數(shù)學28.2解直角三角形教案

28.2解角角【究標．目與求能合運用直角三角形的股定理與邊角關系解決簡單的實際問題．知與技能直角三角形中的角角關系關系關系解直角三角形，能運用解三角形的知識解決關的實際問題．．情、度價觀過解直角三角形的應，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識和能力，激勵學生多接觸社會、解生活并熟悉一些生產和生活中的實際事物．【究導教宮在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角中各元素之間的一些相等關系，如下圖：角角關系：角互余，即A+＝90°邊邊關系：勾股定理，即

a2b2c

2

；邊角關系：銳角三角函數(shù)，即解直角三角形能的情況納起來只有下列兩種情形已兩條(一直角邊和一斜邊兩知條邊和一個銳一直角邊和一銳角斜和一銳角這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．用解直角三角形的知識解決實際題的基本方法是：把實際問題抽象成數(shù)學問(角三角)是去實際事物的具體內容事物及它們的聯(lián)系轉化為圖點、、角)以及圖形之間的大小或位置關系．借助生活常識以及課本中一些概如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角義也有助于把實際問題抽象為數(shù)學問．當需要求解的三角形不是直角三形時當高斜形為直角三角形再求解．在解直角三角形的過程中會近似計算沒有特殊要求外長四個有效數(shù)字，角度精確到′例在△ABC中，，據(jù)下列條件解直角角形．(1)c＝10，，求a，(2)

2

，求，∠A∠B思與巧求直角三角形的方法多種多先求ab以A依據(jù)都是直角三角形中的各元素的關系求時了計簡確般量選擇正、余弦，盡量使用乘法，盡量用含有已知量的關系式，盡量避免使用中間數(shù)據(jù)．解∠A＝90°-45°(2)

22246

66

所以

A30例如，CD是斜的高，

2

，

22

,，，∠B(精到1′)思與巧在Rt△ABC，僅已知一條角邊BC長，不能直接求解．注意到BC和在一個Rt△，因可先解這個直角三角形．

解在eq\o\ac(△,Rt)BCD用計算器求得∠B＝54°44于是∠＝90°-∠B＝35°16在eq\o\ac(△,Rt)ABC，例氣測得臺風中心在某港口正東方向400km，正在向正西北方向轉移，距臺風中心的內將受影響，問港口A否會受到這次臺風的影思與巧如19—48，是要求出A到移動路線BC的距是大300kmRt△ABC中，∠ACB＝90°∠ABC＝45°，AB＝400km，AC可．解在Rt△ABC，由于

所以AC∠ABC＝400×sin45°所以港口A將這次臺風的影．例如幢物的水平距離為56較的建筑物的頂部看較低的建筑物的底部的俯角是，從較低建筑物的頂部看較高建筑物頂部的仰角是，兩幢建筑物的高精確到．1m)思與巧如，AB表幢建物AB⊥BD，CDD＝56．5m根據(jù)俯角、仰角的意義，∠DAE＝42°∠ACF＝22°，eq\o\ac(△,Rt)ABD、Rt△ACF都解．解在，∠ADB＝∠DAE＝42°BD＝56.5(m)AB∠ADB＝56.5×tan42°≈50.9(m)在eq\o\ac(△,Rt)ACF，AF≈22.8(m)所以CD＝28.1(m)答：兩幢建筑物的高度分別為50.9m，28.1m例如水庫攔水壩的背水坡壩寬2m由原來的改1已知壩高6m，長50m：(1)加寬部分橫斷面AFEB的(2)完成這一工程需要多少土?思與巧只求出梯形AFEB下底EB，作AG⊥BC，F(xiàn)H，足為、H，根據(jù)坡度的意義，可以求出坡的水長．解作AG⊥BC，F(xiàn)H垂足分別為，題意得HG＝AF＝2(m)．AG＝6(m)在eq\o\ac(△,Rt)ABG，因為所以BG＝12(m)在eq\o\ac(△,Rt)FEH，因為所以EH＝2．5×6

21mbba21mbba所以EB＝15+2-12所以

S

AFEB

1122

25621m

2答：加寬部分橫斷面AFEB的面為，成這一工程需要1方．例海有條，船乙的南，甲船以每小時里的度沿北偏東60°方航行，乙船沿正東方向每小時20海里速航，船會不會相為什么思與巧根意畫出圖形，如圖19，知、兩的線能為直角三角形中60°對的直角邊斜邊，兩船同時出發(fā)，在相同的時間內所走路程的比如果正好等于60°的弦就會相撞否則不會．解如為船的速度為每小時海船度為每小時海里以船與甲船所走路程的比為1又

12所以不會發(fā)生相撞．例某改變城市交通狀況大街拓寬工程中伐掉一棵樹面上事先劃定以圓心徑AB等圓形危險區(qū)某工人站在離點3m遠D測得樹的頂部A點仰角為，底部B的為30°，如圖—52，距離B點8m遠保護物是否在危險區(qū)?思與巧本的實質是要計算大樹的高，如果大于m明保護物在危險區(qū)內，否則不在．由于大樹不在哪一個角三角形中，根據(jù)條件，C作CE⊥AB，可把AB放在Rt△ACE和eq\o\ac(△,Rt)中行求解解答過CCE，為E.由題意可知CE在eq\o\ac(△,Rt)CEB，在eq\o\ac(△,Rt)ACE，所以AB＝AE+BE＜8(m)所以距離B點遠護物不危險區(qū)域內．【究活】提問運用解直角三角形的知識可以解斜三角(三角形或鈍角三)嗎?探準銳角ABC(知和∠．鈍角知∠，C對邊為a，b，c)如探過直角三角形中的邊邊關系角角系是解直角三角形依據(jù)們只有在直角三角形中才成立想用它們來解斜三角形斜三角形轉化為直角三角形，轉化的方法一般是作高如圖—53甲可作⊥BC于D，這樣構造了兩個直角三角形eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)ACD△ACD中＝∠C＝sin∠C因＝a，以BD＝-cos∠Ceq\o\ac(△,Rt)ABD，

tanB

bCabcosC

，得出B進而求出∠A＝180°-∠B-∠C，

2

2

bC

2

abcosC

2

2

2

2abcosC

CC1

同樣方法，圖乙中，可以過作AB，解eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)．eq\o\ac(△,Rt)CDB探評“斜直是用直三形識解斜三角形的根本方法其做法是通過作斜三角形的一條高斜形化為兩個直角三角形據(jù)分別在兩個直角三角形中做文章．例如公路上、B兩距l(xiāng)km測得城鎮(zhèn)C處偏東35°，在B處的北偏西40°向．求城鎮(zhèn)C到A、處距離分是?思與巧弄楚兩個方向角是解決問的第一步，根據(jù)題意∠＝35°∠＝4＝lkm發(fā)現(xiàn)△ABC是角三角形，故通過“化斜為直”轉化作CD⊥AB，如圖19則∠ACD＝∠l＝35°∠BCD＝＝40°是Rt△ACD與eq\o\ac(△,Rt)BCD都無直接求解，因而可利用CD是這直角三角形的公共邊以及AD＝AB＝lkm的件，設法列方程求解．解