電子輸運(yùn)理論及性質(zhì)課件

固體物理（II）第八章電子輸運(yùn)理論及性質(zhì)第九章半導(dǎo)體電子論第十章固體的磁性第十一章超導(dǎo)電性第八章電子輸運(yùn)理論及性質(zhì)能帶結(jié)構(gòu)輸運(yùn)性質(zhì)載流子受到的散射或碰撞三個(gè)問題外場下作用下載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律外場和碰撞同時(shí)作用對(duì)載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響引入馳豫時(shí)間描述采用半經(jīng)典模型引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結(jié)到對(duì)分布函數(shù)的影響8.1外場下Bloch電子運(yùn)動(dòng)的半經(jīng)典模型8.2Boltzmann方程8.3外場和碰撞作用8.4馳豫時(shí)間的統(tǒng)計(jì)理論8.5電-聲子相互作用8.6金屬電導(dǎo)率電阻率8.8磁輸運(yùn)性質(zhì)霍爾效應(yīng)磁電阻效應(yīng)8.9熱輸運(yùn)性質(zhì)熱電效應(yīng)熱導(dǎo)率熱電勢Bloch電子的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)晶格周期場的量子力學(xué)處理全部概括在函數(shù)中能帶結(jié)構(gòu)輸運(yùn)性質(zhì)半經(jīng)典模型使能帶結(jié)構(gòu)與輸運(yùn)性質(zhì)即電子對(duì)外場的響應(yīng)相聯(lián)系輸運(yùn)性質(zhì)能帶結(jié)構(gòu)同基于理論得到的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較從而驗(yàn)證能帶結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)的正確與否提供了從能帶結(jié)構(gòu)推斷出電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ)基于輸運(yùn)性質(zhì)的測量結(jié)果推斷出電子的能帶結(jié)構(gòu)§8.2Boltzmann方程對(duì)固體中電子輸運(yùn)性質(zhì)的了解，除載流子受到的散射或碰撞外，需要知道外場作用下載流子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及外場和碰撞同時(shí)作用對(duì)載流子輸運(yùn)性質(zhì)的影響。外場下載流子運(yùn)動(dòng)規(guī)律可基于半經(jīng)典模型現(xiàn)在要解決的是如何考慮碰撞以及碰撞和外場同時(shí)作用對(duì)載流子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響？引入分布函數(shù)，并將這些影響歸結(jié)到對(duì)分布函數(shù)的影響定義對(duì)于單位體積樣品，t時(shí)刻、第n個(gè)能帶中，在（r,k）處相空間體積內(nèi)的電子數(shù)為：每一個(gè)電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為n通常不標(biāo)出，因?yàn)榭紤]的是同一帶中的電子所以總電流密度為碰撞以及碰撞和外場同時(shí)作用對(duì)f的影響？在熱平衡情況下，即溫度均勻且沒有外場作用，電子系統(tǒng)的分布函數(shù)為費(fèi)米分布函數(shù)與位置無關(guān)。有外場/溫度不均勻時(shí)，電子將偏離熱平衡，相應(yīng)的分布函數(shù)點(diǎn)范圍內(nèi)如何隨時(shí)間變化呢？