數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第五版PPT第二章

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容提要

本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學(xué)方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡。重點掌握卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，為后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。作業(yè)題2.3題2.7題2.8題2.10（1）（6）題2.11(4)題2.12(2)題2.13(2)（3）題2.15(5)（9）題2.16(a)（c）題2.18(3)（5）（7）題2.22(3)題2.23(4)題2.25(3)本章的內(nèi)容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.1概述

在數(shù)字電路中，1位二進制數(shù)碼“0”和“1”不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系，稱為二值邏輯。

當(dāng)二進制數(shù)碼“0”和“1”表示二值邏輯，并按某種因果關(guān)系進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術(shù)運算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算

數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學(xué)工具來描述。2.1.2數(shù)字電路的特點及描述工具

邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)用，它首先是由英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。后來用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。注意：1.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)的運算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，叫邏輯變量。2.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學(xué)代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學(xué)代數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)，是進行十進制（0～9）數(shù)值運算。而邏輯代數(shù)中變量的取值只有兩個：“0”和“1”。并且“0”和“1”沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算

在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：與與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當(dāng)所有的條件都滿足時，事件才會發(fā)生，即“缺一不可。

Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”或或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當(dāng)其中一個條件滿足時，事件就會發(fā)生，即“有一即可Y=AORB=A+BABY0000110111其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”非

條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生AY0110幾種常用的復(fù)合邏輯運算與非 或非 與或非“有0出1，全1才出0”有“1”出“0”全“0”出“1”幾種常用的復(fù)合邏輯運算異或Y=ABABY0000110110符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變量取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現(xiàn)異或運算的性質(zhì)

1.交換律：2.結(jié)合律：3.分配律：推論：當(dāng)n個變量做異或運算時，若有偶數(shù)個變量取“1”時，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個變量取1時，則函數(shù)為1.4.幾種常用的復(fù)合邏輯運算同或Y=A⊙BABY0010100011符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。同或運算用同或門電路來實現(xiàn)，它等價于異或門輸出加非門 2.3.1基本公式

2.3.2常用公式2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號公式序號公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證明方法：推演真值表A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結(jié)合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結(jié)合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理說明：由表中可以看出a.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數(shù)獨有的基本定理公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多余的，可以刪掉；2.A＋AB＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項中刪除；3.AB＋AB

＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因子相同，而另一個因子取反，則兩項合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在當(dāng)一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉5.AB＋AC＋BC＝AB＋AC：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互為反，那么剩余的因子組成的另一項則是多余的，可以刪掉；公式AB＋AC＋BCD＝AB＋AC的原理和上述相同6.A（AB）＝AB

：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A

（AB）＝A

：當(dāng)某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以后邏輯函數(shù)的化簡打好基礎(chǔ)2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理內(nèi)容：任何一個含有變量A

的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)2.4.1代入定理應(yīng)用舉例：式（8）內(nèi)容：若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量（不帶非號）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)）Y。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數(shù)的反函數(shù)。2.4.2.反演定理注意：1.

變換順序先括號，然后乘，最后加2.對跨越兩個或兩個以上變量的“非號”要保留不變；2.4.2反演定理應(yīng)用舉例：2.4.3.對偶規(guī)則對偶式：設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式Y(jié)D稱為Y的對偶式。如：對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試利用對偶規(guī)則證明分配律

A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設(shè)Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

由于證明：設(shè)則它們的對偶式為由于故Y＝G，即例1.1.6試利用對偶規(guī)則證明吸收律A＋AB＝A＋B

式子成立2.5邏輯函數(shù)及其表示方法其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變量的邏輯函數(shù)

在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即如Y＝A＋BC，表示輸出等于變量B取反和變量C的與，再和變量A相或。2.5.1邏輯函數(shù)2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運算關(guān)系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應(yīng)。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形?？ㄖZ圖EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

舉例：舉重裁判電路ABCY00000010010001101000101111011111各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：真值表邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表A=0,B=1,C=1使

A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使

ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運算式。波形圖真值表波形圖真值表（1）由波形圖得到真值表

根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對應(yīng)的輸出值例2.5.7已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示由真值表可知，當(dāng)輸入變量A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為YBA111001010100輸出輸入表2.5.7例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表可知，當(dāng)輸出有奇數(shù)個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.92.5.3邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)型

