高等數(shù)學(xué)函數(shù)及極限習(xí)題及解答

...word...word...word..練習(xí)1-16.求下列函數(shù)的自然定義域：⑴”=J3兀+2;解由％+2R得A器故函數(shù)的泄義域?yàn)閐[嶺+00)」⑵洛；解由1-/工0得燈土1,故函數(shù)的定義域?yàn)閤—叫一n1扎a+8).⑶y丄匸矗；解山曲)」〔1一工20得函數(shù)的疋義域*[joxxau⑷尸止；解由4-x2>0得*|<2,故函數(shù)的址義域?yàn)閆M-2,2).(5)y=sin石；解由空0得函數(shù)的定義￡*=[0.+?).解山工十1弓(5±1.±乙…)得函數(shù)的定義域?yàn)閤^^+y-1(A=0,±l5+2,■■■)_-jL1>=arcsin^-3);解由|%-3|<1得函數(shù)的泄義域亠[2,4]?y-V3-x+arctan—；解由3-^>0且JC卻得函數(shù)的定義域D=(-^OMO,3,v=ln^+l);解由兀+1丸得函數(shù)的定義域ZH-1，+Q.丄?=￡學(xué).解山心0得函數(shù)的龍義域》(-衛(wèi)0)u(0,S7■卞列各題仇函數(shù)/U)和處)是否相同？為什么？/(x>lgx3,g(x)=21gx;解>1、同.因?yàn)槎x域不同.

⑵兀)=兀岸二護(hù)；解不同.因?yàn)閷?yīng)法則不同衛(wèi)<0時(shí)，曲)=-花f(舄=認(rèn)?_存，羔⑴二x沿-1;解和同.因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則的和和同.21/(y)=1,g(x)=sec-_r-tanjc.解不同.因?yàn)槎x域不同.艮試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:(1)y=x\~X證明對于任意的心，恐€(-叫1J,有l(wèi)-Xl>0,l-X2>0,因?yàn)楫?dāng)兀15時(shí),Vi-巾二——=—<0.'■1-%!\~X2(1_兀］)(1_兀2)所以函數(shù)嚴(yán)宀￥ik問(-迪1)內(nèi)是單調(diào)增加的.1—Xy^x+lnx,(①+以.word...word...word...word..證明對于任意的工1,X2E（0,+00）,x1<X2時(shí)，彳f乃-y2=（碼+1HX[）-（工2+lnx2）=（X]-工2）+In玉<o,x2所以函數(shù)j^r+lnx0區(qū)I〕U（0,+oo）內(nèi)-M單調(diào)増加的+設(shè)應(yīng)）為定義在（-LD內(nèi)的奇函數(shù)，若金）在（o,D內(nèi)單調(diào)増皿證明金）在（-3）內(nèi)也單調(diào)增加.證明對丁W1,兀2W（-A°）且X1<X2,有一兀1,一X2E（0,0且一工1>一工2?因?yàn)?⑴在（Q0內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以-A<V2）<^1）,2）>A^1X這就證明了對TVxbx2eK0）,有丈所以用）在（70）內(nèi)也卬調(diào)增加.設(shè)下而所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間（-厶。上的，證明：（1）兩個(gè)隅函數(shù)的和是偶函數(shù)3兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；證明設(shè)尺兀片懐片能）?如呆禺）和0對都是偶函數(shù)，則F（-工上D十*王）丼）十能）二F（d所以F⑴為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).如果用）和炎）都是奇函數(shù)則尺-兀）二/（—工）十田—兀）二皿口―刃工）二-F（Q所以F⑵為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).（2）?兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶兩數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明設(shè)F(Q二幾訃g(Q如果/(x)和能嘟是偶函數(shù)，則F(-x)=/(-x>g(-x)^(xyg(xAFM所以F(Q為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).如采用)和炎)都是奇函數(shù)'則F(-Q=M)g(7A[TU)][-能)]二心)所以F(Q為偶函數(shù)j即兩個(gè)奇函數(shù)的稅址偶函數(shù).如采戲尤)是偶函數(shù)，而烈x)是奇函數(shù)，則尸(-尤)二dg(-￡)d>)I-曲)]二-幾"曲)二-F(Q所tZF(x)為奇函數(shù)’即假函數(shù)與奇函數(shù)的稅是奇函數(shù).下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？(1>=?c2C1-j2);解閔為久-尤x(-兀力1-(—疔冶'(1—?片g所以只尤)是偶函數(shù).(2)p=3x2-x3;解山幾-工匕3(-疔-(-刃【3出十工可見、心)既川奇函數(shù)乂||偶函⑶怙;解因?yàn)?(-r)=】-(-解因?yàn)?(-r)=】-(-1+(-幼=f(x),所以/〔X)肚偶函數(shù).⑷片皿一1)匕+1);解因?yàn)閄-%）=（-兀）（-兀-［）（~x+［）=-兀（兀十］）c^—i）=-y^x）：所以兀o是奇函數(shù).（5^=sinx-cosx+1;解“ITT—巧=血6工）-C0S（—兀）+1=-5山工-{：05工+1可見夬工）既非奇函數(shù)乂非偶函數(shù).⑹尸兮二解因?yàn)??&}=“（擁=亍蘭=/仗）,所以滄）是偶函數(shù).下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指岀其周期：（1）y^cos（x-2）；解是周期函數(shù)，周期為上2兀（2）y=cos4x;解是周期函數(shù)，周期為/誇.（3）y=l+sin^x;解是周期函數(shù)，周期為1=2fx;解不是周期函數(shù)-■2y=sinx,解是周期函數(shù)，周期一為1=仏求下列函數(shù)的反函數(shù)：v=^+T；解由y=^[x+i得gj?一打所以的反函數(shù)為y^x3-1.y—解由甘l-y工二—所以卩-口的反函數(shù)為1+x1-芹TT~⑶尸空些（曲-如0）;解in尸竺毘得-dy+bcy—aWr-dy+bcy—aWrX—所以尹二空蘭的反函數(shù)為cx^-d—ilx—bV-.cx—ay=2sin3￥；解由尸2血旣得1Tyx=-arcsm—,32所以y=2sin3r的反函數(shù)為7y=yaTcsifi^.

