概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的一般步驟二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、雙正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的一般步驟

我們?cè)谟懻摮闃臃植紩r(shí)曾提到過(guò)區(qū)間估計(jì).與點(diǎn)估計(jì)不同的是，它給出的不是參數(shù)空間的某一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)區(qū)間（域）.按照一般的觀念，似乎我們總是希望能得到參數(shù)的一個(gè)具體值，也就是說(shuō)用點(diǎn)估計(jì)就夠了，為什么還要引入?yún)^(qū)間估計(jì)呢？這是因?yàn)樵谑褂命c(diǎn)估計(jì)時(shí)，我們對(duì)估計(jì)量是否能“接近”真正的參數(shù)的考察是通過(guò)建立種種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后依照這些標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，這些標(biāo)準(zhǔn)一般都是由數(shù)學(xué)特征來(lái)描繪大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的平均效果，而對(duì)于估值的可靠度與精度卻沒(méi)有回答.就是說(shuō)，對(duì)于類似這樣的問(wèn)題：“估計(jì)量落在參數(shù)的鄰域的概率是多大？”點(diǎn)估計(jì)并沒(méi)有給出明確結(jié)論，但在某些應(yīng)用問(wèn)題中，這恰恰是人們所感興趣的.例6.3.1

某工廠欲對(duì)出廠的一批電子器件的平均壽命進(jìn)行估計(jì)，隨機(jī)地抽取件產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)的加工得出該批產(chǎn)品是否合格的結(jié)論？并要求此結(jié)論的可信程度為95%，應(yīng)該如何來(lái)加工這些數(shù)據(jù)？

對(duì)于“可信程度”如何定義，我們下面再說(shuō)，但從常識(shí)可以知道，通常對(duì)于電子元器件的壽命指標(biāo)往往是一個(gè)范圍，而不必是一個(gè)很準(zhǔn)確的數(shù).因此，在對(duì)這批電子元器件的平均壽命估計(jì)時(shí)，壽命的準(zhǔn)確值并不是最重要的，重要的是所估計(jì)的壽命是否能以很高的可信程度處在合格產(chǎn)品的指標(biāo)范圍內(nèi)，這里可信程度是很重要的，它涉及到使用這些電子元器件的可靠性.因此，若采用點(diǎn)估計(jì)，不一定能達(dá)到應(yīng)用的目的，這就需要引人區(qū)間估計(jì).

