演示文稿等差數(shù)列求和公式

（優(yōu)選）等差數(shù)列求和公式ppt講解當(dāng)前1頁(yè)，總共54頁(yè)。1.數(shù)列前n項(xiàng)和的定義一般地，稱(chēng)__________________為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝__________________.Sn與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an新課講解當(dāng)前2頁(yè)，總共54頁(yè)。2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和公式變形：當(dāng)前3頁(yè)，總共54頁(yè)。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征(2)當(dāng)A＝0，B＝0時(shí)，Sn＝0是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)(此時(shí)a1＝0，d＝0)；當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，Sn＝Bn是關(guān)于n的正比例函數(shù)(此時(shí)a1≠0，d＝0)；當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，Sn＝An2＋Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(此時(shí)d≠0)．

當(dāng)前4頁(yè)，總共54頁(yè)。題型一與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.【例1】在等差數(shù)列{an}中．例題講解當(dāng)前5頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前6頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前7頁(yè)，總共54頁(yè)。1.在等差數(shù)列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.跟蹤練習(xí)當(dāng)前8頁(yè)，總共54頁(yè)。題型二利用Sn與an的關(guān)系求an解

(1)①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.②當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.當(dāng)前9頁(yè)，總共54頁(yè)?；?jiǎn)得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因?yàn)閍n＞0，∴an＋1－an＝2，又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，故{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n－1.當(dāng)前10頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前11頁(yè)，總共54頁(yè)。(2)已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n－1，求它的通項(xiàng)公式，問(wèn)它是等差數(shù)列嗎？解

(1)a1＝S1＝5，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)也適合，∴an＝4n＋1.1.(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋3n，求an.跟蹤練習(xí)當(dāng)前12頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前13頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前14頁(yè)，總共54頁(yè)。題型三

求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和【例3】當(dāng)前15頁(yè)，總共54頁(yè)。＝－3n＋104.∵n＝1也適合上式，∴數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104(n∈N*)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即當(dāng)n≤34時(shí)，an>0；當(dāng)n≥35時(shí)，an<0. (1)當(dāng)n≤34時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an(2)當(dāng)n≥35時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)當(dāng)前16頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前17頁(yè)，總共54頁(yè)。1.已知數(shù)列{an}中，Sn＝－n2＋10n，數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn＝|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)之和Tn的表達(dá)式．解由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．驗(yàn)證a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*∴當(dāng)n≤5時(shí)，an>0，此時(shí)Tn＝Sn＝－n2＋10n；當(dāng)n>5時(shí)，an<0，此時(shí)Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.跟蹤練習(xí)當(dāng)前18頁(yè)，總共54頁(yè)。方法技巧等差數(shù)列中創(chuàng)新型問(wèn)題的求解策略

關(guān)于等差數(shù)列的創(chuàng)新型試題，常以圖表、數(shù)陣、新定義等形式出現(xiàn)．【示例】下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：47(

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)…a1j…712(

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)…a2j…(

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)…a3j…(

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)…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………當(dāng)前19頁(yè)，總共54頁(yè)。其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．(1)寫(xiě)出a45的值；(2)寫(xiě)出aij的計(jì)算公式．解

(1)通過(guò)觀察“等差數(shù)陣”發(fā)現(xiàn)：第一行的首項(xiàng)為4，公差為3；第二行首項(xiàng)為7，公差為5.歸納總結(jié)出：第一列(每行的首項(xiàng))是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即3i＋1，各行的公差是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即2i＋1.所以a45在第4行，首項(xiàng)應(yīng)為13，公差為9，進(jìn)而得出a45＝49.當(dāng)前20頁(yè)，總共54頁(yè)。(2)該“等差數(shù)陣”的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：a2j＝7＋5(j－1)；……第i行是首項(xiàng)為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.當(dāng)前21頁(yè)，總共54頁(yè)。2.3.1

等差數(shù)列的求和公式

(第二課時(shí))當(dāng)前22頁(yè)，總共54頁(yè)。1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為_(kāi)___.(2)m2d新課講解當(dāng)前23頁(yè)，總共54頁(yè)。(3)若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，①若，則S偶－S奇=②若，則當(dāng)前24頁(yè)，總共54頁(yè)。思考：如果數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定為等差數(shù)列？提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，又Sn＝An2＋Bn，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A＋B符合上式，∴an＝2An－A＋B(n∈N*)∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為A＋B，公差為2A.當(dāng)前25頁(yè)，總共54頁(yè)。2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中最大最小最小最大當(dāng)前26頁(yè)，總共54頁(yè)。題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用(2)一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和．(3)兩個(gè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,1）若,求；2）若，求【例1】(1)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和36，Sn＝324，最后6項(xiàng)的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.例題講解當(dāng)前27頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前28頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前29頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前30頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前31頁(yè)，總共54頁(yè)。規(guī)律：等差數(shù)列中，Sm=n,Sn=m，則Sm+n=－(m+n)當(dāng)前32頁(yè)，總共54頁(yè)。1.等差數(shù)列中，(1)am=n，an=m，求證：am+n=0(2)Sm=Sn，求證：Sm+n=0(3)Sm=n,Sn=m，求證：Sm+n=－(m+n)跟蹤練習(xí)當(dāng)前33頁(yè)，總共54頁(yè)。3.等差數(shù)列中，S30=90，a3+a6+a9+…+a30=36(1)求d(2)求a1+a4+a7+…+a282.等差數(shù)列中，S3=45，Sn=360,Sn-3=225,求n當(dāng)前34頁(yè)，總共54頁(yè)?！纠?】一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27，求公差d.解

法一設(shè)此數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，

∵S偶－S奇＝6d，∴d＝5.當(dāng)前35頁(yè)，總共54頁(yè)。跟蹤練習(xí)1.一個(gè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)和為132，偶數(shù)項(xiàng)和為120，求項(xiàng)數(shù)。當(dāng)前36頁(yè)，總共54頁(yè)。題型二

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題當(dāng)前37頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前38頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前39頁(yè)，總共54頁(yè)。1.已知等差數(shù)列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取得最大值．解

(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一

a1＝9，d＝－2，跟蹤練習(xí)當(dāng)前40頁(yè)，總共54頁(yè)。＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是遞減數(shù)列．∵n∈N*，∴n≤5時(shí)，an>0，n≥6時(shí)，an<0.∴S5最大．當(dāng)前41頁(yè)，總共54頁(yè)。2.等差數(shù)列中，(1)求Sn最大值；求Sn最大值；(3)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|當(dāng)前42頁(yè)，總共54頁(yè)。已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍3＝7，a5＋a7＝26，所以有題型三

裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和【例3】當(dāng)前43頁(yè)，總共54頁(yè)。當(dāng)前44頁(yè)，總共54頁(yè)。1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝6，S3＝12.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；跟蹤練習(xí)當(dāng)前45頁(yè)，總共54頁(yè)。