；若xwO,則彳+4*2,即x+4N2或x+，4-2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

XXX

ah

4.若則（當(dāng)且僅當(dāng)。=/?時(shí)取"="）；若出?W。,則"嗚+4

ha~ba

或@+2W一2（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取

ba

5.一個(gè)重要的不等式鏈：T—vJ拓<a+b

2

—+-

ab

必修二

第一章空間幾何體

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

側(cè)棱都互相平行

棱柱

上、下底面是金箜的多邊形

底面是任意多邊形

多面體棱錐

?面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

由平行于底面的平面截棱錐得到

棱臺(tái)

上、下底面是相似的多邊形

2.旋轉(zhuǎn)體的形成

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線

圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線

球半圓直徑所在的直線

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、)，軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸，<軸的夾角為45?；?35。,

z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x