玻爾茲曼方程右邊第一項(xiàng)展開，保留到dt的線性項(xiàng)，有對(duì)于穩(wěn)態(tài)Boltzmann方程決定于體系的能帶結(jié)構(gòu)與外場有關(guān)因此，Boltzmann方程將能帶結(jié)構(gòu)、外場作用以及碰撞作用通過引入分布函數(shù)而相聯(lián)系，成為研究固體電子輸運(yùn)性質(zhì)的理論基礎(chǔ)半經(jīng)典模型§8.3外場和碰撞作用(1)溫度場溫度梯度的存在引起不均勻的分布函數(shù)通常假定非平衡的穩(wěn)態(tài)分布相對(duì)于平衡分布偏離甚少(2)電場忽略掉溫度梯度對(duì)f1的影響玻爾茲曼方程最復(fù)雜的是碰撞項(xiàng)的處理，為了方便，可以做一些簡化。假設(shè)沒有外場，也沒有溫度梯度，那么如果電子的分布函數(shù)偏離了平衡值，系統(tǒng)必須以碰撞機(jī)制來恢復(fù)平衡態(tài)的分布。(4)碰撞負(fù)號(hào)源于偏離隨時(shí)間的增加而減小。方程的解：該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時(shí)間常數(shù)弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫時(shí)間來描述這個(gè)恢復(fù)過程：溫度場、電場、磁場及碰撞作用同時(shí)存在下的Boltzmann方程溫度場電場磁場碰撞(4)碰撞(1)溫度場(2)電場(3)磁場得到代入§8.4固體電阻率在沒有溫度場、磁場的情況下，僅有電場時(shí)的Boltzmann方程為泰勒定理：因此，該式相當(dāng)于上述泰勒展開式的一級(jí)近似借助分布函數(shù)電流密度可表示為由于平衡分布對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)相當(dāng)于同時(shí)注意到§8.4.1直流電導(dǎo)率知道了分布函數(shù)就可以很方便的求出電流密度，只需對(duì)分布函數(shù)在相空間求積分：代入兩個(gè)等能面之間的距離為dk面元為ds體積元為由于：而：考慮K空間的兩個(gè)等能面由于只在費(fèi)米面附近才不為零，即所以積分只需考慮在費(fèi)米面附近進(jìn)行考慮一個(gè)立方體晶體，外場方向沿著Ox方向，電流沿著Ox所以立方體晶體的電導(dǎo)率在多種散射機(jī)制存在下，總的散射幾率是：總散射馳豫時(shí)間電阻率源于傳導(dǎo)電子的散射，固體因缺陷、雜質(zhì)、晶格振動(dòng)、庫侖作用等，往往存在著多種散射機(jī)制Pi代表第i種機(jī)制單位時(shí)間內(nèi)的散射幾率意味著總電阻率是不同散射機(jī)制引起的電阻率之和馬西森(Matthiessen)定則剩余電阻率聲子散射有關(guān)的電阻率電子－電子相互作用有關(guān)的電阻率磁散射有關(guān)的電阻率導(dǎo)體雜質(zhì)、缺陷等散射電子－聲子相互作用電子－電子相互作用磁散射導(dǎo)體電阻率至少包含四個(gè)部分§8.4.2導(dǎo)體電阻率常見的散射機(jī)制導(dǎo)體中或多或少存在缺陷或結(jié)構(gòu)不完整或含有雜質(zhì)離子，這些缺陷、結(jié)構(gòu)不完整性和雜質(zhì)將對(duì)傳導(dǎo)電子產(chǎn)生散射，引起電阻。與此相對(duì)應(yīng)的電阻率稱為剩余電阻率，記為0起因剩余電阻率與樣品質(zhì)量有關(guān)，是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)。通過低溫下電阻率隨溫度關(guān)系的測量并外推到絕對(duì)零度，即可得到剩余電阻率。