變換與拉氏變換的關(guān)系

關(guān)于變換與拉氏變換的關(guān)系第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日代入比較一．z平面與s平面的映射關(guān)系在引入z變換的定義時，引入符號z=esTs(直角坐標(biāo)):s=s+jwsOjwjw00ssjw+=ss平面式中T是序列的時間間隔，重復(fù)頻率ws=2p/T幅角:q=wT=2p半徑：r=esT=所以第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日s~z平面映射關(guān)系這兩個等式表明：z的模r僅對應(yīng)于s的實部s；

z的幅角q僅對應(yīng)于s的虛部w。（1）s平面的原點，s=0w=0r

=1q=0z平面，即z=1。s平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)原點(s

=0,w=0)ojwsz=1ojImzRez1（2）s平面上的虛軸（s=0，s=jw）映射到z平面是單位圓；

s平面的左半平面（s<0）映射到z平面是單位圓的圓內(nèi)；第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日

s平面的右半平面（s>0）映射到z平面是單位圓的圓外；

平行于虛軸的直線（s=常數(shù)）映射到z平面是圓。s平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)虛軸(s=0,s=jw)0jws單位圓（r=1,q任意）jImzRez01左半平面（s

<0）單位圓內(nèi)（r<1,q任意）0jwsjImzRez01第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日右半平面（s>0）單位圓外（r>1,q任意）01RezjImz平行于虛軸的直線（s=常數(shù):-￥?+￥

）圓（s>0，r>1s<0，r<1r為常數(shù):0?+￥q任意）0jws0jwsRezjImz0（3）s平面上的實軸（w=0，s=s）映射到z平面是正實軸；平行于實軸的直線（w

=常數(shù)）映射到z平面是始于原點的輻射線；通過jkws/2(k=+1,+3,…)而平行于實軸的直線映射到z平面是負(fù)實軸。第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日s平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)實軸(w

=0,s=s)0jws正實軸（q=0，r任意）jImzRez0平行于實軸的直線（w

=常數(shù)）始于原點的輻射線（q=常數(shù)，r任意）0jws-jw2jw1jImzRez0w1T-w2T通過+jkws/2

平行于實軸的直線（k=1,3...）負(fù)實軸（q=p，r任意）jImzRez00jwsjws/2-jws/2第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日（4）由于z=rejq是q=wT的周期函數(shù)，因此當(dāng)w由-p/T~p/T時，

q由-p~p，

幅度旋轉(zhuǎn)了一周，映射到了整個z平面。因此w每增加一個ws=2p/T，q就相應(yīng)增加2p，也就重復(fù)旋轉(zhuǎn)一周，z平面就重疊一次。

所以，z~s映射不是單值的。下圖說明了上述映射關(guān)系。01RezjImz0jwsws/2-ws/20jwsws/2-ws/21RezjImz0第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日0jwsws/2-ws/2RezjImz10jws0-ws/2ws/2RezjImz10jws-ws/2ws/20RezjImz10

掌握了s~z平面映射規(guī)律之后，容易利用類似在連續(xù)時間系統(tǒng)分析中的方法，研究離散時間系統(tǒng)函數(shù)z平面特性與系統(tǒng)時域特性、頻響特性以及穩(wěn)定性的關(guān)系。返回第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日二．z變換與拉氏變換表達(dá)式之對應(yīng)

我們知道：當(dāng)把x(t)以等間隔T抽樣后：其z變換為：第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日此式的收斂條件是：|z|>|esT|，當(dāng)符合這一條件時這就是直接由連續(xù)函數(shù)的拉氏變換式求抽樣后的離散序列z變換式的關(guān)系式。該積分式當(dāng)然也可以用留數(shù)定理來計算。即：X(s)的諸極點例如：當(dāng)X(s)有一單階極點s1時第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日

若連續(xù)時間信號(t)由N項指數(shù)信號相加組合而成x?

以上從拉氏逆變換式出發(fā)推證了拉氏變換式與z變換式的關(guān)系式。容易求得，它的拉式變換為若序列X(nT)由N項指數(shù)序列相加組合而成下面把信號按部分分式分解進(jìn)行討論第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日它的z變換為注意跳變值借助模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器例8-6-1例8-6-2返回注意：連續(xù)時間信號的突變點函數(shù)值與對應(yīng)的序列樣值有區(qū)別。例如，階躍信號u(t)在t=0點定義為1/2;

階躍序列u(n)在點n=0定義為1。第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日注意跳變值返回第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日已知指數(shù)函數(shù)e-atu(t)的拉式變換為，求抽樣序列e-anTu(nT)的z變換。X(s)只有一個一階級點s=-a，可以直接求出e-anTu(nT)的z變換為解：例8-6-1返回第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期日于是，X(s)可以展成部分分式已知正弦信號sin(w0t)u(t)的拉式變換為