九年級數(shù)學(xué)(上冊)考點解析

九年級數(shù)學(xué)（上冊）考點解析

第一章：證明（二）

§1.1你能證明它們嗎

一、考點解析

1、三角形全等的判定以及全等三角形的性質(zhì)

2、等腰三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用

3、等邊三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用

4、兩個重要定理及其應(yīng)用

（1）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊是斜邊的一半.

（2）在直角三角形中，如果一條直角邊是斜邊的一半,那么它所對的銳角等于30°.

5、反證法以及用反證法證題的基本步驟

6、分類討論思想

二、典型例題解析

例1、如圖1,已知點D、E在4ABC的邊BC上，AD=AE,

BD=CE,求證:AB=AC.

證法—'：'."AD=AE,/_ADE=ZAED,

???BD=CE,.-.BD+DE=CE+DE,即BE=CD,

.?.在Z\ABE和AACD中，AE=AD,/AED=/ADE,BE=CD,

AABE^AACD,.,.AB=AC.

證法二：如圖2,過點A作AFJ_BC于點F,

???AD=AE,AF1BC,，DF=EF,

..?BD=CE,...BD+DF=CE+EF,即BF=CF,

??1AF1BC,.-.ZAFB=ZAFC=9O°,

,.,AF=AF,/.AABF^AACF,/.AB=AC.

例2、如圖3,已知D、E分別是等邊三角形ABC的邊BC、AC上的點，且BD=CE,連

接BE、AD,它們交于點F,求NAFE的度數(shù)

A

A

斛：?「△ABC是等邊三角形，

ZABC=ZBCA=60°,AB=BC,

AAABDjfoABCE中，

AB=BC,ZABD=ZBCE,BD=CE

.'.△ABD^ABCE,r.NBAD=NCBE,BD圖3C

?."AFE=NBAD+/ABE,/.ZAFE=：ZCBE+ZABE=ZABC=60°.

例3、如圖4,已知在AABC中，AB=AC,P為底邊BC上任意一點，PD_LAB于點D,

PE_LAC于點E,求證：PD+PE是一個定值.

A

斛：連接AP,過點（：作CF_LAB于點F,

由S.BC,S"AB=；ABPD,

SAPAC=5AC,PE--ABPE,SMBC-+S

得：-ABCF=-ABPD+-ABPE,

222BPC

圖4

即，PD+PE=CF（定值）.

思考：如果點P不是在邊BC上，而是在BC的延長線上,其它條件保持不變，那么PD

與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢？

-A

斛：連接AP,過點C作CF1AB于點F,

由SMBC-JAB.CP,S"AB=；ABPD

Swc=；ACPE=g"PE,

SMBC=S〉PAB-SkPAC1

得：-ABCF^-ABPD--ABPE,B圖5

222匚

即，PD-PE=CFr定值）.

即，當(dāng)點P在BC延長線上時，PD與PE之差為一定值.

例4、如外,。2,43，%，。5都是正實數(shù)，且％+。2+。3+。4+。5=1，求證：這5個實數(shù)

中至少有一個大于或等于1.

5

證明；假設(shè)這5個實數(shù)中沒有一個大于或等于W，即。]<《，〃2<y，。3<W，。4<W，

%<（，貝1%+%+。3+。4+<5X],即4+2+%+。4+。5<1，這與已知中的

4+%+%+。4+。5=1相矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.

i戰(zhàn)測評試題

一、選擇題

1、下列說法中正確的是（）.

A、等腰三角形的三個外角都是鈍角

B、等腰三角形頂角的外角一定是鈍角

C、等腰三角形底角的外角一定是鈍角

D、等腰三角形的底角是銳角，則頂角一定是鈍角

2、等腰三角形有一底角的外角為105°,那么它的頂角為（）.

A、30°B、40°C、45°D、60°

3、在一個等腰三角形ABC中，若NA=50°,那么NB=（）.

A、50°B、65°C、80°D、50°、65°或80°

4、若等邊三角形的邊長為2,那么這個三角形的面積為（）.

A、乖>B、2C、273D、4

5、等腰三角形--腰上的高恰好是腰長的一半，則此三角形的頂角為（）.

A、30°B、45°C、60°D、30°或150°

二、填空題

6、等腰三角形的一邊長為5,另一邊長為6,那么這個三角形的周長為（).

7、如圖6,已知在aABC中，D、E在AB邊上，且AD

=AC,BE=BC,若NACB=88°,那么NDCE=（）.

8、如果等腰三角形的各邊長均為正整數(shù)，周長為11,

那么滿足上述條件且互不全等的三角形有（）個.

9、如圖7,已知D是AABC的BC邊的中點，且NADC

=45°,將4ACD沿AD對稱到△AC'D處,連接C'B,

那么線段BC與BC'之間的數(shù)量關(guān)系為（）.

10、若等腰三角形一腰上的中線將其周長分成了12

和15的兩部分，則它的底邊長為（）.

12、（1）如圖9-1,已知點C是線段AB上任意一點（點C與點A、B不重合），分別以

AC、BC為邊在AB的同側(cè)作等邊三角形ACD、BCE,連接AE、BD,求證：AE=BD.

（2）如圖9-2,如果點C是線段AB外任意一點，分別以AC、BC為邊向外作等邊三角

形ACD、BCE,連接AE、BD,那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若

不成立，請說明理由.

參考答案:

一、選擇題

答案：1、C2、A3、D4>A5、D

提示：1、等腰三角形的底角必為銳角，否則兩底角之和已經(jīng)不小于180°,這與三

角形的內(nèi)角和為180°相矛盾.因此其外角一定是鈍角.

2、由底角的外角為105°可得這個底角為75°,再由180°-(75°+75°)

=30°可求得頂角為30°.

3、若NA是該等腰三角形的頂角，則NB=NC=(180°-50°)+2=65°；

若NA是該等腰三角形的底角，/B也是底角，則NB=/A=50°；若/A是該等腰三

角形的底角，NB是頂角，則NB=180°-(50°+50°)=80°；

4、作一邊上的高，則可求得高為百，從而其面積為」X2X6=百.

2

5、注意分頂角為銳角和鈍角兩種情況來討論即可.

二、填空題

答案：6、16或177、46°8、39、BC=CBC'10、7或11

提示：6、分5為腰長和底邊長兩種情況討論即可.

7、VZACB=88°,：.ZA+ZB=180°-88°=92°,VAD=AC,AZACD

=NADC,：BE=BC,NBCE=NBEC,而NA+NACD+NADC=180°,ZB+ZBCE

+ZBEC=180°,：.2(ZACD+ZBCE)=2X180°—(ZA+ZB)=268°,ZACD

+ZBCE=134",XVZACD+ZBCE=ZACB+ZDCE,.\ZDCE=134°-88°=46°.

8、設(shè)等腰三角形的腰長為a,底邊長為6,則2a+b=11,從而有a=3,b=5；

。=41=3；。=5,6=1這三種情況.

9、由/ADC=45°及C'D與CD關(guān)于AD對稱可得/C'DC=NC'DB=90°,從

而BC=2BD=2x--BC'=夜BC'.

2

10、設(shè)等腰三角形的腰長為a,底邊長為b,則由題意得a+^-a=12,