很明顯，樣品質(zhì)量越好，也就是說，盡可能少的缺陷、結(jié)構(gòu)盡可能完整、沒有雜質(zhì)的存在，0則越小。如果是理想導(dǎo)體，則剩余電阻率趨向于零。1、剩余電阻率非磁金屬電阻率費(fèi)米面附近電子散射的馳豫時(shí)間散射矩陣元的絕對(duì)值。費(fèi)米面能態(tài)密度。明顯地，式中的物理量均與電子自旋是無關(guān)的因此，在非磁性金屬中，電子的輸運(yùn)與電子的自旋無關(guān)電子的自旋－自旋散射鐵磁金屬Stoner提出了能帶劈裂交換模型對(duì)于鐵磁過渡金屬來說,交換作用能與動(dòng)能的平衡使系統(tǒng)不同自旋的子帶發(fā)生交換劈裂,自旋向上的子帶與自旋向下的子帶發(fā)生相對(duì)位移,引起自發(fā)磁化,這樣一來系統(tǒng)的動(dòng)能雖然增加了,但由于其3d電子在費(fèi)密面附近具有非常大的態(tài)密度,動(dòng)能的增加不大,而交換作用能卻大大減小,因而系統(tǒng)的總能量有所下降。交換劈裂使自旋向上的子帶(多數(shù)自旋)全部或絕大部分被電子占據(jù),而自旋向下的子帶(少數(shù)自旋)僅部分被電子占據(jù)。二者的差異造成了鐵磁過渡金屬元素原子磁矩的非整數(shù)性.兩子帶的占據(jù)電子總數(shù)之差正比于它的磁矩。金屬中摻有少量磁性雜質(zhì)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，電阻率隨溫度降低而變小，在某一溫度附近達(dá)到最小，然后隨溫度進(jìn)一步降低而增加實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象這些反常現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)上早已觀察，多年來一直是金屬研究中的一個(gè)疑難問題，直到1964年，近藤（J.Kondo）提出理論對(duì)電阻極小現(xiàn)象以解釋。磁性雜質(zhì)對(duì)傳導(dǎo)電子的散射實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象金屬中摻入少量磁性雜質(zhì)引起低溫下出現(xiàn)電阻極小的現(xiàn)象，以及與此相關(guān)的一系列低溫反?，F(xiàn)象，稱為近藤效應(yīng)。近藤效應(yīng)而聲子散射有關(guān)的電阻率隨T降低而減少傳導(dǎo)電子本身攜帶自旋磁性雜質(zhì)具有局域磁矩雜質(zhì)磁矩與傳導(dǎo)電子自旋之間存在相互作用這一作用引起對(duì)傳導(dǎo)電子額外的散射，導(dǎo)致額外的電阻率：近藤理論ni－雜質(zhì)濃度，J－交換積分，D－導(dǎo)帶半寬度兩者的競爭必然在某一溫度達(dá)到極小實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象1）電子-電子相互吸引作用的簡單模型1950年弗烈里希(Frolich)指出：電子-聲子相互作用能把兩個(gè)電子耦合在一起，這種耦合就好像兩個(gè)電子之間有相互作用一樣為了明確其物理圖像，弗烈里希給出如下一個(gè)物理模型整齊排列的理想點(diǎn)陣中的兩個(gè)電子當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電子通過晶格時(shí)，電子與離子點(diǎn)陣的庫侖作用使晶格畸變當(dāng)?shù)诙€(gè)電子通過畸變的晶格時(shí)，受到畸變場作用，畸變場吸引這第二個(gè)電子如果我們忘記第一個(gè)電子對(duì)晶格造成畸變的過程，而只看最后結(jié)果，將是第一個(gè)電子吸引第二個(gè)電子3、聲子散射有關(guān)的電阻率當(dāng)溫度不為零時(shí)，離子實(shí)會(huì)在平衡位置附近發(fā)生小的振動(dòng)，使得電子勢變成

