九年級(上)培優(yōu)講義第10講 含字母系數(shù)的二次函數(shù)

第講

含字母系的二次函數(shù)二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容之一含母系（參數(shù)的次函數(shù)的研究和討論既要靈活運用二次函數(shù)圖象的基本特征和性質時還要綜合運用代數(shù)式的恒等變形元次方程根的分布等式（組）以及幾何圖形的有關性質等，具有較強的綜合性。在解決問題時，要特別注意知識和法間的密切聯(lián)系加強數(shù)形結合思想方法的應用多角度思考和探索問題解決的途徑進一步優(yōu)化題的策略。一知建二次函

yax

2

bx(0)

圖象與直線的交點（1

軸的交點⊿＞

0

時線

軸有兩個交點個交點坐標分

ac2a

，0

b2a

ac

b，0=時，拋物線與軸有一個交點，交點坐標為（，2a當⊿＜0，拋物線與

軸沒有交點②有兩個交點時，兩交點間的距離

1

2

=

b

a

（2與直線

ykxm(0)

的交點：將

yax2bx(a

與

ykxm(0)

聯(lián)立方程組，消去

得方程：

b)xc)，⊿＞時拋物線與直線有兩個交點；當⊿=時拋物線與直線只有一個交點；當⊿，拋物線與直線有交當，也可以通過消去圖象變

來討論.（1）移：圖象的平移使用頂點式較為簡便，其規(guī)律是

“左加右減，“上下減.拋物線ya)

2

向左（右）平移（）個單長度，再向上（下）平移（n>）單位長度，得到的拋物線為：

ya()

2

（2對稱：用一般式較簡①于x軸對：作變量替換，規(guī)律為橫（坐標）同，縱（坐標）物線

yax2bx(a與拋物線y(a0)

關于

軸對稱；②關于

軸對稱：作變量替換，規(guī)律為橫（坐標）反，縱（坐標）同。拋物線

yax

2

bx(0)

與拋物線()

)0)即

2

bx(a0)于y對稱關于原點對稱變替第頁頁

換，規(guī)律為橫、縱（坐標）均反。拋物線

yax

2

bx(0)

與拋物線(

(](a0)

即

y

2

bx(

關于原點對稱.二例精例．圖所示，二次函數(shù)

y

bx（a象經過點（2與x軸點的橫坐標分別為

x

、

x

，其中

2

＜

x

＜

，

＜

x

＜

，下列結論：①

＞

；②

a

＜

0

；③

a

＜

0

；④

aac

（）A．個

B個

C．3

D．4個示例小結二函數(shù)的系數(shù)確定像的位置像的位置確定二次函數(shù)的系數(shù)利用二次函數(shù)的像確定系數(shù)或有關代數(shù)式的符號是常見的題型些式子可以由圖象的基本特征如開口方向坐軸交點的位置、對稱軸、頂點等直接判定其正確性，有些式子需要先進行適當?shù)淖冃卧俅_定其正確，像本例④式就綜合運用等式不等式的性質以及代數(shù)式的恒等變形的方式而確定的題要意觀察式子的特征，結合所給條件巧妙變.例．知二次函數(shù)

＝

x

2

和

＝

xbx

2

的圖象與x軸有兩個不同的交點，問函數(shù)

＝x

2

cx

2

的圖象與x軸否相交？為什么？示例小結判二次函數(shù)的圖象軸是否有交點可依據(jù)條件確定判別式的符號然后再得出結論.這類問題，有時需要進行代數(shù)式的變形，才能建立未知和已知之間的聯(lián)系，解題時要靈活處置。第頁頁

22例3．設大于的質數(shù)，k為正整數(shù)，若函數(shù)yk點的橫坐標至少有一個為整數(shù)，求的值．

2

pxkp

的圖象與x軸兩個交示例小結二函數(shù)的圖象與x的兩個交點的橫坐標為整數(shù)的討論要利用韋達定理的表達式并依據(jù)整數(shù)的相關特征展開進一步的分析和研討有時為了便于分析和討論常依據(jù)方程的特點研究代數(shù)式

