《平面與平面垂直(2)》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

第六章立體幾何初步

平面與平面垂直(2)為什么教室的門轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)，門所在的平面都與地面垂直？如果你是一名質(zhì)檢員，你會怎樣去判斷一面墻與地面是否垂直呢？

我們知道，在長方體中，相鄰兩個(gè)面是互相垂直的，你能用二面角的知識來解釋為什么嗎？如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，我們以平面ABCD和平面CDD′C′為例來探究ADCBA′D′C′B′平面ABCD和平面CDD′C′所成的二面角的平面角是？∠BCC′（或∠ADD′）所求二面角是否為直二面角？是的.故長方體中相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的.將正方形ABCD沿著對角線BD折起,如何使得平面ABD與平面CBD垂直？ABCD要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角為直角即可．如何構(gòu)造二面角的平面角？連接AC交BD于點(diǎn)O，可得AO、CO都與BD垂直，則當(dāng)正方形折起時(shí)，∠AOC即平面ABD與平面CBD所成二面角的平面角．如何使∠AOC為直角？AO⊥CO即可OABCDO此時(shí)AO與平面CBD是什么位置關(guān)系？

事實(shí)上，建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來檢查墻面與地面是否垂直.系有鉛錘的線是垂直于地面的，如果系有鉛錘的線緊貼墻面，就說明墻面垂直于地面.這種判斷方法的理論依據(jù)是什么？你能證明你的猜想嗎？如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

證明：

如果一條平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

符號語言平面與平面垂直的判定定理

現(xiàn)在你能解釋為什么教室的門轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)，門所在的平面都與地面垂直嗎？不管門如何旋轉(zhuǎn)，門所在的平面始終經(jīng)過地面的垂線(門軸所在的直線)，由面面垂直的判定定理可得，門所在的平面始終與底面垂直.

如果一條平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

符號語言平面與平面垂直的判定定理線面垂直線線垂直面面垂直線面垂直的判定線面垂直的定義面面垂直的判定面面垂直的性質(zhì)

證明：

ABDCA′B′D′C′

如圖，在四面體A′-ABC中，A′A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA′=AB.（1）四面體中有幾組互相垂直的平面？（2）求二面角A-A′B-C和A′-BC-A的大小.要找面面垂直，首先尋找線面垂直.ABCA′

如圖，在四面體A′-ABC中，A′A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA′=AB.（1）四面體中有幾組互相垂直的平面？（2）求二面角A-A′B-C和A′-BC-A的大小.由面面垂直可知二面角A-A′B-C為90°；而二面角A′-BC-A的大小需先求其平面角

解：ABCA′

解：②③一個(gè)三棱錐的四個(gè)面中最多有

對面面垂直.3ABCD

顯然三棱錐可以有3對面面垂直，第四個(gè)面可采用反證法M

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).求證：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.證明：

連接AC、OE，易得AP∥OE，從而可證PA∥平面BDEPECOBAD

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).求證：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.證明：

PECOBAD平面PAC⊥平面PBDBD⊥平面PACPO⊥AC，AC⊥BDACBENB′C′A′M平面MEB⊥平面BENME⊥平面BENME⊥BNME⊥ENBN⊥平面ACC′A′△MEN中，勾股定理的逆定理

ACBENB′C′A′M課堂小結(jié)面面垂直的判定定理：如果一條平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

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