晶體中共有化運(yùn)動(dòng)的電子是在和晶格具有相同周期的勢場中運(yùn)動(dòng)：對(duì)理想完整的晶體，絕對(duì)零度時(shí)離子實(shí)處在嚴(yán)格周期排列的位置在這樣的周期場中運(yùn)動(dòng)的電子，其狀態(tài)是由確定能量和確定波矢的Bloch波所描述的穩(wěn)定態(tài)，這種穩(wěn)定態(tài)不會(huì)發(fā)生變化。明顯地，周期勢場因晶格振動(dòng)而被破壞，附加的偏離周期性勢場離子實(shí)對(duì)平衡位置的偏離

2）電-聲子相互作用的理論描述可看作為微擾，它使得電子從一個(gè)穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)，即出現(xiàn)散射

假設(shè)偏離很小，則有

為簡單起見，只考慮簡單格子，此時(shí)僅有聲學(xué)支

將波矢q、頻率的簡正模引起的原子位移寫成實(shí)數(shù)形式

為振動(dòng)方向上的單位矢量

這是量子力學(xué)中典型的含時(shí)周期性微擾問題在這樣的微擾下，電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為函數(shù)保證了躍遷過程中能量是守恒的，即離子實(shí)偏離平衡位置的運(yùn)動(dòng)組成晶體中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子稱為聲子

因此晶格振動(dòng)對(duì)電子的散射實(shí)際上就是聲子對(duì)電子的散射。晶格運(yùn)動(dòng)對(duì)電子的散射過程相當(dāng)于電子通過吸收（+）或發(fā)射聲子（-），從一個(gè)穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)的過程。量子力學(xué)語言吸收聲子發(fā)射聲子散射矩陣元由于晶格平移對(duì)稱性，求和部分僅僅當(dāng)波矢之和為倒格矢方不為零，由此給出晶格動(dòng)量守恒關(guān)系，即能量守恒關(guān)系動(dòng)量守恒關(guān)系正常過程或N過程此時(shí)說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個(gè)波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量和動(dòng)量均是守恒的。吸收聲子發(fā)射聲子倒逆過程或U過程此時(shí)說明電子在初態(tài)k吸收（+）或發(fā)射（-）一個(gè)波矢為q的聲子躍遷到末態(tài)k‘的過程能量是守恒的，但動(dòng)量并不守恒?！?.4.3馳豫時(shí)間碰撞項(xiàng)該方程說明：由于碰撞作用，系統(tǒng)將以時(shí)間常數(shù)弛豫回到平衡分布。另外一方面，碰撞項(xiàng)也可以表示為：代表單位時(shí)間內(nèi)因碰撞進(jìn)入（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)代表單位時(shí)間內(nèi)因碰撞離開（r，k）處相空間單位體積中的電子數(shù)若電子從k態(tài)躍遷到k’態(tài)的幾率為wk,k’，計(jì)及泡利不相容原理，則有同理有因此可以論證則有在外加電場下對(duì)球形費(fèi)米面如取電場方向?yàn)閗方向，則有為k和k’之間的夾角寫成積分形式3）聲子散射有關(guān)的電阻率故電阻率不僅與躍遷幾率有關(guān)，還涉及（1-cos）的權(quán)重因子很明顯小角度的散射對(duì)產(chǎn)生電阻幾乎沒有貢獻(xiàn)，起重要作用的則是大角度散射，它使電子沿電場方向的速度有大的改變。