一種輸入輸出的邏輯關(guān)系可以有多種等效的表達式表示，但可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其標(biāo)準(zhǔn)型有兩種：標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式1.最小項a.定義:

在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而m是由所有這n個變量組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變量都以Ai或Ai

的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m是n變量的最小項。注：n個變量構(gòu)成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“1”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“0”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。一、最小項和最大項表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變量、三變量和四變量的最小項最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1。任何兩個最小項之積為0。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如2.最大項a.定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而M是由所有這n個變量組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變量都以Ai或Ai的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則M是n變量的最大項。注：

n個變量構(gòu)成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“0”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“1”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。表2.5.13、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項，四變量最大項課下自己寫出最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。二、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式型－最小項之和標(biāo)準(zhǔn)型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；

2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項標(biāo)準(zhǔn)與或式的寫法：

在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項由于缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A＝1例2.5.10將邏輯函數(shù)Y＝A＋BC寫成標(biāo)準(zhǔn)與或式解：注意：變量的排列順序。三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式型－最大項之積標(biāo)準(zhǔn)型如與或型特點：1.式子為和積的形式；

2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：

在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式AA＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數(shù)Y＝AC＋BC寫成或與式解：四、最小項與最大項的關(guān)系設(shè)有三變量A、B、C的最小項，如m5

＝ABC，對其求反得由此可知對于n變量中任意一對最小項mi和最大項Mi

，都是互補的，即五、標(biāo)準(zhǔn)與或式和或與式之間的關(guān)系若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為如表2.5.15中上式或?qū)懗衫梅囱荻ɡ砜傻昧?、邏輯函?shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：

有時需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現(xiàn)，這里介紹利用添項和真值表將邏輯函數(shù)變換成標(biāo)準(zhǔn)型。1.利用真值表

首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標(biāo)準(zhǔn)與或式寫法：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項作為函數(shù)的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成原變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成反變量。不同的輸出“1”為和的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)或與式寫法：由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項作為函數(shù)的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”為積的關(guān)系。例2.5.12試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

解：其真值表如表2.5.16所示邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與型為則邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或型為標(biāo)準(zhǔn)或與式的寫法：在邏輯函數(shù)中，先將邏輯函數(shù)化為和積式。若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之積這一項，再利用A＝A＋BB＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0將邏輯函數(shù)變換為與或式和或與式標(biāo)準(zhǔn)與或式寫法：在邏輯函數(shù)中，先將函數(shù)化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A＝1添加所缺的邏輯變量，寫成最小項的形式例2.5.13試利用添加項的方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成與或標(biāo)準(zhǔn)式解：標(biāo)準(zhǔn)與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成或與標(biāo)準(zhǔn)式解:a.在將一個n變量的邏輯函數(shù)寫成與或式（最小項之和）后，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數(shù)為2n；b.由i個最小項構(gòu)成的與或式（最小項之和）邏輯函數(shù)，其反函數(shù)可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同?？偨Y(jié)：例1.2.5將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)式，并求其反函數(shù)

解：標(biāo)準(zhǔn)與或式為標(biāo)準(zhǔn)或與式為（注：反函數(shù)的最大項編碼與原函數(shù)最小項編碼相同）反函數(shù)為2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換

除了上述標(biāo)準(zhǔn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)或與式的外，還需要將邏輯函數(shù)變換成其它形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現(xiàn)，就需要將其變成與非－與非式。

一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理

例2.5.10將下式Y(jié)=AC+BC用與非門實現(xiàn)，并畫出邏輯圖。

解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。

如果本身有反變量輸入，則用二級與非門就可實現(xiàn)該函數(shù)，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變量輸入，另外要用與非門實現(xiàn)反相C，其邏輯電路如圖2.5.11所示二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC用與或非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。

解：先用反演定理求函數(shù)Y的反函數(shù)Y

，并整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現(xiàn)。其電路如圖2.5.12所示三、將與或式化為或非－或非式

解：先將函數(shù)Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，并用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。

例2.5.11將下式Y(jié)=AC+BC

用或非門實現(xiàn)。其實現(xiàn)電路如圖2.5.13所示或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式2.6邏輯函數(shù)的化簡方法