y=l+ln^+2);解由戶l+ln?+2)得x=^-F_l-2,所以尸1+lng十2)的反函數(shù)為X-1cv=e-2.⑹尸2⑹尸2X2”+1解山尸丄］得’2工+1x=10g2-^-,所以丿二丄的反函數(shù)為2F設(shè)函數(shù)兀）在數(shù)集X上有定義’試證：函數(shù)兀）在X上有界的充分必要條件是它亦X上既有上界又脊下界.證明先證必要性,設(shè)函數(shù)人對在疋上有界，則心在心數(shù)放使這就訶明了/U）在*上有卞界-M和丄界M冉證充分性設(shè)函數(shù)九x）在無上有下界&和上界感即K\g迄血取AfcmaxJXiL1^|L則-M<K{^[x）<K2<M,即這就證明5）在X上有界1/在卜列各題中一求由所給函數(shù)復(fù)仟而成的函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值X[和X2的函數(shù)值：⑴s*Xl=j,解解j^=sii?x,（2）（2））匕呂w=2jc3解^=sin2r,y}=血（2吟）=站各=#必=sin（2哼）二sin千=1.CitXj1TJ（y）y-4u,w=l+x2,ai=L^X2=2;M^=^1-fx2,=Jl+P=^2,v2=-V1-f22=a/5(4)y=d；u=x2,xi=0,X2=1；My-^x?>|=e0_=1,尹三二卍卩二(5)v=w",u~^，兀]=1,X2=—L解尸戶,yi=/1=e2,yi-^~^-e~2.17.設(shè)滄)的定義域D=[0,口求卜列各函數(shù)的定義域:(1W2):解|!|0<x2<1得旳，所以函數(shù),心，)的尢義域?yàn)閇-1J1Xsiw);解由0<sinx<l得2n^x^(2?+1)^(n=03±1,土2…),所以函數(shù)金皿)的定義域?yàn)閇2“碼(2”十1加]0=0,±1」2…).金+住)@>0);解由g応］得-a^x<\-ay所以函數(shù)/U+C的定義域?yàn)椋郇D陽1—切.（4）亦”心皿沁）.解由0<,t+^<1JLO^x-a<1得：XO<a詁時(shí)’a<x<l-a-Jian*時(shí)，無解，因此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)辇?-口I畑￡時(shí)函數(shù)無意義.18.J-118.J-1葉10\x—\-1|x>1需（工）=二求血⑴］和g［f（x）l并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.f1&f1&\<1,解仏（忙0=1,即血（對］=—110-1x<0x=0.x>0XV]fexe°21，即g[/(0]R1XX>1e~]兀k.<1=1.>119已知水欒的橫斷面為等腰梯形,斜角滬40?如圖).半過水?dāng)嗝胬逤D的面積為定值So時(shí)：求濕周L(L=A*+BC+CD)口水深h之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域.BC=^-coi40°J7.所以hL^S(}2-u?s407：zhsin40cH變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組fr>0,^-cot40°Ji>0h確定，定義域?yàn)?a<J%cot4(T?20.收斂音機(jī)每臺售價(jià)為90兀，成本為60兀.廠方為鼓勵(lì)銷售商大星采購，決定凡是訂購雖超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為每臺75元(D將每臺的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量t的函數(shù)；解當(dāng)08100時(shí)e=9O.令0.013葉100)二90—75,得工尸1600因此x>1600時(shí)/二75.:p[!00<r<1600吋7p二90—Qc—100)x0X)1=91—0.01*綜合上述結(jié)果得到r900<x<100p=[9l-0?0X100<x<1600.75x>!600⑵將廠方所獲的利潤F表小成訂購量兀的函數(shù);30jc0<x<100MP^(p-6i)}x^3\x-O^\x2100<jc<1600.15ty>1600｛3）某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤多少?解P=31xlOOO-O.OJx1000=21000(兀).練習(xí)1-2L觀察一般項(xiàng)斗如下的數(shù)列｛也｝的變化趨勢刃寫出它們的極限:

解門陀一時(shí)，i■二—0,lim丄=0.n2并川翅2,J斗=(一『丄；解當(dāng)障T8時(shí)，耳=卜1尸丄一>Qlim(-1尸丄=0.n用―/?⑶訃2+厶；n~解當(dāng)用too時(shí),兀=2+4*Hm(2+-L>2frr円t呃卅(4)%n-1(4)%n-1m+1解當(dāng)1涮，兀盂K治3輒鋸二1.恥=貿(mào)—1)1解當(dāng)吋,小二W沒有極限.2門殳數(shù)列弟｝的…般項(xiàng)兀二——?問lini￡=?求出他使舁林一當(dāng)心N時(shí),◎與其極限之聾的絕對值小于止數(shù)G當(dāng)￡=0.001ny；求出數(shù)TV.

nn\cos—\nn因?yàn)樽?0|二——所以血＞0,要使附—OS只要也就是心1?ne因此取N=[~],則旳＞"們“―0|“?8半^-0.001>]；Ar=|-]=1000￡根據(jù)數(shù)列極限的是義證明:II?2-oi~II?2-oi~n~只須以丄￡證明因?yàn)镻qO=N=|,半證明因?yàn)镻qO=N=|,半n＞N時(shí)，有所以lini丄丄0.冷一^30衽一m1*3/2+13⑵!史吋虧

