二項式定理各種題型歸納

關于二項式定理各種題型歸納第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日

二項式定理二項式展開的通項復習舊知第項第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日性質復習性質1在二項展開式中，與首末兩端等距離的任意兩項的二項式系數相等.性質2：如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數最大；性質3：性質4：(a+b)n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數和.第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型一利用的二項展開式解題解法1例1求的展開式直接用二項式定理展開第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型一利用的二項展開式解題例1求的展開式解法2化簡后再展開第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題2若,則的值()A一定為奇數C一定為偶數B與n的奇偶性相反D與n的奇偶性相同解:所以為奇數故選(A)思考能用特殊值法嗎?偶偶奇A第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日熟記二項式定理,是解答與二項式定理有關問題的前提條件,對比較復雜的二項式,有時先化簡再展開更便于計算.例題點評第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型二利用通項求符合要求的項或項的系數例3求展開式中的有理項解:令原式的有理項為:第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例4(04全國卷)的展開式中的系數為__________解:設第項為所求的系數為第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日分析：第k+1項的二項式系數---第k+1項的系數-具體數值的積。解：第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日求二項展開式的某一項,或者求滿足某種條件的項,或者求某種性質的項,如含有x項的系數,有理項,常數項等,通常要用到二項式的通項求解.注意(1)二項式系數與系數的區(qū)別.(2)表示第項.3例題點評第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型3二項式定理的逆用例6計算并求值解(1):將原式變形第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型3二項式定理的逆用例7計算并求值解:(2)原式第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評逆向應用公式和變形應用公式是高中數學的難點,也是重點,只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應用和變式應用第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型4求多項式的展開式中特定的項(系數)例8的展開式中,的系數等于___________解:仔細觀察所給已知條件可直接求得的系數是解法2運用等比數列求和公式得在的展開式中,含有項的系數為所以的系數為-20第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例9．求展開式中的系數。解:可逐項求得的系數的展開式通項為當時系數為的展開式通項為當時系數為所以展開式中的系數為的展開式通項為當時系數為-4第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日求復雜的代數式的展開式中某項(某項的系數),可以逐項分析求解,常常對所給代數式進行化簡,可以減小計算量例題點評第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型5求乘積二項式展開式中特定的項(特定項的系數)例題10:求

的展開式中項的系數.解的通項是的通項是的通項是第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日由題意知解得所以的系數為:

例題點評對于較為復雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日（題型6）求展開式中各項系數和解：設展開式各項系數和為1例題點評求展開式中各項系數和常用賦值法：令二項式中的字母為1∵上式是恒等式，所以當且僅當x=1時，(2-1)n=∴=（2-1）n=1例11.的展開式的各項系數和為____第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型7：求奇數(次)項偶數(次)項系數的和(1)(2)第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型7：求奇數(次)項偶數(次)項系數的和所以（3）第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評求二項展開式系數和，常常得用賦值法，設二項式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據結果求值第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型8三項式轉化為二項式解：三項式不能用二項式定理,必須轉化為二項式再利用二項式定理逐項分析常數項得=1107第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日______________解：原式化為其通項公式為240例題點評括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項,合并時要注意選擇的科學性.也可因式分解化為乘積二項式.第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型9求展開式中系數最大(小)的項解:設項是系數最大的項,則二項式系數最大的項為第11項,即所以它們的比是第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例16在的展開式中，系數絕對值最大的項解：設系數絕對值最大的項是第r+1項，則所以當時，系數絕對值最大的項為第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例17求的展開式中數值最大的項解：設第項是是數值最大的項展開式中數值最大的項是第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日解決系數最大問題，通常設第項是系數最大的項，則有由此確定r的取值例題點評第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型10整除或余數問題例18解:前面各項均能被100整除.只有不能被100整除余數為正整數注意第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日整除性問題，余數問題，主要根據二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結構，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數。這是解此類問題的最常用技巧。余數要為正整數例題點評第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型11證明恒等式析:本題的左邊是一個數列但不能直接求和.因為由此分析求解兩式相加第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評利用求和的方法來證明組合數恒等式是一種最常見的方法,證明等式常用下面的等式第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例20．證明：

證明通項所以題型12證明不等式第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日例題點評利用二項式定理證明不等式,將展開式進行合理放縮第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日題型13近似計算例21.某公司的股票今天的指數為2,以后每天的指數都比上一天的指數增加0.2%,則100天后這公司的股票股票指數為_____(精確到0.001)解:依題意有2(1+0.2%)100所以100天后這家公司的股票指數約為2.44點評近似計算常常利用二項式定理估算前幾項第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日鞏固練習一選擇題1(04福建)已知展開式的常數項是1120,其中實數是常數,則展開式中各項系數的和是()C2若展開式中含項的系數與含項的系數之比為-5,則n等于()A4B6C8D10B3．被4除所得的系數為（）

A．0B．1C．2D．3A第三十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期日展開式中的系數是______________2被22除所得的余數為

。

1353已知