極限四則運(yùn)算法則(精)

極限四則運(yùn)算法則(精)第一頁(yè)，共25頁(yè)。第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則第二頁(yè)，共25頁(yè)。時(shí),有一、無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1.有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.第三頁(yè)，共25頁(yè)。說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，(P57題4(2))解答見(jiàn)課件第二節(jié)例5類(lèi)似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.第四頁(yè)，共25頁(yè)。定理2.

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

證:設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無(wú)窮小.推論1.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2

.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.第五頁(yè)，共25頁(yè)。例1.求解:

利用定理2可知說(shuō)明:

y=0是的漸近線.第六頁(yè)，共25頁(yè)。二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無(wú)窮小)于是由定理1可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若第七頁(yè)，共25頁(yè)。推論:若且則(P46定理5)利用保號(hào)性定理證明.說(shuō)明:定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:令第八頁(yè)，共25頁(yè)。定理4

.若則有提示:利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說(shuō)明:定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設(shè)n次多項(xiàng)式試證證:第九頁(yè)，共25頁(yè)。為無(wú)窮小(詳見(jiàn)書(shū)P44)定理5.

若且B≠0,則有證:因有其中設(shè)無(wú)窮小有界由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理,得因此為無(wú)窮小,

第十頁(yè)，共25頁(yè)。定理6

.

若則有提示:因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.第十一頁(yè)，共25頁(yè)。

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.若第十二頁(yè)，共25頁(yè)。例5.

求解:

x=1時(shí),分母=0,分子≠0,但因第十三頁(yè)，共25頁(yè)。例6

.

求解:分子分母同除以則“抓大頭”原式第十四頁(yè)，共25頁(yè)。一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)第十五頁(yè)，共25頁(yè)。三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.設(shè)且x滿足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.第十六頁(yè)，共25頁(yè)。定理7.設(shè)且x滿足時(shí),又則有說(shuō)明:若定理中則類(lèi)似可得第十七頁(yè)，共25頁(yè)。例7.求解:令,仿照例4∴原式=(見(jiàn)P34例5)例4第十八頁(yè)，共25頁(yè)。例8.求解:

方法1則令∴原式方法2第十九頁(yè)，共25頁(yè)。內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(要求分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第二十頁(yè)，共25頁(yè)。思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問(wèn)第二十一頁(yè)，共25頁(yè)。3.

求解法1原式=解法2令則原式=第二十二頁(yè)，共25頁(yè)。4.

試確定常數(shù)a使解:令則故因此第二十三頁(yè)，共25頁(yè)。作業(yè)P491

(5)，(7)，