分析要使I沁丄1U丄宀TOC\o"1-5"\h\z'2/7+122（2卄1）4/2'只須亠cc即〃＞亠.4/74王訃明因?yàn)閂^＞O?EbV=|-^].?r|^VlltY.f4f■3就十131I對尹’所以2用十12（3）lim二1；分析要使1=&十&2分析要使1=&十&2n只須￡|2十口222naa-=——丿＜一,丹丹（J/P十g：十刃）用.心.心N時(shí)，有n所以iim^E±Z=i.n證明I対為V^>0,32V^[y]SI-K.,limO.999-^9=1+7J個(gè)分析要使上99…9-1匸命5只須1^<￡,即n>1+1s|-M明囲為W>QmN二[14#],門切4附汕仃|0.99…9—1|<g所以limQ999…9=].tif氐巴‘lim劃二—證明lim|M」=|盤|?并舉例說明：如果數(shù)列仮卅冋一>8H—>九有極限級但數(shù)列｛町｝未必有極限.證明因?yàn)閁m妝丸,所以也>0印小,當(dāng)心N吋,有ft―>0*I礙廠肛從而\^n[-\a\\<\u?-a\<^.這就證明Xlim|unH?l-tlToO數(shù)列加詁｝有極限，但數(shù)列｛*｝未必有極限，例如,lim|(-iri=K不存在./!—>30控一>30設(shè)數(shù)列篩｝有界,又lim兒=0,證明：lim片兒=0.?—>00用TCO證明因?yàn)閿?shù)列閏｝有界,所以存在胚使旳N有氐|丸又lim兒X),所以為心皿土有|兒|＜三?從而艸T辺1Jyf當(dāng)n＞N時(shí)，有1%片-。冃％兒#M|訃胚青=￡所以limxy=0.捽一＞20對于數(shù)列｛也｝＞若X2k-i-^ci(k^^X2k-^a(k-＞oq)?證明因?yàn)楣と椤猯T口(無一＞oo),工弗T。仇Tg)：所以1VqO,矜為2疋-1〉2疋-1吋、有畑-水￡；弓血，J242&時(shí)，有取A^-max｛2^i-l,2^｝,只要心N,就有\(zhòng)xn-a\＜s.氐IjJ匕Xu—ci(it—co).練習(xí)1-3L根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(L)lim(Ax—1)=8;3分析因?yàn)閨(3兀_|)」=3兀一9|=3用一3|，所以要使(3x-l)-8|<^,只須卅-3|呂占-證明因?yàn)檠?gt;0豐=討當(dāng)0<|歸<&時(shí),有|(3工-1)-,所以lim(3x-l)=8.X1>3(2)lim(5x+2)=12；x—>2分析因?yàn)閨(5x+2)-12h|5x-10|=5|-c-2L所以要使(5x+2卜12|y只須|兀-2|<*￡.證明因?yàn)楸取?印二當(dāng)0<|x-2|v6時(shí),有|(5r+2)-12|<g所以lim(5x+2)=12.v2_j⑶塑h";分析因?yàn)殄?K）二兀？十4兀十4x+2所以要使x+2匕7-(-4)<◎只須|兀-(-2)|<￡._龍+2—一(一2)|,X十2囲為寸￡>oa-ki0<|x-(-2)|<J時(shí),有齊—4x十2所以lim疋二4.證明(一4)".V——2x+2⑷lim*^=2.T2r+1分析所以要使丙為1-4L2x+l1-4X2x+l_-2|=|l-2^-2|=2|%-(-|)|?2|<￡,只須卜-(-證明閔為施沁,」3=十占，”|0<|x—1一4川十1所以旣憲"22.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(l)lim分刊「所以要使因?yàn)?+x3_1_2x32畧J",2aj21+存-jp2x3只須一「2k1■^|>nr——■V2e證明因?yàn)閂?0.」x—亠吋，有\(zhòng)l2sl+xj12x3_2所以liml±4=lMf夫2xJ2⑵lim工f+xsm.r=0分析園為譽(yù)-0<￡,只須sin.TVa長"-^V￡,S|JJf>—■V-X￡證明同為VqOVX=2,JeX吋"有所以要使|,2-Isinjcj所以lim^=O.二申工—2時(shí)丿二/t4.問〃等于多少，使沖忖一2|勺卡_|；協(xié)—40001?解由于當(dāng)—>2時(shí)中-2|-0,故可設(shè)k_2|vl,即Ur<3.要使kJ環(huán)+2|k_2|<5pi-2|<0.0015只要|?！?|<詈譏二0.0002.取&00002,則「當(dāng)0<|兀_2切時(shí),就彳幾『_4|<0.001.當(dāng)兀卩二卓問x等丁多少，使當(dāng)|兀|泌時(shí),'x2+3[y-l|<0.01?M要使M要使詔甘島"叭只要邸爲(wèi)二勵(lì)?因此可取^-V397,證明函數(shù)I半時(shí)極限為零分析因?yàn)榻鸩?|叭0|卄15所以要使］/找卜0|《只須工竝證明因?yàn)閷fi>Os35=fi；使沖OcITG時(shí)有0—|^|—0|<￡-?所以limlxhO.x-M)求諷x)二兇當(dāng)兀一>0時(shí)的左.右極限=并說明它們XJC在—0時(shí)的極限是否存在*證明因?yàn)閘imf(x)~lim—=liml-l.片—0°xaPolini/(x)=lim—=lim1=1,所以極限lim/'(x)存￥l〔x->0因?yàn)閘im諷對二lim—=lim-^=-1,耳tQ耳~0鼻‘亠^。JClim諷￡)-lim—-lim—-1兀一>Ma->0^XxtO十xlim僅玉)Hlim旗工),昇xtO十所以極限lim(p(x)不喬補(bǔ)Ix->07”訃明：若xt+oo及XT-渋時(shí)，函數(shù).滄)的極限都存在II都等丁乂則lim.V—>3>'證叨因?yàn)閘imf(x)-A,lim/'(算),所以\/￡>03我】>0,使半工<-加時(shí)，有金)-4如；日掄農(nóng)使當(dāng)宀￥燈丸有血)-兄|<「取無=m^{￥i、疋則時(shí)，有張y|Jlimf(x)=A.￥—>308.根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)/U）為XT劑時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限徐口存在并口相等.證明先證明必要性一設(shè)Ax）T/（x_r必則V￡>o,3<5>0,使沖O<^-xo|<5時(shí),有張）-兄|<￡.因此：打M-慶X<X0利^0<V<XQ+J吋都有何一?！?這說明劉當(dāng)F0吋左右極限都存春并H都等于再證明充分性.設(shè)介0-0）弓山+0匕兒則w3Ji>0?使-k[^o-Ji<￥<r（）時(shí)，有隱卜/a;3&>05使屮|兀0<翼<￥0+的時(shí),有|.心）-力|<￡.取J=min{5i*（￡},則十0<|尤—”切|<（5時(shí),有及xgxvo+也,從而有即加}->劌（工一>訕.9-試給出XT00時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明”解兀TOO時(shí)函數(shù)極限的屈部有界性的定坦：如果加門工-OO時(shí)的極限存在，則存在龍>0及胚>0,使:什|疥時(shí)，血）|<M證明設(shè)臥則對」*1二上0"|x|〉XM有1/UHa二1.所以丿（戈）I=/（X）-理+曲￡旅”￥}—A|+M|<1+M.這就是說存在於o及胚?使半|4>/時(shí)，疑}|<H其屮胚=1+K練習(xí)1-4L兩個(gè)無窮小的商是否一定是兀窮??？舉例說明之.解不一定.例如…為xtO時(shí)“ofx>2x,鳳￥上3兀都是無窮<|\(H.a(x)_2哄不是尢窮小.0(兀)根擁定義證明；(2栄當(dāng)5時(shí)為無窮小;址明當(dāng)"3吋|卿=疋二^十-3|?x+3I大I為V￡>Q,3d=￡.當(dāng)0半-3|制時(shí),有丫？一9|y|='+3=|兀_3|</二￡,所以申;vt3咐士為無窮小.尤+了⑵y=xsin—當(dāng)X—>0吋為無窮小.

