傳染病最簡單模型

傳染病最簡單模型：已感染人數(shù)(病人)x(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為九有 x(t+At)—x(t)=九x(t)A/ 又設(shè)x(0)=x，得微分方程 =九x0 dt解得x(t)=x。e九SI模型：區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)?？?cè)藬?shù)N不變，九為日接觸率，病人和健康人的比例分別為i(t),s(t)。則有dt=九Si，又有s(t)+i(t)=1。所以有dt=九i(1一')丿(°)=i0。11求解出i(t)=——r ，傳染速度最快時刻為t=X-1ln(--1)1+(--1)e-Xt m i0i0SIS模型：傳染病無免疫性?？?cè)藬?shù)N不變，病人的日接觸率為九,病人和健康人的比例分別為i(t),s(t),接觸數(shù)b(感di染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))。病人日治愈率為卩，所以有“不=^Nsi-pNi , i(0)二i。。由s(t)+i(t)=1,b=入/卩，就推出dt=-切-(1_^)］。SIR模型：傳染病有免疫性。總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為i(t),s(t),r(t)，病人的日接觸率為X，病人日治愈率為U，接觸數(shù)b=X/U。且有s(t)+i(t)+r(t)=l。則有di=di=Xsi—Uidtds=一九sidti(0)=i,s(0)0s0因通常r(0)=r0很小，故i0+s0沁0。推出di=Xsi-卩i,i(0)=idt 0ds—=—Xsi,s(0)=s、dt 0經(jīng)濟增長模型；1)道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)Q(t),K(t),L(t),f分別表示某地區(qū)在t時刻的產(chǎn)值、資金、勞動力和技術(shù)。靜態(tài)模型令z=Q/L,y=K/L,則z是每個勞動力產(chǎn)值，y是每個勞動力投資。由于z隨y增加而增長，但增速遞減。Q=fL(K/L)aZ=Q/L=f0g(y) g(yQ=fL(K/L)a，Q(K,L)=fKaL1-a0 此為Douglas生產(chǎn)函數(shù)。更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)為Q(K,L)=fKaL,0<a,卩<1,f〉0002)資金與勞動力的最佳分配(靜態(tài)模型)S=Q—rK—wL資金來自貸款，利率r,勞動力付工資w,資金和勞動力創(chuàng)造的效益為資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件投資增長率與產(chǎn)值成正比dK忑八f資金與勞動力的分配比例K/L(每個勞動力占有的資金)，使效益S最大.3)經(jīng)濟(生產(chǎn)率)增長的條件投資增長率與產(chǎn)值成正比dK忑八f冋a(動態(tài)模型)=九Q,九〉0dt ，勞動力相對增長率為常數(shù)。dt乎+PLyrdt此為Bernoulli方程，它的解為(1KP-K0o—)e-(1—a)卩t]>L1—a一般戰(zhàn)爭模型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力，甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)。每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比.。則有Jt)—f(x,y)—ax+u(t),a>0\典t)=g(x,y)—Py+v(t),P>0正規(guī)戰(zhàn)爭模型；雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率，a=rypy,ry~射擊率，py~命中率Jx&=—ay—ax+u(t)[j&=—bx-Py+v(t) g=—bx,b=rpxx，忽略非戰(zhàn)斗減員就有j&=—ay片：<j&=—bx\x(0)—x,y(0)—y00游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)，甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加，f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵g(x,y)——dxy,d—rp—rs/s的殺傷率，c=rp，r?射擊率p?命中率， xxxrxy，忽略yyy y非戰(zhàn)斗減員(x&=—cxy玻=—dxyx(0)—x,y(0)—y00混合戰(zhàn)爭模型