人教A版高三一輪復(fù)習(xí)教案65數(shù)列的通項(xiàng)公式教案

教案65數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）一、課前檢測(cè)1．（1）數(shù)列9，99，999，…的通項(xiàng)公式為；；（2）數(shù)列5，55，555，…的通項(xiàng)公式為。。2．已知數(shù)列中，，且，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，又由，可推知對(duì)一切正整數(shù)均有，∴數(shù)列是等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，∴．當(dāng)時(shí)，，又，∴二、知識(shí)梳理（一）數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的與之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個(gè)公式an＝f(n)來(lái)表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．解讀：（二）通項(xiàng)公式的求法（6種方法）5.構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類(lèi)題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺(jué).1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.4）構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.6.歸納猜想證明法解法：數(shù)學(xué)歸納法7．已知數(shù)列前項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn-1，則an＝（注意：不能忘記討論）.如：數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則__________.三、典型例題分析題型5構(gòu)造法：1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng).解：，∴，∵，∴.即是以2為公差的等差數(shù)列，且.∴變式訓(xùn)練5數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：∵當(dāng)n≥2時(shí)，令，則，且是以為公比的等比數(shù)列，∴.小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.題型6構(gòu)造法：2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（n∈N*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.∵，，∴.∴題型7構(gòu)造法：3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.例7數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和，求.解：，∴∴題型8構(gòu)造法：4）構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.例8設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，，，∴變式訓(xùn)練5已知數(shù)列中，，n≥2時(shí)，求通項(xiàng)公式.解：∵，兩邊取倒數(shù)得.可化為等差數(shù)列關(guān)系式.∴題型9歸納猜想證明例9設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)由①可得S3＝EQ\f(3,4)由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對(duì)所有正整數(shù)n都成立于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時(shí)，a1＝