訕明■'Ix^o時(shí)血丄國龍一0|.I大I為VqOJ圧比半0<|x-0|v<5時(shí)，有l(wèi)yNxIlsin—|^x-O|<J=f,x所以xtO時(shí)尸xsinl為無窮小.x根據(jù)定義證明：函數(shù)心上竺為當(dāng);vtO時(shí)的無窮尢問兀'x應(yīng)滿足什么條件，能使M>io4?證明分析||=|1±2^U2+丄卜占一2,XX|x要使惻>胚只須丄-2>M、B[l|x|<—-—.|x|Af+2M明兇為使"iOvk-O|v/lt仃M^21+2xx所以dxfO時(shí).函數(shù)』=上互是無窮大.x取^10\則》—取^10\則》—104+2屮|0牛-01<而呂時(shí)>>'°4求下列極限并說明理由:⑴］訕空±1；科一>吃兀解因?yàn)?=2+丄.而門盂TX時(shí)丄是無窮小歩XXX所以lim^-2.料一＞帆X⑵lim^‘心0]—工1丫2_”丫解岡為=1十*（詳1丄『1」屮1XT。時(shí)工為無窮小?I—X所以lim-^=l.—oI—x根據(jù)函數(shù)極限或無窮大迢義，填寫卜表：心4f（H）F"KT斯V^＞0,3&＞0,使當(dāng)0＜|x—和|＜創(chuàng)土有恒匝）-/|＜彳工一＞質(zhì)工一HTccVoO,3X>Q,使當(dāng)|工|>*時(shí),冇恒\fM\>M.X—>Hx_r—>—oo6?函數(shù)y=xcos^在（-迥+呦內(nèi)是否有界？這個(gè)兩數(shù)是否為半龍T十衛(wèi)時(shí)的無窮大？為什么？解函數(shù)y=xcos天彳匸(-oo3+oo)內(nèi)尢界.這量因?yàn)閃Mg在(-咎乜)內(nèi)總能找到這樣的孔使得例如y(2kji}^2kT^oslkii^lkJu{k^Q1?2?■■-)?:'fk充分大時(shí)’就-^\y(2k7r)\>M_門兀―十力時(shí)，函數(shù)j^rcosa:不是尤窮大.這是兇為VM>0,找不到這樣-個(gè)旳刻M使對’?切大丁N的K都彳jMX)卜M例如y(2br+號)=(2后+評os(2后+手)=0仗二0丄2「』對任何大的他當(dāng)去充分大時(shí)，總有“2后+分—但\y(x)\^0<M.7■證明：函數(shù)尸丄曲丄在區(qū)間Q1］上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)xx忑一>0"吋的無窮大.證明函數(shù)尸丄血丄在區(qū)間?1]上尢界「XX這是因?yàn)閯⑶?在（0,1]^總町以找到點(diǎn)“使鞏罰>胚例如當(dāng)廿一^（社0」2」?>2時(shí),有個(gè)杲無為人.這是因?yàn)椋?2后十專、充分大時(shí),用小胚-plx^0+時(shí),函數(shù)戶丄血丄hXX個(gè)杲無為人.這是因?yàn)閂M>0,對所有的血0,總可以找到這樣的點(diǎn)機(jī)使0<xk^但yg）<M例如可取*產(chǎn)專廠掃°丄厶…二M1k充分人時(shí)，寸<貝屮丨列斗）=2??；zsin2t；p=0<A<練習(xí)1-5計(jì)算下列極限:⑴凹去；

解ljfT|2d±5=2i±5=_9x*jc-32-3⑵1哼害;解li哼字|=吧—3=0.,T広2+1(J3)2+J⑶卿F⑶卿F-2x+1x2-l1曲1曲戲一嚴(yán)亠」litn(兀一1尸二1im旦XT1/-1HTl(斗一1)(X+l)XTlX+1(4)lim—o(4)lim—o4宀2W+x3a*2+2x解l解lim4yj-2^+_r=lim4^-2x+l=l心03j"4-2xio3兀十22広、［?(x+h)2-x2⑸忸一天—;解lim儀+"廠—界=lim宀2代+臚—工=］荷(2乳+加=2兀.(6)lim(2--+-y);Mlim(2-丄+亠)=2-1計(jì)丄+］訕丄二2.Mlim(2-丄+亠)=2-1計(jì)丄+］訕丄二2.XX2YTOCX28X2*+JCj4-3x2-1解(8)lim2解lim廣打=0（分/次數(shù)低丁分母次數(shù).極限為零）.解怛左谿=!塑隹簫齊卿壬|=汙弓（⑼卿￡總一占；

解lim(l+丄)(2)=丄卜lim(2一-)—1^2=2.工—血xXT*XX」*XL(ll)]im(l+丄+丄+…+/7—>0624M十+M十+十+>jc24=2.=lim——

