幾種重要的隨機過程

關于幾種重要的隨機過程第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

定義3.1.1

對任意的正整數(shù)n及任意的為獨立過程.相互獨立,稱隨機過程隨機變量第一節(jié)獨立過程和獨立增量過程一、獨立過程第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日獨立隨機過程的有限維分布由一維分布確定注

Ex.1

高斯白噪聲實值時間序列的自相關函數(shù)為稱為離散白噪聲(序列).兩兩不相關序列.第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日又若X(n)都服從正態(tài)分布,稱是高斯白噪聲序列.對于n維正態(tài)隨機變量有相互獨立不相關故高斯白噪聲序列是獨立時間序列.若過程是正態(tài)過程,且第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日高斯白噪聲是典型的隨機干擾數(shù)學模型,普遍存在于電流的波動,通信設備各部分的波動,電子發(fā)射的波動等各種波動現(xiàn)象中.稱其為高斯白噪聲過程，它是獨立過程.如金融、電子工程中常用的線性模型—自回歸模型（AR(p)）理想模型要求殘差序列εt是(高斯)白噪聲.第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日二、獨立增量過程

定義3.1.2

稱,T=[0,∞)為獨立增量過程,若對,及t0=0<t1<t2<…<tn,增量序列

X(t1)－X(0),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn-1)相互獨立.0t1t2…tn－1tn第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日注不失一般性,設X(0)=0或P{X(0)=0}=1.有

X(t1),X(t2)－X(t1),…,X(tn)－X(tn－1)相互獨立.

定義3.1.3

若獨立增量過程{X(t),t≥0}對及h>0,X(t+h)

－X(s+h)與X(t)

－X(s)有相同的分布函數(shù),稱{X(t),t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程.0tss+ht+h第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

增量的分布僅與τ有關,與起始點t無關,稱{X(t),t≥0}的增量具有平穩(wěn)性(齊性).注

Ex.2若{X(n),n∈N+}是獨立時間序列,令則{Y(n),n∈N+}是獨立增量過程.又若X(n),n=1,2,…

相互獨立同分布,則{Y(n),n∈N+}是平穩(wěn)獨立增量過程.第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日證

若n1<n2<…<nm{X(n),n∈N+}相互獨立各增量相互獨立.第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

性質3.1.1{X(t),t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程,X(0)=0,則1）均值函數(shù)m(t)=mt(m為常數(shù));2）方差函數(shù)D(t)=σ2t(σ為常數(shù));3）協(xié)方差函數(shù)C(s,t)=σ2min(s,t).分析因均值函數(shù)和方差函數(shù)滿足第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日命題：若可證得1)和2).則對任意實數(shù)t,有證3)X(t)－

X(s)與X(s)相互獨立.第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日一般,C(s,t)=σ2min(s,t).

性質3.1.2

獨立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布確定.

分析

對于獨立增量過程{X(t),t≥0},任取的t1<t2<…<tn∈T,Y1=X(t1),Y2=X(t2)－X(t1),…,Yn=X(tn)－X(tn-1)相互獨立性,利用特征函數(shù)法可證明結論.第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日思考題：1.白噪聲過程是否一定是獨立過程？2.獨立過程是否是獨立增量過程？反之？第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日1．定義為n維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為也稱高斯過程。則稱第二節(jié)正態(tài)過程第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日其中且C為協(xié)方差矩陣，第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日注由正態(tài)過程的n維概率密度表達式知，正態(tài)過程的統(tǒng)計特性，由它的均值函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)完全確定。第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日Ex.3證可得注逆命題也成立。第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日一、維納過程的數(shù)學模型及應用維納過程是英國植物學家羅伯特.布朗在觀察漂浮在液面的花粉運動—布朗運動規(guī)律時建立的隨機游動數(shù)學模型.第三節(jié)維納過程第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日維納過程應用廣泛：電路理論、通信和控制、生物、經濟管理等.維納過程的研究成果應用于計量經濟學，使其方法論產生了一次飛躍，成功地應用于非平穩(wěn)的經濟過程，如激烈變化的金融商品價格的研究。第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日二、定義則稱或布朗運動過程。稱為標準維納過程。特別第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日三、維納過程的分布1.一維分布：W(t)～N(0,σ2t)；2.

增量分布：W(t)－W(s)～N(0,σ2|t－s|);設t＞s

，因W(0)=0,且W(t)是平穩(wěn)獨立增量過程，故有相同分布N(0,σ2(t－s)).第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日3.維納過程是正態(tài)過程.證設維納過程{W(t),t≥0}的參數(shù)是σ2，相互獨立，且有第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)隨機向量的線性變換服從正態(tài)分布。四、維納過程的數(shù)字特征1.E[W(t)]=0;D[W(t)]=s2t2.C(s,t)=R(s,t)=σ2min(s,t)維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日下證同理故第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日3．證由于增量是相互獨立的正態(tài)變量。所以第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日4．具有馬氏性證因此所以所以維納過程是馬氏過程。第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日例4試求的協(xié)方差函數(shù)。且解第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日可得所以第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日一、計數(shù)過程與泊松過程

在天文，地理，物理，生物，通信，醫(yī)學，計算機網(wǎng)絡，密碼學等許多領域，都有關于隨機事件流的計數(shù)問題，如：

蓋格記數(shù)器上的粒子流；電話交換機上的呼喚流；計算機網(wǎng)絡上的（圖象，聲音）流；編碼（密碼）中的誤碼流；第四節(jié)泊松過程第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日交通中事故流；細胞中染色體的交換次數(shù)，…均構成以時間順序出現(xiàn)的事件流A1,A2,…