一個邏輯函數(shù)有多種不同形式的邏輯表達式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現(xiàn)的復(fù)雜性和成本是不同的。邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設(shè)計電路時必須將邏輯函數(shù)進行簡化。注：隨著集成電路的發(fā)展，集成芯片的種類越來越多。邏輯函數(shù)是否“最簡”已無太大意義。但作為設(shè)計思路，特別對于中小規(guī)模集成電路，邏輯函數(shù)的簡化是不能忽視的邏輯函數(shù)的簡化方法很多，主要有邏輯代數(shù)簡化法（公式法）和卡諾圖法2.6.1公式化簡法

公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，將邏輯函數(shù)進行簡化。實現(xiàn)電路的器件不同，最終要得到的邏函數(shù)的形式不同，其最簡的定義也不同。

對于要小規(guī)模集成門電路實現(xiàn)的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節(jié)可知，其最終都可以由與或式、或與式轉(zhuǎn)換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因子也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與后或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變量最少，則這個與或式是最簡的。下面討論公式法常用的化簡方法。上式Y(jié)1和Y2實現(xiàn)同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變量多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現(xiàn)，而Y2的變量有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現(xiàn)即可，這樣即節(jié)省元件，也減少布線和功耗。2.6.1公式化簡法(2)與或式的簡化方法a.合并項法：利用AB＋AB＝B消去一個變量；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多余變量；c.配項法：利用A＋A＝1增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊徒?jīng)驗，需多練習(xí)。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法解法二：用吸收法和消去法二種方法結(jié)果一致，但過程繁簡不同。盡量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法例2.6.2試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡與或式注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數(shù)法簡化邏輯函數(shù)，不僅要熟悉邏輯代數(shù)公式，而且要靈活運用，而且不能保證最后結(jié)果最簡。2.6.1公式化簡法例2.6.3試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法2.或與式的簡化a.利用公式A（A＋B）＝A及A（A+B)=A化簡例2.6.4試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數(shù)：其對偶式為2.6.1公式化簡法2.6.2卡諾圖化簡法

公式法簡化邏輯函數(shù)不直觀，且要熟練掌握邏輯代數(shù)的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結(jié)果。

邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖從上面卡諾圖可以看出

任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，并且圖中最左列的最小項與左右列相應(yīng)最小項也是相鄰的（如m0和m2，m9和m10)。位于最上面和最下面的相應(yīng)最小項也是相鄰的（m0和m9,m2和m10)，所以四變量的最小項有四個相鄰最小項。可以證明n變量的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法五變量的卡諾圖用卡諾圖表示邏輯函數(shù)將函數(shù)表示為最小項之和的形式。在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子兩個相鄰最小項可合并為一項，

消去一對因子化簡步驟：

------用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

------找出可合并的最小項

------化簡后的乘積項相加 （項數(shù)最少，每項因子最少）

用卡諾圖化簡函數(shù)卡諾圖化簡的原則化簡后的乘積項應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為與或式的步驟a.將邏輯函數(shù)化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；c.找出可以合并的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規(guī)則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內(nèi)的“1”必須是2n個；*“1”可以重復(fù)圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數(shù)盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；圈“1”的規(guī)則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數(shù)盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”后寫出每個圈的乘積項，然后相加，即為簡化后的邏輯函數(shù)。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結(jié)果不同，但實現(xiàn)的邏輯功能相同的。例：0001111001ABC例：000111100011111101ABC例：000111100011111101ABC例：化簡結(jié)果不唯一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為或與式

在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規(guī)則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變量，保留取值相同的變量。寫相同變量時，取值為“0”寫成原變量，取值為“1”寫成反變量，每個圈寫這些相同變量的和，不同的圈為乘積的關(guān)系。2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項1.定義：a.約束項：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對輸入變量取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A＝1表示電動機正轉(zhuǎn)，B＝1表示電動機反轉(zhuǎn)，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其它的狀態(tài)如000、011、101、110、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變量，恒為0?？蓪懗蛇@些恒等于“0”的最小項稱為約束項b.任意項：輸入變量的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項

。例如8421BCD碼取值為0000~1001十個狀態(tài)，而1010~1111這六個狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對應(yīng)的函數(shù)取“0”或取“1”對函數(shù)沒有影響，這些項就是任意項項。c.無關(guān)項：將約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數(shù)無影響2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項2.含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的表示方法最小項的表達式為其中∑d為無關(guān)項也可以寫成③化簡時，根據(jù)需要無關(guān)項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數(shù)最多）為原則。3.無關(guān)項在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用利用無關(guān)項可以使得函數(shù)進一步簡化步驟：①將給定的邏輯函數(shù)的卡諾圖畫出來;②將無關(guān)項中的最小項在卡諾圖相應(yīng)位置用“×”表示出來；2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項0001111000101111101ABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD例：00011110000001011x0111xxxx1010xxABCD*2.7卡諾圖的其它應(yīng)用卡諾圖除了簡化邏輯函數(shù)，還可以有下面的一些應(yīng)用2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算1判明函數(shù)關(guān)系