用fQC[i2(12)応(12)応1+2+3+…+(D.真f30n1.冷.冷Inn口-n—>y科-2?H25n^最亦次項(xiàng)系數(shù)之比).或Im5十1)⑺十2)(用十3)」扎解lim1±2±3±^±21Z11=limn—^y-(13)limG+l)?+2)(〃+3).n—解時(shí)亦1)5十2)(W3)=](分了5分母的次數(shù)相同，扱限為uh5/??5=-lim(l+-)(1+-)(1+-)=-.\丹—nnn5計(jì)算下列極限:P+2工2解因呱需寺。，所哋沙工*2加+1解lim-^--x(閔為分子次數(shù)心］分母次數(shù))，-v^Zr+llim(2xJ—x+1).rm解1血(加7+1戶旳(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)丄JTT0O計(jì)算下列極限：limx~sin—;解limx-sin—-0(Tl?！?gt;0時(shí)■,x2是無窮?。憾鴧斡榿A是彳「界變比t).尤VOJCXlim^tanx工T乂X解limarctanx=lim—'arctan.r=O(x—丄是無窮小,A—Xx->ooXXIfl]arctan是有界變量).練習(xí)1-61?計(jì)算下列極限;⑴]曲竺竺；x的7[?sin?*1-sin他ffflim=elim=(usoxmcdx(2)lim旦蟲;xtOA解lim空主=31im沁，一^二3—0工x->05xcos3x⑶lim亟學(xué);丄tosin5xsin2jc5x2_2x->0sin5xxtO2xx->0sin5x(4}limxcot^；VV5解limxcot^=lim—r—cosx^lim—r—limcosx=l.尤to工to&iha:Jt->^sinx尤―。(5)limH空XS111X解血上竺空二亦匕弊二ig辿土二21hn(沁)—2x->0ASinXx->0X2x->0龍一x->0rY「l-co?i2兀|?2sin2xrsinx「lim:=lim——:=2lim=2*不f。衛(wèi)一^xsmjcx->ox(6)lim2^sin—U為不等于零的常數(shù))2卅sin^解lim2/fsin—=lim^x-x.用Too2卅X2?計(jì)算下列極限:\_(l)lim(l-x)^;x-^0丄丄―(一1)—解lim(l—兀)尤=lim[l十(—a)]S)={lim[1十(―天)]卜屈「二訂.工一>0A—*0T—>0

(2)lim(L+品T->0lim(l+2x)^-lim(l+2x)lim(l+2x)^-lim(l+2x)=|lim(l+2x)2r]2j—>o⑶]im(匕嚴(yán);Y解lim（仝）"=[lim（l斗丄）汗二心sX工Xlim(l--^(k為正整數(shù)).A"MHm(l—1)滋=lim(l+丄)丄X忙一>陸—X3?根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準(zhǔn)則I：證明僅対HF的情形加以M明.因?yàn)閘inig(x)二A,limA(x)=A?x->環(huán)所以對任給定的￡>0*存許心。使得O<|x-xo|<M,悝有|g(-v)-/L|<￡及\h(x)-A|乞即A-￡<g(x)</#A-￡ch(x)<A^s.乂因?yàn)間(x)WAx)曲(Q所以A-s<j[x)<A^￡,即金)_力|<科因此lim/(x)=/t.利用極限存在淮則證明：LimJ1+丄=1;R—V/7證明因?yàn)閕dn證明因?yàn)閕dn[ftllim1=1H_lim(l十丄)=1,"T=Q丹TH，J；山極限存在準(zhǔn)則I,lim5l''l+-^l.rtsqVn◎卽詁列…+匕產(chǎn)；證明I対為—5<打(―22n'&)莊―2'n-^njT#嚴(yán)十兀丹上十2兀滬ur*廠十石[IUlim―^二1,lim——二1?HTH■丹上+用托鳳、8打亠斗托所以lim幵(——H—HF—)=1,hi打丄十;r丹-十2更w+mjt數(shù)列血，72+72,丿2+丁2+血，…的極限存在;證明血=血，兀亠|=』2斗召(用"2厶…丄先證明數(shù)列有界，Xn=i時(shí)期=血<2、假定n=k時(shí)xx<2,則沖Z+1時(shí),耳、\=』2+兀V丿2+2=2,所以巧<2(TU即數(shù)列仙｝有界.再證明數(shù)列單調(diào)增.因?yàn)椤?/?T^-r_2+屯廠X：一一(忑廠2)(工和+1)打乂舟知_A7?_k十島十心#2十屯十心寸2十兀[+心而h_2<O,h+1aO,所以xn^\-xn>09即數(shù)列｛x補(bǔ)單調(diào)增.十島十心因?yàn)閿?shù)列衣屛單調(diào)增加有上界、所以此數(shù)列是有極限的.lim旳—;工一＞0證明眄則有i+x<i+|x|<(i+[xiy,l+xni-|兀巨(1-klF,從而有l(wèi)-|x|<!?/f+x<l+|x.因?yàn)橐驗(yàn)楦鶕?jù)夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)imVTZ7=l?j->0lima(-]=L不一>o十x證明因?yàn)閬A-1<[丄卜丄、所以-X工工X又I大I為Hm(l-x)=Lim1=1,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則,有l(wèi)imj[-]=l.x->o+工x練習(xí)1-7當(dāng)兀t0時(shí),2x-F與Ft?相比，哪一個(gè)是高階無窮小?解因?yàn)閞耳2_兀1rx-x2aliin=lim=0,xto2x一x2a->o2—尤所以“Ix^Q時(shí),/-/是譏階無窮小，即x2-x^-o(2x-x2).當(dāng)工T1時(shí)亍無窮小1-兀和用)是否同階？是否等價(jià)？其中?=l-x3;解因?yàn)槎﨟mQ—雋￥+算+")二lim(l+￡+F)=371—Xx->!1—xa—>1所以:仏T1吋，j和1-J是同階的無窮小，們不是等價(jià)無窮小.他詰(1-嚴(yán)).解因?yàn)閒(l-1lim—二丄lim(l+x)=l,x—>11—X2.3所以1一1時(shí)J—X和*1-Q)坯同階無窮小歩而II是等價(jià)無窮小.J工證明：半工->0時(shí)7有：(1)arclanx-x;■證明因?yàn)橄蛭酌?lim亠=1v->oxtanj；所以當(dāng)t—>0時(shí)，arctatK-x(提示:令y=arctaux,則-'1x->0時(shí)j->0)?