由前面得分析看到，電子和格波的一個(gè)簡正模（即一個(gè)聲子）相互作用導(dǎo)致電子從k態(tài)到k’態(tài)的躍遷，其躍遷幾率正比于該格波振幅的平方對(duì)所描述的格波模晶格中每個(gè)原子的振動(dòng)動(dòng)能對(duì)時(shí)間平均后得到N個(gè)原子總的振動(dòng)動(dòng)能為可見，振幅的平方與相應(yīng)格波模的能量相聯(lián)系，用聲子語言，則是比例于相應(yīng)的聲子數(shù)頻率為的格波的聲子數(shù)按德拜模型，總的聲子數(shù)為高溫低溫同時(shí)，高溫下涉及的聲子波矢較大，(1-cos)與溫度幾乎無關(guān)，因此，電阻率正比于溫度，即另外一方面，低溫下涉及的聲子波矢小，需要考慮(1-cos)因子的影響布洛赫-格林艾森T5定律更一般情況下電子受聲子的散射引起的電阻率為：A為材料有關(guān)的常數(shù)，M原子質(zhì)量，D為德拜溫度高溫低溫意味著高溫時(shí)，因電－聲子相互作用引起的電阻率隨溫度降低而線性減小意味著低溫時(shí)，因電－聲子相互作用引起的電阻率按T5關(guān)系隨溫度降低而減少稱為布洛赫-格林艾森公式4、電子－電子相互作用有關(guān)的電阻率金屬中的傳導(dǎo)電子雖擁在一起，彼此僅相距～0.2nm，但在兩次相互碰撞之間卻運(yùn)動(dòng)了相當(dāng)長的距離。電子－電子碰撞的平均自由程室溫下>103nm，1K下>10cm這是金屬的一個(gè)令人驚異的性質(zhì)！為什么？注意到：正是因?yàn)槿绱碎L的平均自由程，才使得自由電子模型在很多方面給金屬性質(zhì)以令人滿意的描述兩個(gè)原因泡利不相容原理降低了電子的碰撞幾率兩電子之間庫侖相互作用的屏蔽以二體碰撞為例來說明不相容原理是如何降低電子的碰撞幾率的波矢為k1的電子與波矢為k2的電子碰撞根據(jù)泡利不相容原理，只允許這樣的碰撞發(fā)生，即其終態(tài)k3和k4在碰撞以前是未被電子占據(jù)的態(tài)。碰撞后波矢分別變成k3和k4考慮二體碰撞發(fā)生在激發(fā)軌道1中的一個(gè)電子與費(fèi)米海里填滿的軌道2中的一個(gè)電子之間1243為方便起見，將費(fèi)米能級(jí)取為能量零點(diǎn)這樣，電子1的能量E1為正，電子2的能量E2為負(fù)。根據(jù)不相容原理，碰撞后電子的軌道3和4必定在費(fèi)米球外，相應(yīng)的能量E3和E4均為正值。1243能量守恒意味著只有當(dāng)軌道2處在費(fèi)米面以下厚度為E1的能殼中時(shí)碰撞過程才可能發(fā)生因此，處在充滿軌道中的電子，僅僅部分電子才可能成為電子1的碰撞靶體，這部分作為靶體的電子占總數(shù)的比例約為動(dòng)量守恒即使處在上述能殼中的電子可作為電子1的碰撞靶體，但碰撞過程還要求滿足動(dòng)量守恒，因此，處在上述能殼中的電子也只有部分參與了和電子1的碰撞，這部分電子所占的比例近似為因此，泡利不相容原理使得電子－電子碰撞幾率相對(duì)于經(jīng)典值降低了一個(gè)因子用熱能kBT代替E1，則降低因子可近似為能量守恒動(dòng)量守恒在盧瑟福碰撞截面計(jì)算中，電子被看成是一個(gè)未屏蔽的點(diǎn)電荷，相應(yīng)的庫侖勢為：然而，電子的運(yùn)動(dòng)是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)的后果是使得點(diǎn)電荷產(chǎn)生的庫侖勢受到屏蔽，成為屏蔽庫侖勢

