信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換演示文稿

信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換演示文稿當(dāng)前1頁，總共133頁。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。2當(dāng)前2頁，總共133頁。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。3當(dāng)前3頁，總共133頁。一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換4當(dāng)前4頁，總共133頁。2．拉氏逆變換5當(dāng)前5頁，總共133頁。3．拉氏變換對6當(dāng)前6頁，總共133頁。二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；7當(dāng)前7頁，總共133頁。u部分s平面收斂的情況：8當(dāng)前8頁，總共133頁。u9當(dāng)前9頁，總共133頁。10當(dāng)前10頁，總共133頁。例4時限信號的拉氏變換(如門信號)。整個s平面收斂的情況：這里只要不是無窮大，上式的分子就不等于無窮大，拉氏變換就存在。故其收斂域為整個s平面。例5下列信號的拉氏變換：

，故在整個s平面都不收斂。整個s平面都不收斂的情況：11當(dāng)前11頁，總共133頁。uuuuuu:12當(dāng)前12頁，總共133頁。13當(dāng)前13頁，總共133頁。一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。14當(dāng)前14頁，總共133頁。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號15當(dāng)前15頁，總共133頁。4．tnu(t)16當(dāng)前16頁，總共133頁。5.復(fù)指數(shù)函數(shù)17當(dāng)前17頁，總共133頁。4.3

拉氏變換的基本性質(zhì)u18當(dāng)前18頁，總共133頁。uuuuuu19當(dāng)前19頁，總共133頁。“周期信號”的拉氏變換第一周期的拉氏變換時移特性無窮級數(shù)求和20當(dāng)前20頁，總共133頁。時移特性例題【例1】已知【例2】21當(dāng)前21頁，總共133頁。用時移性質(zhì)求單邊信號抽樣后的拉氏變換22當(dāng)前22頁，總共133頁。23當(dāng)前23頁，總共133頁。復(fù)頻移特性舉例24當(dāng)前24頁，總共133頁。25當(dāng)前25頁，總共133頁。例：兩邊取拉氏變換：整理得：26當(dāng)前26頁，總共133頁。電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)27當(dāng)前27頁，總共133頁。28當(dāng)前28頁，總共133頁。電容元件的s域模型電容元件的s模型29當(dāng)前29頁，總共133頁。30當(dāng)前30頁，總共133頁。31當(dāng)前31頁，總共133頁。32當(dāng)前32頁，總共133頁。初值定理33當(dāng)前33頁，總共133頁。終值存在的條件:證明：根據(jù)初值定理證明時得到的公式終值定理34當(dāng)前34頁，總共133頁。初值定理舉例

即單位階躍信號的初始值為1。例2例135當(dāng)前35頁，總共133頁。4.4

拉普拉斯逆變換

由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法

部分分式法求拉氏逆變換

兩種特殊情況36當(dāng)前36頁，總共133頁。F(s)的一般形式ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極點37當(dāng)前37頁，總共133頁。拉氏逆變換的過程38當(dāng)前38頁，總共133頁。部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：單階實數(shù)極點2.第二種情況：極點為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在39當(dāng)前39頁，總共133頁。第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)40當(dāng)前40頁，總共133頁。如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？41當(dāng)前41頁，總共133頁。第二種情況：極點為共軛復(fù)數(shù)共軛極點出現(xiàn)在42當(dāng)前42頁，總共133頁。求f(t)43當(dāng)前43頁，總共133頁。例題44當(dāng)前44頁，總共133頁。F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法45當(dāng)前45頁，總共133頁。3.第三種情況：有重根存在如何求k2?46當(dāng)前46頁，總共133頁。如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其他分式為047當(dāng)前47頁，總共133頁。逆變換48當(dāng)前48頁，總共133頁。一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式49當(dāng)前49頁，總共133頁。F(s)的兩種特殊情況非真分式——

化為真分式＋多項式50當(dāng)前50頁，總共133頁。1.非真分式——真分式＋多項式作長除法51當(dāng)前51頁，總共133頁。2.含e-s的非有理式52當(dāng)前52頁，總共133頁。2*.已知某LTI系統(tǒng)的微分方程為若輸入，，，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)。系統(tǒng)頻域分析課堂練習(xí)：1.已知某LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，若輸入，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。53當(dāng)前53頁，總共133頁。4.5

用拉氏變換法分析電路、s域元件模型主要內(nèi)容：

用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟微分方程的拉氏變換利用元件的s域模型分析求解瞬態(tài)電路54當(dāng)前54頁，總共133頁。一、用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟列s域方程(可以從兩方面入手)

列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程求解s域方程，得到時域解答55當(dāng)前55頁，總共133頁。二、微分方程的拉氏變換