(2)g_l透.證明因?yàn)閘irnse"X-^21im1；COSX=lim2Sm22xtOI2^->0x2COSX工X1—A222sin—2所以當(dāng)x->0時(shí),sccy-1^—.4利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下列極限：⑴lim粵叭卞TOZx解limun3x=lim3v=3?兀fo2xmtO2x2（2）恤血3）{nm為正整數(shù)）;go（sin工）屮解嗚（爲(wèi)卜凹一r1n=m0.oon<mV⑶Jimtan^-sin^;iosin^x亠sinx(1).解limlan-v-sinx=lim—上叫sin5xxtQsin\v^0cosxsin^.r12=]im=-.sintana^ox-cosx2sintan(4)lim；王to(#[+.*—1)(Jl+sitiH—l)解因?yàn)閟inx-tan_x=tanx(cosx-l)—tan沁筆?士2亠亦?！?氣護(hù)》°)'Jl+sinx-1=*"門工一-sinx-A(x—>0),sinjc-tan,TV1+sinx十1sinjc-tan,T所以]im廠f—二lim5(軌十宀l)(JlHHsinx—l)?5,證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):(1)茂?◎(自反性)；訕明lim—=1?所以??cr;a

⑵若Q?&則嚴(yán)皿對稱性);訕明若口?0,則lim馬二1,從而二1■因此嚴(yán)僅;PGC若口~肉嚴(yán)7；則的”傳遞性).證明若住?0,嚴(yán)兀lim纟=lim0?lim￥=l-兇此⑴兀練習(xí)1-81.研究卜列函數(shù)的連續(xù)性，并畫岀函數(shù)的圖形:⑴皿｛二⑴皿｛二0<x<l■1<a<2?解□知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù),所以函數(shù)用)在Q1)和(1,2]內(nèi)是連續(xù)的.在工二1處因?yàn)榇ㄈ詹⑶襩im廣⑴二limx2=l,Limf(,r)-lim(2-x)-l,JCT|-上Tl—X->l+'所以lim/(x)=L從而函數(shù)/lx)在兀二1處足連續(xù)的.jttI'綜上所述，函數(shù)>Xl-：[O52]±是連續(xù)函數(shù)，(必￡訝?解只需考察函數(shù)在工二-1和*1處的連續(xù)性.在*-1處，因?yàn)锳-i)=-h并且limf(x}=lim1=1打(一1),XT—廣-I"limf(_r)=lim兀二一1二/(一1)，i-->-11XT-I1所以函數(shù)在1處問斷，但右連續(xù).在Z處,因?yàn)?1>1?并且lim/(x)=limx=l畝“呵/(x)=lim1=1畝“X>1-XT]-X+所以函數(shù)在兀9處連續(xù).綜臺上述討論，函數(shù)/1(-衛(wèi)-1>和(-1)430)內(nèi)連續(xù)彳丫1一兀二-1處間斷，但右連續(xù).2.下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷,說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類，如呆是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)：解XWj—(兀+1)(—1)”抵十2(兀―2)(—I)"因?yàn)楹瘮?shù)在玄=2和x=l處無定義，所以尤=2和工=1是函數(shù)的間斷點(diǎn).TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)閘imy=lim/一'—=qg?所以x=2界函數(shù)的第二類間工->2°X—>2x2-3x^2'斷點(diǎn)；W>jhmv-liin^^=-2?所以*1是函數(shù)的第類間斷工(x-2)點(diǎn)，并II是可去河斷點(diǎn).在*1處,令尸-2,則函數(shù)在兀=1處成為連續(xù)的.⑵尸”^衛(wèi)丸片拆+壬(Z±l,土2,…);tanx2解函數(shù)在點(diǎn)x=krdjkeZ）和工=后+鄉(xiāng)（蛀Z）處無朮義?WlflJ這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)閘im—一二oo（直工0誘工7茫tanx所以7如））是第二類間斷點(diǎn)；lim^^=l,lim-^=OaeZ）5所以D和*滋+號險(xiǎn)Z）是第類可斷點(diǎn)口繪可去間斷丿k令則函數(shù)在兀=0處成為連續(xù)的.令工二航十號時(shí)丿電則函數(shù)在無二以十號處成為連纟賣的+⑶v=cos2—,x=0;X解因?yàn)楹瘮?shù)ffoQ丄任X^O處無定義，所以x^O是函數(shù)XzcoQ丄的問斷總又閔為limcos2丄不存在，斯以X）足函數(shù)X工亠°T的第一類間斷點(diǎn).(4”二少-(4”二少-1[3-xA<11解因?yàn)閘im/(x)=lim(x-l)=O,lim=lim(3-x)=2,x->1-所以工=1是函數(shù)的第…類不可去間斷點(diǎn)-工討論函數(shù)/(x)=limx的連續(xù)性，若有問斷點(diǎn)，判別其類型”證明：若函數(shù)念)在點(diǎn)別連續(xù)口/(呦也則存在M的某-?鄰域U(xo\'Vet/(T0)時(shí);/3冷0證明不妨設(shè)心)M因?yàn)榻锕?在兀0連續(xù)r所以lim/(x)=/(^0)>01由極限的局部保號性定理，存在巫的某一去心鄰域17(^),使當(dāng)x^U(x0)時(shí)冷)>0,從而門工wU(x°)時(shí),冷)乂這就是說存在皿的某嘟域U(xol當(dāng)氏玩切)時(shí)汛xM).試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)金)的例子：(1)工二①±1=±2?±1-土億±—，…是儉)的所有問斷點(diǎn)y2nII它們都是無窮間斷點(diǎn)；解函數(shù)/（X）=C5C（JD；）+CSC—在心*①士L±2.土丄?…，土見土丄，…處是間斷的，H這吐點(diǎn)2刃是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)■（2譏X）在R上處處不連續(xù)，但］/匕）|在R上處處連續(xù);在R上處處不連續(xù)，們［/V）匕1在R上處處連續(xù).（3譏兀）在R上處處有定義，但僅在一點(diǎn)連續(xù)’M函數(shù)xeQxeQvsQ在R上處處有定義,它只在—處連續(xù)練習(xí)1-9

