第五章固體電子論基礎(chǔ)

第五章固體電子論基礎(chǔ)統(tǒng)計分布Fermi-Dirac統(tǒng)計,從而計算出電子氣體的,獲得了成功.布洛赫和布里淵闡明了在周期場中運動的電子的基本特征,為能帶理論的建立奠定了基礎(chǔ).近自由電子模型:自由電子+微擾能帶,根據(jù)禁帶寬度的大小(,絕緣體,半導(dǎo)體)5.1電子氣的能量狀態(tài)金屬中的價電子好比理想氣體,無相互作用.取平均勢能為能量零點,.電子逸出體外相當(dāng)于在一定深度的勢阱中運動的粒子所具有的能量.三維無限深勢阱中運動的粒子:

0L取箱內(nèi)勢能,其薛定諤狀態(tài)方程為:兩邊同除分離變量:方程的解:邊界條件:在勢箱中運動的電子.只剩下正弦項,余弦項為零.A為歸一化常數(shù),電子能量:推廣到無限個線度都是L的勢阱各個勢阱相應(yīng)位置波函數(shù)相等:電子波函數(shù):波函數(shù)歸一化:電子能量:電子動量:電子速度:駐波:電子的平均動量,平均速度為零,波矢在k空間,由一組量子數(shù)表示.

為坐標(biāo)的空間稱為波矢空間也叫k空間.每個點代表一個狀態(tài).軸相鄰的兩個代表點間的間距為,沿軸相鄰點的間隔也是.因而k空間每個狀態(tài)的代表點占有體積:K空間單位體積含有的狀態(tài)點數(shù)目:平面波狀態(tài)波矢由一組量子數(shù)確定,K空間:為坐標(biāo)軸的空間.點:每個許可的狀態(tài)可用一個點來代表.相鄰兩個代表點間距:波矢空間每個狀態(tài)代表點占有的體積:K空間單位體積中含有狀態(tài)數(shù)目:從中含有的狀態(tài)數(shù):每個波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個電子,所以體積元中可容納的電子數(shù):自由電子能量:E能級密度與能量關(guān)系，能量越大，也越大．５.２電子氣的費米能量

Fermienergyofelectrongas電子氣體中的粒子：電子，e滿足：泡利不相容原理（Pauli’sexclusionprinciple）服從費米——狄拉克統(tǒng)計（Fermi-Diracstatistics）電子處在能量為E狀態(tài)的幾率：是費米能量，或者化學(xué)勢．意義：體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個電子所需要的自由能．是溫度和電子數(shù)的函數(shù)．當(dāng)意義：表示在費米能級,被電子填充的幾率和不被電子填充的幾率是相等的．

費米分布函數(shù)f(E)在不同溫度時的圖像.(1)T=0k絕對溫度,(2)(3)溫度上升,函數(shù)f(E)發(fā)生大變化的能量范圍變寬,但在任何情況,此能量范圍約為求費米(Fermi)能級根據(jù)能級密度:和熱平衡時,電子處于能量為E的狀態(tài)的幾率:以及能量E~E+dE之間的電子數(shù)(1)當(dāng):令代表系統(tǒng)電子濃度,求數(shù)值估計

電子氣系統(tǒng)每個電子的平均動能(2)每個電子的平均動能,

的解釋:

即使在絕對零度,電子仍有相當(dāng)大的平均能量。根據(jù)熱力學(xué)溫度是平均動能的標(biāo)志,T=0時,應(yīng)該有

,但是根據(jù)泡利不相容原理,每個狀態(tài)只能容納兩個自旋方向相反的電子,因此在絕對零度不可能所有的電子都填在最低能態(tài).當(dāng)此時能量E大于的能級可能有電子,能量小于的能級可能是空的,系統(tǒng)總電子數(shù)N.第一項:所以,令此為奇函數(shù)此為偶函數(shù)求的關(guān)系:在絕對溫度時系統(tǒng)的總電子數(shù):