利用卡諾圖可以判明函數(shù)是否相等、互補。若兩個函數(shù)的卡諾圖相同，則這兩個函數(shù)一定相等。即若函數(shù)Y和G的卡諾圖相同，則Y＝G。若兩個函數(shù)的卡諾圖中“0”和“1”對調(diào)，則這兩個函數(shù)為互補。例如它們的卡諾圖如表2.7.1所示，則Y＝G2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算再例如它們的卡諾圖如表2.7.2和2.7.3所示則2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算2.函數(shù)運算若已知函數(shù)Y1和Y2，則可利用卡諾圖做邏輯運算。例2.7.1若Y1＝AB＋AC

，Y2＝A＋BC試利用卡諾圖求Y1＋Y2、Y1＋Y2及Y1⊙Y2解：Y1和Y2的卡諾圖如表2.7.4及2.7.5所示2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算則兩個函數(shù)的與為=2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算.則兩個函數(shù)的或為=2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算＋則兩個函數(shù)的同或為=⊙2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換

邏輯函數(shù)表達式的形式有很多種，如與或式、或與式、與非式、與或非式等，不同的表達形式可由不同的門電路來實現(xiàn)。一般的邏輯函數(shù)為與或式（乘積和），這樣需要轉(zhuǎn)換成其它的形式，利用卡諾圖可以很方便的實現(xiàn)轉(zhuǎn)換。1.與或式轉(zhuǎn)換成或與式

已知邏輯函數(shù)的與或式，先畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖，再圈“0”，便可得到最簡的或與式。例2.7.2將下面邏輯函數(shù)化成最簡或與式解：其卡諾圖如表2.7.8所示2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換1則1111102.將與或式轉(zhuǎn)換成與或非式已知邏輯函數(shù)式，先畫出其卡諾圖，然后圈“0”寫出邏輯函數(shù)的補函數(shù)的與或式，再取反即可得到與或非式例2.7.3將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或非式解：其卡諾圖如表2.7.9所示取反即得與或非式，即2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換1111110000000000圈“0”可得Y為3.將與或式轉(zhuǎn)換成或非式

已知邏輯函數(shù)的與或式，先畫出卡諾圖，圈“0”，得到最簡或與式，進行兩次取反，利用摩根定理即可得到或非式例1.5.4將下面邏輯函數(shù)化成最簡或非式解：2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換其卡諾圖如圖2.7.10所示，則2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換1111111111110000例1.5.5將下面的邏輯函數(shù)簡化成與非式、與或非式和或非式解：卡諾圖如表2.7.11所示，則最簡與或式為兩次取反可得與非式為：2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換11111111表2.7.11圈“0”，可得Y的反函數(shù)的與或式為2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換111111110000000011111111或非式為或與式為2.7.2邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換作業(yè)題2.3題2.7題2.8題2.10（1）（6）題2.11(4)題2.12(2)題2.13(2)（3）題2.15(5)（9）題2.16(a)（c）題2.18(3)（5）（7）題2.22(3)題2.23(4)題2.25(3)附錄資料：不需要的可以自行刪除CASS工藝1CASS工藝簡介2CASS工藝的基本原理3CASS工藝的基本特點4CASS工藝主要設(shè)計參數(shù)1CASS工藝簡介CASS（CyclicActivatedSludgeSystem）工藝是近年來國際公認的處理生活污水及工業(yè)廢水的先進工藝。其基本結(jié)構(gòu)是：至少由兩個區(qū)域組成，即生物選擇區(qū)和主反應(yīng)區(qū)，但也可在主反應(yīng)區(qū)前設(shè)置一兼氧區(qū)，其主反應(yīng)區(qū)后部安裝了可升降的自動撇水裝置。整個工藝的曝氣、沉淀、排水等過程在同一池子內(nèi)周期循環(huán)運行，省去了常規(guī)活性污泥法的二沉池和污泥回流系統(tǒng)；同時可實現(xiàn)總體上連續(xù)進水，間斷排水。