兩電子之間庫侖相互作用的屏蔽泡利因子的出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)了電子－電子相互作用的重要性，而屏蔽效應(yīng)引起碰撞截面的減小因而降低了電子－電子相互作用的重要性因此，考慮電子－電子相互作用后，有效碰撞截面近似為泡利因子屏蔽庫侖相互作用下的碰撞截面屏蔽效應(yīng)在電子－電子碰撞過程中所起的作用是降低碰撞截面Q0，使之小于未屏蔽庫侖勢的盧瑟福碰撞方程所估計(jì)的碰撞截面由于電子－電子相互作用，使得有效碰撞截面正比于溫度的平方，因此，電子－電子相互作用有關(guān)的電阻率為1、基本概念極化場：離子晶體中的導(dǎo)電電子在移動(dòng)時(shí)將使周圍晶格極化，正離子被吸向電子，負(fù)離子被電子排斥。這種正、負(fù)離子的相對(duì)位移，形成一個(gè)圍繞電子的極化場。

極化子：離子晶體中，導(dǎo)電電子與它周圍的極化場所構(gòu)成的一個(gè)互相作用的整體，稱為極化子。從場論角度看，極化子是慢運(yùn)動(dòng)電子與光學(xué)?？v聲子（LO聲子）相互作用系統(tǒng)的準(zhǔn)粒子。大極化子與小極化子：極化子的尺寸由電子（或空穴）周圍晶格畸變區(qū)域的大小決定。當(dāng)這個(gè)區(qū)域比晶格常數(shù)大得多時(shí)稱為大極化子。當(dāng)電子周圍的晶格畸變區(qū)小于或等于晶格常數(shù)量級(jí)時(shí)稱為小極化子。§8.4.3極化子(polarons)

有關(guān)的電阻率極化子的尺寸：極化場中的晶格畸變可以解釋為電子在其周圍激發(fā)LO虛聲子。因此，極化子的尺寸可以由電子發(fā)射或吸收LO虛聲子后的位置不確定度估計(jì)。式中Δk,m,ωL依次是電子發(fā)射或吸收LO虛聲子后的波數(shù)不確定度、電子的有效質(zhì)量、聲子的圓頻率。對(duì)極性離子晶體半導(dǎo)體，如Ⅱ—VI和Ⅲ—V族化合物，能帶電子的有效質(zhì)量比自由電子質(zhì)量小一百倍，極化子的尺寸約為100?，遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，這些材料中的載流子是大極化子。對(duì)于多數(shù)離子晶體，如堿金屬的鹵化物，其能帶電子的有效質(zhì)量可近似取自由電子質(zhì)量，這樣算出的極化子尺寸略大于晶格常數(shù)，載流子近似為小極化子。以離子晶體為例說明一個(gè)極化子的形成過程對(duì)于窄帶半導(dǎo)體，如NiO，能帶電子的有效質(zhì)量較大，Δr小于或等于晶格常數(shù)，屬于小極化子情形。一般來說，小極化子出現(xiàn)在具有窄帶和強(qiáng)耦合的系統(tǒng)中。

2、極化子形成過程KCl形成彈性點(diǎn)陣

由于K離子帶正電，如果傳導(dǎo)電子出現(xiàn)在K離子附近意味著，在彈性點(diǎn)陣情況下，K或Cl離子會(huì)因?yàn)橥瑐鲗?dǎo)電子之間的庫侖力作用而發(fā)生位移，即所謂的晶格應(yīng)變同樣由于Cl離子帶負(fù)電，當(dāng)傳導(dǎo)電子經(jīng)過時(shí)，傳導(dǎo)電子和Cl離子之間的庫侖排斥力作用使得Cl離子遠(yuǎn)離傳導(dǎo)電子彈性點(diǎn)陣則傳導(dǎo)電子和K離子之間的庫侖吸引力作用，使得K離子向傳導(dǎo)電子靠近電子加上與之聯(lián)系的應(yīng)變場稱為一個(gè)極化子離子的位移增大了電子的有效慣性，因此也就增大了它的有效質(zhì)量，從而使得傳導(dǎo)電子的運(yùn)動(dòng)速度變緩。在極端情況下，傳導(dǎo)電子自陷于應(yīng)變場中，或者說傳導(dǎo)電子被因晶格畸變而產(chǎn)生的應(yīng)變場所捕獲，成為束縛態(tài)電子。現(xiàn)在所關(guān)心的是，電子如何從一個(gè)束縛態(tài)過渡到另一個(gè)束縛態(tài)極化子有關(guān)的電阻率高溫下，傳導(dǎo)電子借助于熱激活機(jī)理可以從一個(gè)束縛態(tài)過渡到另一個(gè)束縛態(tài)高溫?zé)o外場時(shí)勢能曲線傳導(dǎo)電子越過勢壘向左和向右的幾率勢一樣的傳導(dǎo)電子右端勢壘高度由原來的E0下降至而傳導(dǎo)左端勢壘高度增至外場的作用使勢壘不再對(duì)稱因此，傳導(dǎo)越過勢壘向右的凈幾率為而電阻率在弱場或高溫下低溫低溫下傳導(dǎo)電子借助隧穿機(jī)理而緩慢地通過晶體

