解斜三角形-正弦定理

解斜三角形（一）-----正弦定理1.正弦定理及變式

===2R;（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;變式(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)sinA∶sinB∶sinC∶=a∶b∶c.注：在下列條件下，應用正弦定理求解:(ⅰ)已知兩角和一邊，求其他邊和角；(ⅱ)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角及其他邊和角.3.三角形的面積公式=acsinBS=absinC=bcsinA已知下面條件，口答用什么定理解三角形

(大寫表示角，小寫表示邊)1.A、a、b2.A、b、c3.A、B、b4.A、B、c5.a、b、c正弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理 根據(jù)下列條件，解△ABC：(1)已知b＝6，c＝9，B＝45°，求C、a、A

；(2)已知B＝30°，b＝，c＝2，求A、C、a；(3)

已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C、A、a.解：[點評與警示]

利用正弦定理解三角形，可利用“大邊對大角”對解出來的邊或角進行取舍．練1.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，則AC=()DA.3B.3C.4D.4由正弦定理得=,所以AC===4.練2

在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求角A、C及邊c.由正弦定理，得sinA===,因為b<a,所以B<A,所以A=60°或120°.(1)當A=60°時，C=75°，所以c==.(2)當A=120°時，C=15°，所以c==.1．(2010·廣東，13)已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則sinA＝____________.[答案]

D解斜三角形----余弦定理1.余弦定理及變式(1)a2=;b2=

;c2=.(2)cosA=;

cosB=;

cosC=

.a2+c2-2accosBb2+c2-2bccosAa2+b2-2abcosC2、在下列條件下，應運用余弦定理求解:(ⅰ)已知三邊，求三個角；(ⅱ)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；3、幾個常用結論在△ABC中，C為最大角，則①C為銳角?

；②C為直角?

；③C為鈍角?

.a2＋b2＞c2a2＋b2＝c2a2＋b2＜c2簡單練習3．(2008·福建)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，求角B?[點評與警示]

利用整體思想，不必分別求出a，c.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求三角三邊長．練1在△ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則cosB=()DA.B.C.D.因為a、b、c成等比數(shù)列，所以b2=ac.又c=2a,所以b2=2a2,所以cosB===.2在△ABC中,sinA:sinB:sinC=2::(+1),則三角形的最小內角是()A.60°B.45°C.30°D.以上答案都錯由正弦定理===2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC,所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=2∶∶(+1).因為a為最小值，所以A為最小內角.因為cosA==,且A∈(0°,60°)，所以A=45°，故選B..B3已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，且AB=1,BC=4，則邊BC上的中線AD的長為

，S△ACD=

.

由已知，B=60°，AB=1，BD=2.由余弦定理知AD=

=例3

鈍角△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，sinC=,(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C，求角A、B、C.

由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,

得(c-b)a2+b3=c3,所以(c-b)a2+(b-c)(b2+bc+c2)=0,即(c-b)(b2+bc+c2-a2)=0,所以b=c或b2+bc+c2-a2=0,當b=c時，有B=C，所以C為銳角，又sinC=,所以B=C=45°,所以A=90°，這與△ABC為鈍角三角形矛盾.當b2+bc+c2-a2=0時，b2+c2-a2=-bc,所以cosA=

=-,所以A=120°，又sinC=且C為銳角，所以C=45°，所以B=180°-A-C=15°，綜上可知,A=120°,B=15°,C=45°.

變式練習(2007·江蘇卷)在△ABC中，內角A、B、C對邊長分別為a、b、c，已知c=2,C=.

(1)若△ABC的面積等于,求a、b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面積.

(1)由余弦定理及已知條件得，c2=a2+b2-2abcosC,所以a2+b2-ab=4,又S△ABC=

absinC=ab=4,

a2+b2-ab=4

ab=4，由解得a=2b=2(2)由題意得，sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,所以sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=4sinAcosA，所以sinBcos