材料力學(xué)之彎曲應(yīng)力講義

第五章彎曲應(yīng)力材料力學(xué)1§5–1引言§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力§5–3梁橫截面上的剪應(yīng)力§5–4梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的合理截面§5–5非對(duì)稱截面梁的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心§5–6考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩第五章彎曲應(yīng)力2§5－１引言彎曲應(yīng)力1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q剪應(yīng)力t彎矩M正應(yīng)力s3平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)彎曲應(yīng)力2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：4某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。彎曲應(yīng)力PPaaABQMxx純彎曲(PureBending):PPPa5§5－2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM6橫截面上只有正應(yīng)力。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對(duì)稱性及無限分割法證明）3.推論彎曲應(yīng)力2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。7A1B1O1O4.幾何方程：

彎曲應(yīng)力abcdABdqrxy)))OO1)8

（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。彎曲應(yīng)力sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：9彎曲應(yīng)力（對(duì)稱面）……(3)EIz桿的抗彎剛度。10（四）最大大正應(yīng)力：：彎曲應(yīng)力……(5)DdDd=abBhH11例1受均布載荷荷作用的簡簡支梁如圖圖所示，試試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)應(yīng)力；（2）此截面上上的最大正正應(yīng)力；（3）全梁的最最大正應(yīng)力力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率率半徑。彎曲應(yīng)力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎彎矩3012彎曲應(yīng)力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應(yīng)力1803013求曲率半半徑彎曲應(yīng)力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax121201803014§5－3梁橫截面上上的剪應(yīng)力力一、矩形截面梁橫截面上上的剪應(yīng)力力1、兩點(diǎn)假設(shè)設(shè)：①剪應(yīng)力與剪剪力平行；；②矩中性軸等等距離處，，剪應(yīng)力相相等等。2、研究方法法：分離體體平衡。①在梁上取微微段如圖b；②在微段上取取一塊如圖圖c，平衡彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c15彎曲應(yīng)力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等16彎曲應(yīng)力Qt方向：與橫橫截面上剪剪力方向相相同；t大?。貉亟亟孛鎸挾染鶆蚍植迹?，沿高度h分布為拋物物線。最大剪應(yīng)力力為平均剪剪應(yīng)力的1.5倍。。二、其它截截面梁橫截面上的的剪應(yīng)力1、研究方法法與矩形截截面同;剪應(yīng)力的計(jì)計(jì)算公式亦亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；172、幾種常見見截面的最最大彎曲剪剪應(yīng)力彎曲應(yīng)力Iz為整個(gè)截面面對(duì)z軸之慣性矩矩；b為y點(diǎn)處截面寬寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf18②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：彎曲應(yīng)力exyzPQeQeh19§5-4梁的正應(yīng)力力和剪應(yīng)力力強(qiáng)度條件件?梁的合理截截面1、危險(xiǎn)面與與危險(xiǎn)點(diǎn)分分析：①一般截面，，最大正應(yīng)應(yīng)力發(fā)生在在彎矩絕對(duì)對(duì)值最大的的截面的上上下邊緣上上；最大剪剪應(yīng)力發(fā)生生在剪力絕絕對(duì)值最大大的截面的的中性軸處處。彎曲應(yīng)力QtsssMt一、梁的正正應(yīng)力和剪剪應(yīng)力強(qiáng)度度條件202、正應(yīng)力和和剪應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條件：：②帶翼緣的薄薄壁截面，，最大正應(yīng)應(yīng)力與最大大剪應(yīng)力的的情況與上上述相同；；還有一個(gè)個(gè)可能危險(xiǎn)險(xiǎn)的點(diǎn)，在在Q和M均很大的截截面的腹、、翼相交處處。