力學(xué)振動(dòng)和波

力學(xué)振動(dòng)和波第一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日振動(dòng)與波無(wú)所不在振動(dòng)與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的最基本的運(yùn)動(dòng)形式。盡管在各學(xué)科里振動(dòng)與波的具體內(nèi)容不同，但在形式上卻有很大的相似性。力學(xué)——機(jī)械振動(dòng)，機(jī)械波（聲波）電學(xué)——電磁振蕩，電磁波（光波）量子力學(xué)（波動(dòng)力學(xué)）第二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。第三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日彈簧振子(彈簧—物體系統(tǒng))模型簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simpleharmonicmotion)物體一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)其通解為：諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)特征第四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義（判據(jù)）：描述運(yùn)動(dòng)的物理量遵從微分方程（或運(yùn)動(dòng)方程為）運(yùn)動(dòng)學(xué)特征物體所受合外力動(dòng)力學(xué)特征例：判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.乒乓球在地面上的上下跳動(dòng)第五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動(dòng)mgO切向運(yùn)動(dòng)諧振動(dòng)第六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日單擺結(jié)論：?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率,振動(dòng)的周期分別為：當(dāng)時(shí)擺球?qū)點(diǎn)的力矩第七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)擺：繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)時(shí)第八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量1、振幅A簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值。初始條件第九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。2、周期、頻率、圓頻率對(duì)彈簧振子角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期T：物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。第十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日單擺復(fù)擺

是t=0時(shí)刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)第十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0xt+0t=toX第十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日

超前和落后兩個(gè)諧振動(dòng)位相差兩振動(dòng)位相之差。對(duì)兩同頻率的諧振動(dòng)=2-1初相差若=2-1>0,稱x2比x1超前(或x1比x2后)。當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,1,2...兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相第十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相即x2比x1超前第十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTavxT/4T/4第十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日由圖可見(jiàn)：xt+o·第十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示的優(yōu)越之處：求導(dǎo)、積分很方便。復(fù)數(shù)的實(shí)部或虛部對(duì)應(yīng)真實(shí)的振動(dòng)量第十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm

t=0時(shí)x0=-9.8cm,v0=0⑴

取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；（2）若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx解：⑴確定平衡位置

mg=kl

取為原點(diǎn)

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mg-k(l+x)=-kx作諧振動(dòng)設(shè)振動(dòng)方程為第十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日由初條件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動(dòng)方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0

時(shí)x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，但、A不變XOmx固有頻率第十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日例:如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.（繩與定滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為l，則第二十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日mm當(dāng)m有位移x時(shí)聯(lián)立得物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)第二十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解：方法1用解析法求解設(shè)振動(dòng)方程為第二十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日故振動(dòng)方程為第二十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時(shí)刻相位由圖知方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。15.7-15.7第二十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)四、

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量第二十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)能勢(shì)能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒第二十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日xtTEEpoEtEk(1/2)kA2第二十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其頻率仍為質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與同方向同頻率的諧振動(dòng):合振動(dòng):2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成第二十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日如A1=A2,則A=0兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)兩分振動(dòng)相互減弱分析若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相:第二十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)式中隨t緩變，視為合振動(dòng)的振幅隨t快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)二.兩個(gè)同方向頻率相近簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍分振動(dòng)合振動(dòng)當(dāng)21時(shí),第三十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日拍

合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)

=|2-1|

xtx2tx1t第三十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)分振動(dòng)合振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程第三十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移討論第三十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移第三十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日合振動(dòng)的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。合振動(dòng)的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓.質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。第三十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P

·.時(shí)，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。第三十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日四、兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比第三十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日李薩如圖形（周期比）xy第三十八頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分解頻譜振動(dòng)的分解：把一個(gè)振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。諧振分析：將任一周期性振動(dòng)分解為各個(gè)諧振動(dòng)之和。若周期振動(dòng)的頻率為:0則各分振動(dòng)的頻率為:0、20、30(基頻,二次諧頻,三次諧頻,…)按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)第三十九頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x0第四十頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日xot鋸齒波A03050鋸齒波頻譜圖一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xot阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)頻譜圖oA第四十一頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日一、阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳播，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。3

阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)和共振第四十二頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日彈簧振子動(dòng)力學(xué)方程系統(tǒng)固有角頻率阻尼因子物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí),介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻尼系數(shù)第四十三頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日弱阻尼弱阻尼阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減過(guò)阻尼過(guò)阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置第四十四頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來(lái)第四十五頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日二、受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程令周期性外力——策動(dòng)力第四十六頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日振動(dòng)周期與周期性外力的周期相同阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)第四十七頁(yè)，共四十九頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)定解(1)頻率:等于策動(dòng)力的頻率(3)初