若采用0-系統(tǒng)，求拉氏變換時減去的是信號在0-時刻的值；若采用0+系統(tǒng)，求拉氏變換時減去的是信號在0+時刻的值。56當(dāng)前56頁，總共133頁。例4-4電路在t=0時開關(guān)閉合，求輸出信號Vc(t)。兩邊取拉氏變換：列寫微分方程：解得：求拉氏反變換：RCESVc(t)++--i(t)57當(dāng)前57頁，總共133頁。1358當(dāng)前58頁，總共133頁。59當(dāng)前59頁，總共133頁。60當(dāng)前60頁，總共133頁。61當(dāng)前61頁，總共133頁。結(jié)論：分析電路時，采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路更為簡便，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。62當(dāng)前62頁，總共133頁。三、利用元件的s域模型分析瞬態(tài)電路求響應(yīng)的步驟：畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；電路元件的s域模型→電路的s域等效模型；采用KVL和KCL，列出s域方程(代數(shù)方程)；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換U(s)或I(s)；拉氏反變換求u(t)或i(t)。63當(dāng)前63頁，總共133頁。元件的s域模型：64當(dāng)前64頁，總共133頁。65當(dāng)前65頁，總共133頁。

以上是電路定理的推廣，對于線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。66當(dāng)前66頁，總共133頁?！纠?-5-1】如圖所示，t<0開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)t=0時,S由1轉(zhuǎn)向2。＋－RCe(t)=-Ee(t)=E＋－ic(t)i(t)S2167當(dāng)前67頁，總共133頁。5-2168當(dāng)前68頁，總共133頁。69當(dāng)前69頁，總共133頁。70當(dāng)前70頁，總共133頁。71當(dāng)前71頁，總共133頁。例4-5-272當(dāng)前72頁，總共133頁。（4）求反變換73當(dāng)前73頁，總共133頁。求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。74當(dāng)前74頁，總共133頁。(3)對微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)75當(dāng)前75頁，總共133頁。采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換76當(dāng)前76頁，總共133頁。4.6

系統(tǒng)函數(shù)77當(dāng)前77頁，總共133頁。78當(dāng)前78頁，總共133頁。79當(dāng)前79頁，總共133頁。80當(dāng)前80頁，總共133頁。81當(dāng)前81頁，總共133頁。82當(dāng)前82頁，總共133頁。83當(dāng)前83頁，總共133頁。84當(dāng)前84頁，總共133頁。85當(dāng)前85頁，總共133頁。系統(tǒng)函數(shù)課堂練習(xí)：

某級聯(lián)系統(tǒng)如下圖所示，已知，

，，試求、、級聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及單位沖激響應(yīng)。86當(dāng)前86頁，總共133頁。4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定時域特性

沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。

主要優(yōu)點：1．可以預(yù)言系統(tǒng)的時域特性2．便于劃分系統(tǒng)的各個分量(自由/強(qiáng)迫，瞬態(tài)/穩(wěn)態(tài))3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性87當(dāng)前87頁，總共133頁。在s平面上，畫出H(s)的零極點圖：極點：用×表示，零點：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點H(s)零、極點與h(t)波形特征的對應(yīng)88當(dāng)前88頁，總共133頁。89當(dāng)前89頁，總共133頁。90當(dāng)前90頁，總共133頁。91當(dāng)前91頁，總共133頁。92當(dāng)前92頁，總共133頁。極點在左半平面見教材P223結(jié)論93當(dāng)前93頁，總共133頁。94當(dāng)前94頁，總共133頁。瞬態(tài)響應(yīng)是指激勵信號接入以后，完全響應(yīng)中瞬時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－瞬態(tài)響應(yīng)左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應(yīng)對應(yīng)。22595當(dāng)前95頁，總共133頁。例4-7-2，教材習(xí)題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)各分量，暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。解：方程兩端取拉氏變換96當(dāng)前96頁，總共133頁。零輸入響應(yīng)／零狀態(tài)響應(yīng)則

97當(dāng)前97頁，總共133頁。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)／暫態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)／強(qiáng)迫響應(yīng)極點位于虛軸暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(s)的極點E(s)的極點自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)極點位于s左半平面教材P22798當(dāng)前98頁，總共133頁。4.8

由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻域特性99當(dāng)前99頁，總共133頁。H(s)和頻響特性的關(guān)系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)——幅頻特性——相頻特性（相移特性）虛軸上的拉氏變換就是傅氏變換100當(dāng)前100頁，總共133頁。幾種常見的濾波器101當(dāng)前101頁，總共133頁。102當(dāng)前102頁，總共133頁。103當(dāng)前103頁，總共133頁。104當(dāng)前104頁，總共133頁。討論H(s)的幾點位于s平面實軸的情況一階系統(tǒng)只含有一類儲能元件。轉(zhuǎn)移函數(shù)僅一個極點且位于實軸，一般形式為或。二階系統(tǒng)只含有兩類儲能元件。轉(zhuǎn)移函數(shù)的兩個極點都位于實軸。重點討論105當(dāng)前105頁，總共133頁。例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。106當(dāng)前106頁，總共133頁。頻響特性分析X高通濾波器的截止頻率點107當(dāng)前107頁，總共133頁。例4-8-2研究右圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性。寫出網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式:108當(dāng)前108頁，總共133頁。頻響特性

109當(dāng)前109頁，總共133頁。4.11

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關(guān)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性110當(dāng)前110頁，總共133頁。可忽略