當(dāng)溫度升高時,比小,金屬的費米能量:幾個~幾十個eV費米溫度:一般溫度下,自由電子能級:當(dāng)時,等能面的半徑為:物理意義(1)在絕對零度T=0k時,費米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子所占據(jù),球外沒有電子.(2)時,費米球面半徑,在

范圍內(nèi)能上的電子被激發(fā)到之上約的范圍的能級.5.3金屬中電子氣的熱容

Thethermalcapacityofelectrongasinmetal洛倫茲自由電子論,N個自由電子,3N個自由度.服從經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律:試驗結(jié)果，電子比熱只有這個數(shù)值的百分之一.索末菲認(rèn)為:電子不遵守麥克斯韋-玻爾茲曼分布,而是遵守費米-狄拉克分布.自由電子構(gòu)成電子氣,有N個自由電子.每個電子平均能量:

:絕對零度每個電子平均能量.每個的電子對熱容量的貢獻:這是費米狄拉克統(tǒng)計方法計算的電子比熱結(jié)果.只有費米面附近范圍的電子受熱激發(fā)才躍遷到較高的能級.每個電子的能量之間的電子才能被激發(fā).根據(jù)費米統(tǒng)計f(E)曲線可知,電子的能量范圍約為附近的.受激發(fā)的電子數(shù)(下頁)每個電子具有熱能每個電子的平均能量是:每個電子對熱容的貢獻:討論:(一)常溫:說明對增加系統(tǒng)熱能有貢獻的電子僅占總電子數(shù)的一小部分.所以通常溫度下,金屬的比熱服從杜隆-珀替定律.為了與試驗結(jié)果相比較,計算金屬沒摩爾中自由電子對熱容量的貢獻:

每個原子有Z個自由電子(價電子),常溫晶格對熱容量貢獻為:電子對比熱貢獻很小.當(dāng)電子氣與晶格振動對熱容量的貢獻之比:只有當(dāng)溫度很低時,才考慮電子對熱容量的貢獻.二.溫度甚低:金屬的摩爾熱容是兩部分之和:截距r,斜率為b.5.4功函數(shù)和接觸勢差一.功函數(shù):電子在勢阱內(nèi),勢阱深度為,費米能級為電子離開金屬至少需要從外界得到：稱脫出功．當(dāng)電子獲得能量>時，電子逸出金屬，產(chǎn)生熱電子發(fā)射電流．

發(fā)射電流密度查孫－杜師曼公式．二．接觸電勢差：（１）兩塊不同的金屬Ⅰ和Ⅱ接觸或用導(dǎo)線聯(lián)結(jié)會彼此帶電，產(chǎn)生不同的電勢．（２）推導(dǎo)接觸電勢差：ⅠⅡⅠⅠⅡ每秒從金屬Ⅰ單位面積逸出電子數(shù)：每秒從金屬Ⅱ單位面積逸出電子數(shù)：如果ΦⅡ＞ΦⅠ，金屬Ⅰ逸出的電子數(shù)比金屬Ⅱ多，金屬Ⅰ帶正電，金屬Ⅱ帶負(fù)電荷．V1>0,V2<0.附加靜電勢能：－eV1,－eV2.發(fā)射的電子數(shù)分別變?yōu)椋浩胶鈺r：，由此得：所以接觸電勢差：此式表明：接觸電勢差來源于兩塊金屬的脫出功不同．脫出功表明：真空能級與費米能級之差．所以，接觸電勢差來源于兩塊金屬的費米能級不一樣高．電子從費米能級高的金屬流到費米能級低的金屬．達到平衡時，兩塊金屬的費米能級達到同一高度．５.５布洛赫波晶體電子在規(guī)則排列的正離子勢場中運動，勢場具有晶格周期性．一維周期勢場：在周期場中運動的電子必須滿足薛定諤方