區(qū)間估計(jì)粗略地說(shuō)是用兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，（）所決定的區(qū)間[，]作為參數(shù)取值范圍的估計(jì).顯然，一般地這樣說(shuō)是沒(méi)有多大的意義的，首先，這個(gè)估計(jì)必須有一定的精度，即是說(shuō)-不能太大，太大不能說(shuō)明任何問(wèn)題；第二，這個(gè)估計(jì)必須有一定的可信程度，因此-又不能太小，太小難以保證這一要求.比如從區(qū)間[1，100]去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然絕對(duì)可信，卻不能帶來(lái)任何有用的信息；反之，若用區(qū)間[30，31]去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然提供了關(guān)于此人年齡的信息，卻很難使人相信這一結(jié)果的正確性.我們希望既能得到較高的精度，又能得到較高的可信程度，但在獲得的信息一定（如樣本容量固定）的情況下，這兩者顯然是不可能同時(shí)達(dá)到最理想的狀態(tài)。通常是采取將可信程度固定在某一需要的水平上，求得精度盡可能高的估計(jì)區(qū)間.定義6.3.1對(duì)于參數(shù)，如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,,滿足對(duì)給定的，有則稱區(qū)間[，]是的一個(gè)區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間，，分別稱作置信下限、置信上限，稱為置信水平.對(duì)與定義，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1)置信區(qū)間[，]是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間;2)置信區(qū)間端點(diǎn)和區(qū)間長(zhǎng)度都是樣本的函數(shù)，都是統(tǒng)計(jì)量;3)[，]是的置信度為的置信區(qū)間的含義是：大量重復(fù)抽樣下，將樣本觀測(cè)值代入，可求得許多確定的區(qū)間，其中大約100()%的區(qū)間包含在內(nèi)，而觀察得到的一個(gè)具體區(qū)間[，]則可能包含，也可能不包含.這里的置信水平，就是對(duì)可信程度的度量.置信水平為1-，在實(shí)際上可以這樣來(lái)理解:如取，就是說(shuō)若對(duì)某一參數(shù)取100個(gè)容量為的樣本，用相同方法做100個(gè)置信區(qū)間[，]，=1,2,…,100,那么其中大約有95個(gè)區(qū)間包含了真參數(shù)．因此,當(dāng)我們實(shí)際上只做一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們有理由認(rèn)為它包含了真參數(shù).這樣判斷當(dāng)然也可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率只有5%.下面我們來(lái)討論一下區(qū)間估計(jì)的一般步驟.1)設(shè)欲估計(jì)參數(shù)為，先取的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，它滿足兩點(diǎn)：一是它較前面提出的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是一個(gè)“好的”估計(jì)量，二是它的分布形式應(yīng)該已知，只依賴未知參數(shù)．2)所求的區(qū)間考慮為的一個(gè)鄰域,a,b﹥0,(或者等等)，使得對(duì)于=1-.且一般要求盡可能小.為確定，須用解不等式的方法將隨機(jī)事件變成類似于下述等價(jià)形式：其中，為可逆的的已知函數(shù),的分布與無(wú)關(guān)且已知，一般其分位點(diǎn)應(yīng)有表可查，這是關(guān)鍵的一步.于是就可得出，為某個(gè)分位點(diǎn),如，.3)從，的表達(dá)式中解出即可.區(qū)間估計(jì)涉及到抽樣分布，對(duì)于一般分布的總體,其抽樣分布的計(jì)算通常有些困難，因此，我們將主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題.二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)為的樣本，對(duì)給定的置信水平，，我們來(lái)分別研究參數(shù)與的區(qū)間估計(jì).1.總體均值的置信水平為的區(qū)間估計(jì)考慮的點(diǎn)估計(jì)為，確定使,且使區(qū)間長(zhǎng)盡可能小.下面分兩種情況:1）已知，變換事件，使表成如下的形式：這里，為使，又要盡量使最小，亦即使最小，如圖6-1，從密度函數(shù)的特點(diǎn)來(lái)看（對(duì)稱、原點(diǎn)附近密度最大，往兩邊密度減小），只有取，即，從而所求的區(qū)間是

.圖6-12）未知，將事件變換成如下的形式：已知，為使，且區(qū)間盡量短，與情形一樣,只有取因此所求區(qū)間為.2.總體方差的置信水平為1-的區(qū)間估計(jì)我們知道的點(diǎn)估計(jì)量為，注意到，考慮，及的鄰域[，]，使,變換事件,由費(fèi)歇定理知，故為使，通常取于是，所求區(qū)間為這里要使區(qū)間最短，計(jì)算太麻煩，因此，在取分位點(diǎn)時(shí)采用類似主對(duì)稱型分布的取法，使密度函數(shù)圖形兩端的尾部面積均為（如圖6-2）.圖6-2例6.3.2