2CASS工藝的基本原理

CASS是一種具有脫氮除磷功能的循環(huán)間隙廢水生物處理技術(shù)。每個CASS反應(yīng)器由生物選擇區(qū)、兼氧區(qū)和主反應(yīng)區(qū)三個區(qū)域組成。

CASS反應(yīng)器CASS反應(yīng)器1.生物選擇區(qū)2.兼氧區(qū)3.主反應(yīng)區(qū)2CASS工藝的基本原理CASS工藝集反應(yīng)、沉淀、排水功能于一體，污染物的降解在時間上是一個推流過程，而微生物則處于好氧、缺氧、厭氧周期性變化之中，從而達到對污染物去除作用，同時還具有較好的脫氮、除磷功能。生物選擇區(qū)作用在生物選擇區(qū)內(nèi)，通過主反應(yīng)區(qū)污泥的回流并與進水混合，不僅充分利用了活性污泥的快速吸附作用而且加速對溶解性底物的去除并對難降解有機物起到良好的水解作用，同時可使污泥中的磷在厭氧條件下得到有效的釋放。生物選擇區(qū)還可有效地抑制絲狀菌的大量繁殖，克服污泥膨脹，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在生物選擇區(qū)中，污泥回流液中存在的少量硝酸鹽氮（約為2mg/L）可得到反硝化，反硝化量可達整個系統(tǒng)反硝化量的20%左右。選擇器可定容運行，亦可變?nèi)葸\行，多池系統(tǒng)中的進水配水池也可用作選擇器。兼性區(qū)作用兼氧區(qū)不僅具有輔助厭氧或兼氧條件下運行的生物選擇區(qū)對進水水質(zhì)水量變化的緩沖作用，同時還具有促進磷的進一步釋放和強化氮的反硝化作用。主反應(yīng)區(qū)作用主反應(yīng)區(qū)則是最終去除有機底物的主要場所。運行過程中，通常將主反應(yīng)區(qū)的曝氣強度以及曝氣池中溶解氧強度加以控制，以使反應(yīng)區(qū)內(nèi)主體溶液中處于好氧狀態(tài)，保證污泥絮體的外部有一個好氧環(huán)境進行硝化；活性污泥結(jié)構(gòu)內(nèi)部則基本處于缺氧狀態(tài)，溶解氧向污泥絮體內(nèi)的傳遞受到限制，而較高的硝酸鹽濃度（梯度）則能較好地滲透到絮體內(nèi)部，有效地進行反硝化，從而使主反應(yīng)區(qū)中同時發(fā)生有機污染物的降解以及同步硝化和反硝化作用。CASS工藝的循環(huán)運行過程

CASS以一定的時間序列運行，其運行過程包括進水－曝氣、進水－沉淀、停止進水－排水和進水－閑置等4個階段并組成其運行的一個周期。CASS工藝的循環(huán)運行過程不同的運行階段的運行方式可根據(jù)需要進行調(diào)整,如無反應(yīng)進水（即進水時既不曝氣也不攪拌）、無曝氣進水混合、進水曝氣及不進水曝氣等。一個運行周期結(jié)束后，重復(fù)上一周期的運行并由此循環(huán)不止。CASS工藝的循環(huán)運行過程

循環(huán)過程中，反應(yīng)器內(nèi)的水位隨進水而由初始的設(shè)計最低水位逐漸上升至最高設(shè)計水位，因而運行過程中其有效容積是逐漸增加的（即變?nèi)莘e運行）。曝氣和攪拌階段結(jié)束后，在靜止條件下使活性污泥絮凝并進行泥水分離，沉淀結(jié)束后通過移動堰表面潷水裝置排出上清水層并使反應(yīng)器中的水位恢復(fù)至設(shè)計最低水位，然后，重復(fù)上一周期的運行。CASS工藝的循環(huán)運行過程

為保證系統(tǒng)在最佳條件下運行，必須定時排泥。CASS反應(yīng)器中經(jīng)沉淀后的污泥濃度可達10000mg/L以上，剩余污泥量要比傳統(tǒng)的活性污泥處理工藝少得多。CASS工藝的循環(huán)操作過程（1）曝氣階段：由曝氣裝置向反應(yīng)池內(nèi)充氧，此時有機污染物被微生物氧化分解，同時污水中的NH3-N通過微生物的硝化