（以后后講）彎曲應(yīng)力3、強(qiáng)度條件件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)準(zhǔn)則可進(jìn)行行三種強(qiáng)度度計(jì)算：sMQtts214、需要校核核剪應(yīng)力的的幾種特殊殊情況：②鉚接或焊接接的組合截截面，其腹腹板的厚度度與高度比比小于型鋼鋼的相應(yīng)比比值時(shí)，要要校核剪應(yīng)應(yīng)力。①梁的跨度較較短，M較小，而Q較大時(shí)，要要校核剪應(yīng)應(yīng)力。③各向異性材材料（如木木材）的抗抗剪能力較較差，要校核剪應(yīng)應(yīng)力。、校核強(qiáng)度度：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③設(shè)計(jì)載荷：彎曲應(yīng)力22解：畫內(nèi)內(nèi)力圖求危危面內(nèi)力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最最大剪應(yīng)力力之比,并校核梁的的強(qiáng)度。彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x23求最大應(yīng)應(yīng)力并校核核強(qiáng)度應(yīng)力之比彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mxM+Q–+x24y1y2GA1A2A3A4解：畫彎彎矩圖并求求危面內(nèi)力力例3T字形截面的的鑄鐵梁受受力如圖，，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁梁的強(qiáng)度。。并說明T字梁怎樣放放置更合理理？4彎曲應(yīng)力畫危面應(yīng)應(yīng)力分布圖圖，找危險(xiǎn)險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM25校核強(qiáng)度度T字頭在上面面合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○26二、梁的合合理截面（一）矩形形木梁的合合理高寬比比R北宋李誡于于1100年著?營造法式?一書中指出出:矩形木梁的的合理高寬寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與與機(jī)械技術(shù)術(shù)講義?一書中指出出:矩形木梁的的合理高寬寬比為彎曲應(yīng)力bh27強(qiáng)度：正應(yīng)應(yīng)力：剪應(yīng)力：1、在面積相相等的情況況下，選擇擇抗彎模量量大的截面面（二）其它它材料與其其它截面形形狀梁的合合理截面彎曲應(yīng)力zD1zaa28彎曲應(yīng)力zD0.8Da12a1z29工字形截面面與框形截截面類似。。彎曲應(yīng)力0.8a2a21.6a22a2z30對(duì)于鑄鐵類類抗拉、壓壓能力不同同的材料，，最好使用用T字形類的截截面，并使使中性軸偏偏于抗變形形能力弱的的一方，即即：若抗拉拉能力弱，，而梁的危危險(xiǎn)截面處處又上側(cè)受受拉，則令令中性軸靠靠近上端。。如下圖：：彎曲應(yīng)力2、根據(jù)材料料特性選擇擇截面形狀狀sGz31彎曲應(yīng)力（三）采用變截面面梁，如如下圖：最好是等強(qiáng)強(qiáng)度梁，即即若為等強(qiáng)度度矩形截面面，則高為為同時(shí)Px32§5-5非對(duì)稱截面面梁的平面面彎曲?開口薄壁截截面的彎曲曲中心幾何方程與與物理方程程不變。彎曲應(yīng)力PxyzO33依此確定正正應(yīng)力計(jì)算算公式。剪應(yīng)力研究究方法與公公式形式不不變。彎曲應(yīng)力彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)發(fā)生扭轉(zhuǎn)的的橫向力作作用點(diǎn)。（如前述坐坐標(biāo)原點(diǎn)O）PxyzO34槽鋼：彎曲應(yīng)力非對(duì)稱截面面梁發(fā)生平平面彎曲的的條件：外外力必須作作用在主慣慣性面內(nèi)，，中性軸為為形心主軸軸，,若是橫向力力，還必須須過彎曲中中心。exyzPPsMQe35彎曲中心的的確定:(1)雙對(duì)稱軸截截面，彎心心與形心重重合。(2)反對(duì)稱截面面，彎心與與反對(duì)稱中中心重合。。(3)若截面由兩兩個(gè)狹長矩矩形組成，，彎心與兩兩矩形長中中線交點(diǎn)重重合。(4)求彎心的普普遍方法：：彎曲應(yīng)力CCCQyeC36ssss§5-6考慮材料塑塑性時(shí)的極極限彎矩（一）物理理關(guān)系為：：全面屈服后后,平面假設(shè)不不再成立;仍做縱向纖纖維互不擠擠壓假設(shè)。。彎曲應(yīng)力sessss理想彈塑性性材料的s-e圖ssss彈性極限分分布圖塑性極限分分布圖37（二）靜力力學(xué)關(guān)系：：（一）物理理關(guān)系為：：彎曲應(yīng)力yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖38彎曲應(yīng)力yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖39[例4]試求矩形截截面梁的彈彈性極限彎彎矩Mmax與塑性極限限彎矩Mjx之比。解：彎曲應(yīng)力40第五章練練習(xí)題一、推導(dǎo)梁梁彎曲正應(yīng)應(yīng)力公式時(shí)時(shí)，采用了了哪兩個(gè)假假設(shè)？二、矩