三十年多前，基于極化子隧穿機(jī)理提出極化子輸運(yùn)理論按照該理論，低溫（kT<2tp）下電阻率I.G.LangandYu.AFirsov,Sov.Phys.JEPT16,1301(1963)其中tP是極化子跳躍積分，a為晶格常數(shù)，為馳豫率光學(xué)聲子模的平均頻率，A為常數(shù)，取決于裸帶寬和電－聲子耦合強(qiáng)度

低溫下只有低頻模式才對(duì)電阻率有貢獻(xiàn)，而高頻模式可忽略不考慮，因此，

其中s為軟光學(xué)模式的平均頻率，C為正比于極化子有效質(zhì)量的常數(shù)

§8.5磁場中電子的運(yùn)動(dòng)磁場中電子運(yùn)動(dòng)的基本方程1、自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

自由電子的能量回轉(zhuǎn)頻率可見k空間電子在面上做圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)空間電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可見在(x,y)平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)回轉(zhuǎn)頻率2、自由電子情況的量子理論

無磁場時(shí)自由電子哈密頓算符為整數(shù)N個(gè)電子基態(tài)從能量最低k=0態(tài)開始，按能量由低到高依次填充，最后得到一個(gè)費(fèi)米球。電子的本征能量磁場中電子的動(dòng)量包含兩部分運(yùn)動(dòng)動(dòng)量勢動(dòng)量（場動(dòng)量）因此磁場中電子的哈密頓算符外加磁場，假設(shè)磁場沿z軸，則可取矢勢因此，磁場中運(yùn)動(dòng)的電子滿足的薛定鄂方程為令代入得到應(yīng)滿足的方程令顯然，這是簡諧振子的薛定鄂方程諧振子波函數(shù)諧振子的能量而電子波函數(shù)電子的能量電子波函數(shù)電子的能量這些量子化的能級(jí)稱為朗道能級(jí)表明：沿磁場方向（z方向）電子保持自由運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的動(dòng)能為在垂直磁場的(x,y)平面上，電子運(yùn)動(dòng)是量子化的，從準(zhǔn)連續(xù)的能量變成在垂直于磁場方向上，無磁場時(shí)的動(dòng)能按量子化，簡并到Landua能級(jí)上這樣在k空間中，許可態(tài)的代表點(diǎn)將簡并到Landua管上，其截面為Landau環(huán)，如圖。3、晶體中電子的情況