定義3.4.1隨機過程{N(t),t≥0}稱為計數(shù)過程(CountingProcess),如果N(t)表示在(0,t)內事件A出現(xiàn)的總次數(shù).計數(shù)過程應滿足：(1)

N(t)≥0;第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日(2)N(t)取非負整數(shù)值；(3)如果s<t，則N(s)≤N(t)；(4)對于s<t,N(t)－N(s)表示時間間隔(s,t)內事件出現(xiàn)的次數(shù).)s)tPoisson過程是一類很重要的計數(shù)過程.第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日Poisson過程數(shù)學模型：

電話呼叫過程

設N(t)為[0,t)時間內到達的呼叫次數(shù),其狀態(tài)空間為E={0，1，2，…}此過程有如下特點：1)

零初值性

N(0

)=0;2)

獨立增量性

任意兩個不相重疊的時間間隔內到達的呼叫次數(shù)相互獨立;第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日3)

齊次性在(s,t)時間內到達的呼叫次數(shù)僅與時間間隔長度t－s有關，而與起始時間s無關;

4）普通性在充分小的時間間隔內到達的呼叫次數(shù)最多僅有一次，即對充分小的Δt,有其中λ＞0.第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

定義3.4.2設計數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足：(1)N(0)=0;(2)是平穩(wěn)獨立增量過程；(3)P{N(h)=1}=λh+o(h),λ>0；(4)P{N(h)≥2}=o(h).

稱{N(t),t≥0)是參數(shù)(或速率,強度)為λ的齊次泊松過程.第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

EX.1

在數(shù)字通信中誤碼率λ是重要指標，設{N(t),t≥0}為時間段[0,t)內發(fā)生的誤碼次數(shù),{N(t),t≥0}是計數(shù)過程,而且滿足(1)初始時刻不出現(xiàn)誤碼是必然的,故N(0)=0;(2)在互不相交的區(qū)間出現(xiàn)的誤碼數(shù)互不影響,故N(t)獨立增量過程.

在系統(tǒng)穩(wěn)定運行的條件下,在相同長度區(qū)間內出現(xiàn)k個誤碼概率應相同,故可認為N(t)是增量平穩(wěn)過程.第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日{N(t),t≥0}是平穩(wěn)獨立增量過程；(3)認為Δt時間內出現(xiàn)一個誤碼的可能性與區(qū)間長度成正比是合理的,即有P{N(Dt)=1}=λDt

+o(Dt),λ>0；(4)假定對足夠小的Δt時間內,出現(xiàn)兩個以上誤碼的概率是關于Δt的高階無窮小也是合理的,有P{N(Dt)≥2}=o(Dt).第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

定理3.4.1齊次泊松過程{N(t),t≥0}在時間間隔(t0,t0+t)內事件出現(xiàn)n次的概率為終上所述,可用Poisson過程數(shù)學模型描述通信系統(tǒng)中誤碼計數(shù)問題.

可認為

{N(t),t≥0}是強度為λ的泊松計數(shù)過程.第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日定理證明反之亦然,得泊松過程的等價定義：定義3.4.2′設計數(shù)過程{N(t),t≥0}滿足下述條件：(1)

N(0)=0；(3)對一切0≤s<t,N(t)－N(s)～P(λ(t－s)),即(2)

N(t)是獨立增量過程；第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日注有問題若N(t)的一維分布是泊松分布,能否推出第(3)條成立?

第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

EX.2

設{N(t),t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程,事件A在(0,τ)時間區(qū)間內出現(xiàn)n次，試求:P{N(s)=kN(τ)=n},0<k<n,0<s<τ第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日二、齊次泊松過程的有關結論1.數(shù)字特征N(t)～P(λt).均值函數(shù)方差函數(shù)第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日稱λ為事件的到達率λ是單位時間內事件出現(xiàn)的平均次數(shù).協(xié)方差函數(shù)

C(s,t)=λmin(s,t)，相關函數(shù)

R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.證因泊松過程{N(t),t≥0)是平穩(wěn)獨立增量過程，不妨設t>s>0

R(s,t)=E{N(t)N(s)}=E{N(s)[N(t)－N(s)+N(s)]}第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日=E{N(s)[N(t)－N(s)]}+E[N2(s)]

=E{N(s)}E{N(t)－N(s)}+E[N2(s)]C(s,t)=λmin(s,t)R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.一般地有第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日

定理：泊松過程的特征函數(shù)為證明：第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日1)令Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,求Y(t)的均值函數(shù)和相關函數(shù).2)證明X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,是強度為λ1+λ2的泊松過程.3)證明Y(t)=N1(t)－N2(t)，t>0,不是泊松過程.

EX.3

設N1(t)和N2(t)分別是強度為λ1和λ2的相互獨立的泊松過程,第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日2)根據(jù)泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t>0,3)X(t)=N1(t)－N2(t)的特征函數(shù)為獨立和的特征函數(shù)由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對應的惟一性定理知X(t)不是泊松過程.服從參數(shù)為λ1+λ2的泊松分布.自證問題:如何證明?第四十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日2.時間間隔與等待時間的分布tW1W2W3W4…N(t)軌道是躍度為1的階梯函數(shù)

用Tn表示事件A第n－1次出現(xiàn)與第n次出現(xiàn)的時間間隔.第五十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日Wn為事件A第n次出現(xiàn)的等待時間(到達時間).

定理3.4.2設{Tn,n≥1}是參數(shù)為λ的泊松過程{N(t),t≥0}的時間間隔序列，則{Tn,n≥1}相互獨立同服從指數(shù)分布，且E{T}=1/λ.證(1)因{T1>t}={(0,t)內事件A不出現(xiàn)}P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt第五十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期日即T1服從均值為1╱λ的指數(shù)分布.(2)由泊松過程的平穩(wěn)獨立增量性,有

P{T2>t