演示文稿有限元中梁單元描述的疊加性梁單元

演示文稿有限元中梁單元描述的疊加性梁單元當(dāng)前1頁，總共30頁。（優(yōu)選）有限元中梁單元描述的疊加性梁單元當(dāng)前2頁，總共30頁。任一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的位移用列陣表示為：稱為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)位移。對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移分量，梁上任一節(jié)點(diǎn)i的載荷也有2項(xiàng)：橫向力和彎矩，稱為廣義力。稱為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)載荷。梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點(diǎn)上。任一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的載荷用列陣表示為：當(dāng)前3頁，總共30頁。、簡單梁單元的單元特性單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)：i，j。每節(jié)點(diǎn)有2個(gè)位移分量，單元共有4個(gè)位移分量——4個(gè)自由度；單元節(jié)點(diǎn)位移分量：分析一個(gè)從上述梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁單元

e。單元長度l，彈性模量E，截面慣性矩為J。稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)位移列陣（向量）。（1）單元的描述當(dāng)前4頁，總共30頁。結(jié)構(gòu)中的一個(gè)單元一般在節(jié)點(diǎn)處的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分對(duì)該梁單元的作用力，稱為單元節(jié)點(diǎn)力。每節(jié)點(diǎn)2個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量：剪力q，彎矩m（分別與節(jié)點(diǎn)的2個(gè)位移分量對(duì)應(yīng)）。單元節(jié)點(diǎn)力分量：稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)力列陣（向量）。注意：如圖所示，節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力分量的正方向與局部坐標(biāo)軸正方向一致。因此，節(jié)點(diǎn)力正方向與材料力學(xué)中內(nèi)力正方向的定義不同！節(jié)點(diǎn)力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點(diǎn)載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)上受到的外力。（參見P5的11~15行）當(dāng)前5頁，總共30頁。（2）單元特性研究結(jié)構(gòu)中的一個(gè)梁單元的變形是由節(jié)點(diǎn)位移決定的，對(duì)于一個(gè)受力平衡的單元，一定的節(jié)點(diǎn)位移總是與一定節(jié)點(diǎn)力相聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系就是單元的彈性特性（剛度特性）。下面根據(jù)材料力學(xué)結(jié)果和單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì)建立梁單元的特性

根據(jù)前面的分析，在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時(shí)節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間有線性關(guān)系，用矩陣形式表示為：簡記為：梁單元的剛度方程當(dāng)前6頁，總共30頁。上式中稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕渲忻總€(gè)元素都是常數(shù)。方便起見，節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分量用新的符號(hào)表示，剛度方程為：為了分析單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x，上式中令：（這里1，2，3，4是單元自由度序號(hào)）可見，某列剛度系數(shù)就是相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移分量為1，其他位移分量皆為0時(shí)的所有節(jié)點(diǎn)力分量——單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x由剛度方程可得：當(dāng)前7頁，總共30頁?，F(xiàn)根據(jù)剛度矩陣的物理意義確定剛度系數(shù)：設(shè)則梁單元變形如右圖：按材料力學(xué)梁變形公式求節(jié)點(diǎn)力如下：撓度：轉(zhuǎn)角：聯(lián)立解出：再由梁單元的靜力平衡條件得：至此已求出剛度矩陣的第一列元素。當(dāng)前8頁，總共30頁。再設(shè)：則梁單元變形如右圖：由剛度方程可得：同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：當(dāng)前9頁，總共30頁。同樣的方法可以解出其余2列元素，從而求出單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁單元的剛度矩陣具有如下性質(zhì)：

1）對(duì)稱性；2）奇異性；3）主對(duì)角元素恒正。剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定。當(dāng)前10頁，總共30頁。（3）單元?jiǎng)偠确匠痰姆謮K采用矩陣分塊方法和運(yùn)算規(guī)則，對(duì)梁單元的剛度方程按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊。單元節(jié)點(diǎn)力列陣分塊單元節(jié)點(diǎn)位移列陣分塊分塊形式的單元?jiǎng)偠染仃嚕荷鲜雒恳蛔訅K均為2×1子列陣。

每一子塊均為2×2子矩陣當(dāng)前11頁，總共30頁。因此，單元?jiǎng)偠确匠谭謮K形式表示為：上式按分塊形式展開，得兩個(gè)矢量方程（共4個(gè)代數(shù)方程）：上述按分塊形式表示的單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系在結(jié)構(gòu)的整體分析時(shí)更簡潔。當(dāng)前12頁，總共30頁。、離散結(jié)構(gòu)的整體分析設(shè)已知分塊形式的各單元特性：當(dāng)前13頁，總共30頁。

離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)作為隔離體，分析其受力平衡。單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力外載荷單元節(jié)點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力

以節(jié)點(diǎn)2為例，分析其受力與平衡。節(jié)點(diǎn)2的受力分為兩類：1）外載荷：2）單元（1）和（2）上節(jié)點(diǎn)力的反作用力：當(dāng)前14頁，總共30頁。由節(jié)點(diǎn)2的靜力平衡條件得：單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力外載荷單元節(jié)點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力