某市教科所進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)班是從全市初一新生中抽取的一個(gè)的隨機(jī)樣本.初中畢業(yè)時(shí)該班參加全省畢業(yè)會(huì)考的平均分為84.3，標(biāo)準(zhǔn)差為10.78，如果全市都進(jìn)行這種教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并實(shí)驗(yàn)后全市畢業(yè)生的會(huì)考成績(jī)服從正態(tài)分布，那么，全市初中畢業(yè)會(huì)考成績(jī)的平均分不會(huì)低于多少(置信度為0.95)？并將其與現(xiàn)在全市初中畢業(yè)會(huì)考成績(jī)的平均分71.9進(jìn)行比較.解:此處已知總體服從正態(tài)分布，且未知，查分布表得,于是的0.95的置信區(qū)間下限、上限分別為：所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為.即當(dāng)全市都進(jìn)行這項(xiàng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，全市初中畢業(yè)會(huì)考成績(jī)有95%的把握其最低平均成績(jī)?yōu)?1.2，比現(xiàn)在的71.9高9.3分.（注：由于該例＞30，若總體不服從正態(tài)分布，也可用這種情形處理;若＜30，就只能用分布的置信區(qū)間處理了）.需要指出的是，置信區(qū)間并不唯一，如上例,我們由{}=0.95來(lái)確定置信區(qū)間，只要選擇,適合上式即可，顯然這樣的,有無(wú)窮多個(gè)，相應(yīng)的置信區(qū)間也就有無(wú)窮多個(gè)，比如，由取,，則則算得的觀察值為(區(qū)間長(zhǎng)度為6.3，前面長(zhǎng)為6.0).我們總希望在同一置信度下，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越短越好，因?yàn)閰^(qū)間越短，估計(jì)的精確度越高.可以證明，像正態(tài)分布，分布這類密度曲線為單峰對(duì)稱的分布，對(duì)稱的置信區(qū)間最短，也就是像我們?cè)瓉?lái)那樣，取,,這樣構(gòu)造的精度最高.置信區(qū)間的長(zhǎng)度也與樣本容量有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，越大，區(qū)間長(zhǎng)度越短，但大，又要增多試驗(yàn)的次數(shù).此外，置信區(qū)間長(zhǎng)度與置信度也有密切的關(guān)系，置信度越高,區(qū)間的可靠性越大，但樣本容量一定時(shí)，提高了置信度，置信區(qū)間的長(zhǎng)度又往往變大，即精確度又降低了，所以必須具體問(wèn)題具體掌握.例6.3.3

一批零件尺寸服從，對(duì)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（未知）,要求估計(jì)精度不低于2，置信水平保持為，問(wèn)至少要抽取多少件產(chǎn)品作為樣本？解:顯然，此處要求由上面可知，故上式不是的顯式，但對(duì)于具體數(shù)值，可采取“試算法”來(lái)確定．一般是先對(duì)作個(gè)大致估計(jì)(可以由以往的經(jīng)驗(yàn)確定),然后用試算的方式確定適合方程中的．例如若估計(jì)出200，又已知,來(lái)試算：.顯然，如果任正整數(shù)不可能嚴(yán)格滿足方程的話，則應(yīng)取使式方程左邊大于右邊的最小的n，因此應(yīng)該取n=11．例6.3.4

有Ａ、Ｂ兩種牌號(hào)的燈泡各一批，希望通過(guò)抽樣試驗(yàn)并進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，考察（?。﹥煞N燈泡的壽命是否有明顯差異；或者考察（ⅱ）兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.我們補(bǔ)充一些合理假設(shè)，將上述應(yīng)用問(wèn)題變?yōu)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.設(shè)Ａ、Ｂ種燈泡的壽命分別服從，,并設(shè)兩種燈泡的壽命是獨(dú)立的.這就是兩正態(tài)總體的參數(shù)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題，對(duì)于（?。┦乔蟮闹眯艆^(qū)間，對(duì)于（ⅱ）是求的置信區(qū)間.如果在（?。┲?，區(qū)間估計(jì)的置信下限大于0，則認(rèn)為明顯大于；若它的置信上限小于0，則認(rèn)為明顯小于；若0含在置信區(qū)間內(nèi)，則認(rèn)為兩者無(wú)明顯差別.對(duì)于（ⅱ）也可做類似的討論，只需將０相應(yīng)地改為１即可.下面來(lái)給出這兩個(gè)區(qū)間估計(jì).不妨設(shè)這兩種燈泡的樣本分別為及,置信水平為1-.例6.3.4

有Ａ、Ｂ兩種牌號(hào)的燈泡各一批，希望通過(guò)抽樣試驗(yàn)并進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，考察（ⅰ）兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；或者考察（ⅱ）兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.對(duì)于（?。@然可用的點(diǎn)估計(jì)量來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間[,]，其中滿足下面分兩種情況進(jìn)行討論.1）若已知，則變換事件A,注意到,欲使，取此時(shí)估計(jì)區(qū)間是.2)若未知，只研究的情形，變換事件A:其中,因此，為使，取故所求區(qū)間是對(duì)于（ii）取.為使，類似于分布，取分位點(diǎn)故所求