晶體中電子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，其哈密頓算符處理思路：將周期性勢場的影響概括為有效質(zhì)量的變化——有效質(zhì)量近似方法哈密頓量采用有效質(zhì)量近似后，晶體中的電子可視為“自由電子”，正是此電子的質(zhì)量是有效質(zhì)量m*回轉(zhuǎn)頻率磁場下晶體中電子的波函數(shù)能量本征值在垂直于磁場方向上，無磁場時(shí)的動(dòng)能按量子化，簡并到Landua能級(jí)上4、回旋共振晶體中電子在磁場中運(yùn)動(dòng)，采用有效質(zhì)量近似后，電子做螺旋運(yùn)動(dòng)，回轉(zhuǎn)頻率在垂直于磁場的方向施加一個(gè)交變電場，當(dāng)電子將吸收交變電場的能量電子發(fā)生共振吸收，稱為回旋共振電子吸收電場的能量，電子實(shí)現(xiàn)了從一個(gè)朗道能級(jí)躍遷到更高能量的朗道能級(jí)上，通過測量回旋共振頻率，可以確定電子的有效質(zhì)量半導(dǎo)體材料中能帶底和能帶頂附近，電子的有效質(zhì)量不同，具有不同的回旋共振頻率§8.6磁輸運(yùn)性質(zhì)§7.6.1Boltzmann方程及解一般情況下Boltzmann方程若沒有溫度梯度，只有磁場和電場作用，則代入到類似于在電場下的討論，我們得到電場和磁場同時(shí)存在時(shí)的電流密度為若寫成形式則有§8.6.2Hall電阻與歐姆電阻假定磁場沿z軸，電流在垂直于z軸的平面上，如圖。Hall電阻率與磁場無關(guān)！正比于磁場§8.6.3磁電阻效應(yīng)定義磁場引起的電阻變化，稱之為磁電阻效應(yīng)從推導(dǎo)中看到，與磁場無關(guān)的量，意味著之所以得出磁電阻為零的結(jié)論，主要是因?yàn)椋嘿M(fèi)米面為球形對(duì)電流貢獻(xiàn)的電子來自于同一能帶中只有費(fèi)米面附近、速度等于費(fèi)米速度的電子才參與導(dǎo)電，它們感受到同樣的洛倫玆力，雖然這種洛倫玆力作用下電子軌道會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，但恰好為霍爾場的作用所抵消，結(jié)果相當(dāng)于磁場并不存在。費(fèi)米面并非嚴(yán)格球形實(shí)際情況是所有的金屬均表現(xiàn)出不為零的磁電阻效應(yīng)原因參與導(dǎo)電的電子并非僅僅來自單一能帶因此電子速度、有效質(zhì)量與方向和能量有關(guān)，僅部分電子的運(yùn)動(dòng)滿足洛倫玆力與霍爾場力的平衡，其余電子的軌跡發(fā)生了變化。假設(shè)參與導(dǎo)電的電子來自兩個(gè)各向同性的能帶兩帶模型這樣就有兩組不同有效質(zhì)量和不同速度的載流子總電流Ji、i和Di分別為第i帶的電流密度、電導(dǎo)率和D矢量由于這一原因，磁電阻測量常常成為研究費(fèi)米面形狀的最有效實(shí)驗(yàn)手段畫出矢量圖由此解出考慮磁場沿z軸電場在xy平面令Jy=0，則從第二式可得到Hall電場Ey將Ey代入第一式則得到Jx與Ex的關(guān)系：磁場下的電導(dǎo)率則有任意場強(qiáng)時(shí)公式很復(fù)雜，現(xiàn)在考慮低磁場情況。所謂低場是相對(duì)而言的，即滿足：

磁電導(dǎo)

低場下

磁電阻

所以在兩帶模型下我們得到磁電阻為討論在兩帶模型中，參與對(duì)輸運(yùn)貢獻(xiàn)的電子來源于兩個(gè)不同的各向同性的能帶，在這種情況下，我們得到意味著磁場引起電阻的增大，其起因是由于洛倫玆力的存在引起電子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了變化為了和通常講到的與自旋有關(guān)的磁電阻效應(yīng)進(jìn)行區(qū)別，通常稱洛倫玆力有關(guān)的磁電阻效應(yīng)為正常磁電阻效應(yīng)。由于由于MR僅為的函數(shù)，而由科勒定則看到，相同的磁場下，零場下電阻率越小，則磁電阻越明顯，而金屬電阻隨溫度降低而變小，因此，研究這一磁電阻行為的實(shí)驗(yàn)最好是在低溫下進(jìn)行。而因此MR僅僅是的函數(shù)，即Kohler’sruleF函數(shù)的行為僅依賴于材料的本性§8.7熱輸運(yùn)性質(zhì)§8.7.1熱電效應(yīng)一般情況下Boltzmann方程若不加磁場該項(xiàng)不考慮溫度梯度引起分布不均勻現(xiàn)在考慮除電場外還存在溫度梯度的情況然后我們很容易得到與溫度梯度有關(guān)的部分，即上述方程中的第一項(xiàng)為上述方程第二項(xiàng)可寫為將上面提到的兩部