節(jié)點(diǎn)2的外載荷等于節(jié)點(diǎn)2對(duì)其所有相連單元的節(jié)點(diǎn)力之和！也就是節(jié)點(diǎn)2所受外載荷要分配到相連的單元上。當(dāng)前15頁，總共30頁。由前面給出的單元（1）、（2）分塊形式單元?jiǎng)偠确匠檀牍?jié)點(diǎn)2的平衡方程：當(dāng)前16頁，總共30頁。同理，由節(jié)點(diǎn)3的平衡可得：由節(jié)點(diǎn)1、4的平衡得：

將上面4個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程合并，寫成矩陣形式得：（請(qǐng)同學(xué)們課后練習(xí)）當(dāng)前17頁，總共30頁。上式簡寫為：——結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列陣（8×1）——結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷列陣（8×1）——結(jié)構(gòu)總剛度矩陣（8×8）——

結(jié)構(gòu)有限元平衡方程當(dāng)前18頁，總共30頁。顯然，結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大到整體規(guī)模后疊加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。由于單元?jiǎng)偠染仃囋跀U(kuò)大和疊加過程中，其具有的性質(zhì)（對(duì)稱、奇異、主對(duì)角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持這些性質(zhì)。總剛度矩陣中有大量元素為0，因此矩陣具有稀疏性。非零元素沿主對(duì)角線呈帶狀分布（節(jié)點(diǎn)編號(hào)滿足一定條件？）?？傊?，從前面彈簧、直桿和這里梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的特點(diǎn)可以初步歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的性質(zhì)如下：

1）對(duì)稱性；2）奇異性；3）稀疏性；4）非零元素帶狀分布關(guān)于結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論當(dāng)前19頁，總共30頁。

關(guān)于結(jié)構(gòu)有限元平衡方程的討論平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的總節(jié)點(diǎn)力；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)該行對(duì)應(yīng)總節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)。平衡方程右端是各節(jié)點(diǎn)外載荷。因此，有限元平衡方程代表了系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)所受外載荷與所受單元反作用總力之間的平衡。對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進(jìn)行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進(jìn)行求解。然后再用求出的位移，通過剩余方程求出支反力。當(dāng)前20頁，總共30頁。3.2平面內(nèi)一般梁單元模擬平面剛架拉伸、彎曲組合單元變形特征節(jié)點(diǎn)位移分量節(jié)點(diǎn)載荷分量平面梁單元結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)自由度：3、單元與節(jié)點(diǎn)建立兩者聯(lián)系當(dāng)前21頁，總共30頁。、局部坐標(biāo)系下平面梁單元單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)：i，j局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量：軸向位移：橫向撓度：轉(zhuǎn)角：局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)力分量：軸向力：橫向剪力：彎矩：單元有6個(gè)位移分量6個(gè)自由度單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：單元節(jié)點(diǎn)力列陣：（1）單元描述當(dāng)前22頁，總共30頁。（2）建立單元特性方程在局部坐標(biāo)系內(nèi)，軸向位移Δ只與軸向力T有關(guān)；彎曲位移只與彎曲力有關(guān)。即小變形情況下，梁的軸向變形與彎曲變形兩者之間是互不相關(guān)的。為分析單元位移與受力的關(guān)系，可以分別建立軸向變形與彎曲變形的單元?jiǎng)偠染仃?。此時(shí)既然彎曲力和軸向力的功相互獨(dú)立，則由功能原理，兩者引起的應(yīng)變能不耦合。利用前面所學(xué)的桿單元和簡單梁單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系（單元?jiǎng)偠确匠蹋?，進(jìn)行聯(lián)立，整理成矩陣形式得到下列組合變形下的平面梁單元?jiǎng)偠确匠蹋鹤⒁膺@里當(dāng)前23頁，總共30頁。

上面剛度方程簡寫為：分塊形式：其中：剛度矩陣一個(gè)子塊：當(dāng)前24頁，總共30頁。、整體坐標(biāo)系下剛度矩陣——坐標(biāo)變換

局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：

整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：

節(jié)點(diǎn)位移矢量坐標(biāo)變換：考慮到節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角不變簡寫節(jié)點(diǎn)變換矩陣：當(dāng)前25頁，總共30頁。

單元節(jié)點(diǎn)位移列陣的變換：簡寫單元坐標(biāo)變換矩陣

單元節(jié)點(diǎn)力列陣的變換：節(jié)點(diǎn)力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量滿足相同的坐標(biāo)變換關(guān)系。當(dāng)前26頁，總共30頁。

單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換：將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力矢量坐標(biāo)變換式代入局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠蹋寒?dāng)前27頁，總共30頁。、平面剛架的整體分析平面剛架整體分析的原理與彈簧系統(tǒng)、桁架、直梁的整體分析相同。根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力平衡導(dǎo)出系統(tǒng)的平衡方程。再引入約束條件后求解?？倓偠染仃囉煽傮w坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃嚡B加得到：總體平衡方程：當(dāng)前28頁，總共30頁。3.3三維空間梁單元簡介3.3.1單元功能：模擬三維剛架3.3.2單元特性分析基本思路與平面梁單元相同：先在局部坐標(biāo)系下建立單元特性描述，再變換到總體坐標(biāo)系下。

局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：單元有12個(gè)自由度

總體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移：當(dāng)前29頁，總共30頁。

局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠忍匦苑治鋈S梁單元的