()12

的整數(shù)分解式，解題時注意分析和探索。例．

m，

為正整數(shù)，且

m

，如果對一切實數(shù)

t

，二次函數(shù)

y2)x

的圖象與

軸的兩個交點間的距離不小于

2t

，求

的值示例小結拋物線與

軸的兩個交點的距離

1

2

，可以先通過解方程求出兩根

、

后代入，也可以直接利用公式

1

2

=

b2a

來表示，然后再依據(jù)問題所給的條件列方程或不等式（組）.對于一切實數(shù)t，bt≥0（a）成立的條件：

；對于一切實數(shù)t，at

bt

≤0（）成立的條件：

，.第頁頁

．．．．．．．．．．．例．知二次函數(shù)

yx

2

的圖象經過兩點P（1a（2，（）如果

b,c

都是整數(shù)且

ca

，求

a

，

b

，

的值（2）設二次函數(shù)

yx

2

的圖象與

軸的交點為，與y

軸的交點為C如果關于

的方程

x2

的兩個根都是整數(shù)，eq\o\ac(△,求)ABC面積示例小結）利用不等式組先求出未知數(shù)的取值范圍，再尋求其整數(shù)解是常的方法元二次方程整數(shù)根的討論，一般利用韋達定理的表達式，接著消去相關的系（一點很重要根整數(shù)的分解式逐一列舉求解，這一方法為競賽題中常見的方法之一，要注意靈活運用。三基演．已知點

、

的坐標分別為（1

，

0

，

0

若次函數(shù)

y2ax

的圖象與線段

恰有一個交點，則

的取值范圍是．．已知二次函數(shù)

y

2

2(

．（1隨著m的化，該二次函數(shù)圖象的頂點是都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數(shù)表達式；如果不是，請說明理由．（2如果直線

y

經過二次函數(shù)

x

mx

圖象的頂點

，此時的．第頁頁

已知拋線

yx

2

與動直線

x

有公共點

(，)

(，y)2

x21

22

2

t

（1求實數(shù)t的值范圍）四直中拋物線

yn(x

2

與線

的兩個交點的橫坐標分別是、，xn

則代數(shù)式

d

＋d2

＋

3

＋＋

2013

的值是___________設拋物線C:mx

2

nx關軸稱的拋物線,C關軸稱的拋物線為12y

2

x，mn，

的值．函數(shù)

yx

2

(2x

2

的圖象與x軸兩個交點是否都在直線x的側？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個交點都在直線

x

的右側時，

的取值范圍？第頁頁

．．已二次函數(shù)

y

2

x(3)

m3m

．（1隨

m(m

的變化，此二次函數(shù)圖象的頂點在怎樣的圖形上運動？（2存在幾個

值，使其拋物線的頂點位于整數(shù)點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）？說明理由．設函數(shù)

y

2

(2kx

(

k

為實數(shù)．寫其的兩個特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法出這兩個特殊函數(shù)的圖象；根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實數(shù)

k

，函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；對任意負實數(shù)，x時，y隨著x的大而增大，試求出的個值．五挑競二次函

yx

2

的圖象的頂點為D，x軸方向從左至右依次交于，B兩，與y軸正方向交于

點，若△

ABD

和△

OBC

均為等腰直角三角形（

為坐標原點

c

．第頁頁

六每一已二次函數(shù)

yax

2

的圖象如圖所示，有以下結論：①

；②a③abc；a0

；⑤

c

其中所有正確結論的序號是（）A．①②

B．①③④

C．②③⑤

D．②③⑤．函數(shù)

y

2

x的象x軸交點，則k的值范圍是（）A．

k

77B．k．k且k0Dk444

且

k在直角標系中，拋物線

yx

2

3