L求函數(shù)L求函數(shù)/d+嚴(yán)x~+x—6的連續(xù)區(qū)間,并求極限limf（x）?x^O塑的及四gx2x2-fx-6（兀+3）（工-2）,函數(shù)在（一叫+8）內(nèi)除點(diǎn)心2和灼-3外是連續(xù)的，所以函數(shù)心）的連續(xù)區(qū)間n-?。?3,2）.（2,T右屈數(shù)的連續(xù)點(diǎn)心0處Jim廣⑴寸（0）=￡右屈數(shù)的間斷點(diǎn)*2和a—3處,（卄3）（工-1）（卄1）（忑+3）（兀_2）lim/（x）=limlim/（x）=lim一3a—3（x-l）（x+l）x—2設(shè)函數(shù)兀c）與g（Q在點(diǎn)m連續(xù)，證明函數(shù)^x>max^）sS（^）｝5颯>）=min爪Qg（x）｝在點(diǎn)頂也連續(xù).證明巴知limf(x)=/'(x0),lim蠱(x)二g(叼)-JCTJCqjc可以驗(yàn)證於)=扣(兀)+的+|/(兀)-&(兀)丄”⑴二￡[/(□十g(x)T/O)-g(Q]-因此爐（呵）二）[/｛砌）+&（切斗|/（叼）-刃叼）|],y心))二![/(切)乜041/佝)-￡(叼)|]-因?yàn)閘im卩⑴=limUf(x)+g(x)+|f(x)-g(x)\]MTJfuX—2二+[lim/(x)十lim以x)十[lim/(對一limg(x)\]ZXT心XTq:KT工o弓[/(%)+血)+/(叼)-g(GX您),所以於）在點(diǎn)血也連續(xù)?同理可證叨呎上）在點(diǎn)X0也連續(xù)求下列極限:(1)limJ"-2x+5;x->0解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=Jx2-2x^是初等兩數(shù)/藍(lán)）在點(diǎn)"0彳憂義，所以limJx2-2^+5=/（0）=VO2-2-0+5=^5.

(2)lim(sin2x)s;解因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(sin是初等函數(shù)后)在點(diǎn)*了仃尢義,所以⑶limln(2cos2A);解因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ln(2cQs2v)是初等函數(shù)J(x旳點(diǎn)*令右尢6匯所以limln(2cos2x)=f(^)—Ln(2cos2'=0.工t乎660二［im二［im—厶+1+1丨二17ozm~2⑸lim后耳頁;XTlY-1

解hm丿5無-4-屆二]口(J企_4_J7)(呷￡尤_斗十衣)

Ix-l_z(T(J5jc_4+眉)=limju—i4兀-4(x-1)(J,尤一4+=lima4=4』5x—4+-fxa/5-1—44Vf=2(6)limsinx-sina;■V—>話X—df解lim鈕—six二恤2cosp—泗三x-^ax-uhwx-ax-asin=Htncos^+<7>]im—cosa^~a-1=cosq.JCT占2XT可2(7)lim(Jx，十尤一_rf+邊=lim.i—>+尖=lim.i—>+尖2工(Vx2+x十Jx2-x)求下列極限:丄(1)lim;X—>00

-lim—解limex二￡n二/=jf—>00(2)limlnA—>0sinx.x解limki沁"(lim空口匸11