隨機變量及其分布、數(shù)學期望、方差、概率例題

-21世紀教育網(wǎng).21jy.精品試卷·第2頁（共2頁）.z.2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第五部分：隨機變量及其分布、數(shù)學期望、方差、概率1.（2010**一模）符合下列三個條件之一，*名牌大學就可錄?。孩佾@國家高中數(shù)學聯(lián)賽一等獎（保送錄取，聯(lián)賽一等獎從省高中數(shù)學競賽優(yōu)勝者中考試選拔）；②自主招生考試通過并且高考分數(shù)達到一本分數(shù)線（只有省高中數(shù)學競賽優(yōu)勝者才具備自主招生考試資格）；③高考分數(shù)達到該大學錄取分數(shù)線（該大學錄取分數(shù)線高于一本分數(shù)線）．*高中一名高二數(shù)學尖子生準備報考該大學，他計劃：若獲國家高中數(shù)學聯(lián)賽一等獎，則保送錄?。蝗粑幢槐Ｋ弯浫?，則再按條件②、條件③的順序依次參加考試．已知這名同學獲省高中數(shù)學競賽優(yōu)勝獎的概率是0.9，通過聯(lián)賽一等獎選拔考試的概率是0.5，通過自主招生考試的概率是0.8，高考分數(shù)達到一本分數(shù)線的概率是0.6，高考分數(shù)達到該大學錄取分數(shù)線的概率是0.3．（I）求這名同學參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學期望；（II）求這名同學被該大學錄取的概率．2.（2010**二模）為了控制甲型H1N1流感病毒傳播，我市衛(wèi)生部防疫部門提供了批號分別為1、2、3、4的4個批號疫苗，供全市所轄的三個區(qū)市民注射，為便于觀察，每個區(qū)只能從中任選一個批號的疫苗進行接種．（I）求三個區(qū)中恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同的概率；（II）記三個區(qū)中選擇疫苗批號相同的區(qū)的個數(shù)為，求的數(shù)學期望．3.（2010**模擬）*校的學生記者團由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：組別理科文科性別男生女生男生女生人數(shù)5432學校準備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學生都有．(Ⅰ)求理科組恰好記4分的概率？(Ⅱ)設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．4.（2010**一模）AB*超市為促銷商品,特舉辦"購物有獎100﹪中獎”活動.凡消費者在該超市購物滿10元，享受一次搖獎機會，購物滿20元，享受兩次搖獎機會，以此類推.搖獎機的結(jié)構(gòu)如圖所示，將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中,落入A袋為一等獎，獎金為2元，落入B袋為二等獎，獎金為1元．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是．AB（Ⅰ）求搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；（Ⅱ）*消費者購物滿20元，搖獎后所得獎金為*元，試求*的分布列與期望；(Ⅲ)若超市同時舉行購物八八折讓利于消費者活動（打折后不再享受搖獎），*消費者剛好消費20元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算.5.（2010**三模）一個口袋中裝有大小相同的個紅球（且）和個白球，每次從中任取兩個球，當兩個球的顏色不同時，則規(guī)定為中獎．（Ⅰ）試用表示一次取球中獎的概率；（Ⅱ）記從口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中獎的概率為，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當m取得最大值時將個白球全部取出后，對剩下的個紅球作如下標記：記上號的有個（），其余的紅球記上號，現(xiàn)從袋中任取一球,*表示所取球的標號，求*的分布列、期望．6.（2010高.考.資.源.網(wǎng)預(yù)測）設(shè)進入*商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。（1）求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（2）求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（3）記表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。7.（2010**二模）*班50名學生在一模數(shù)學考試中，成績都屬于區(qū)間[60，110]。將成績按如下方式分成五組：第一組[60，70）；第二組[70，80）；第三組[80，90）；第四組[90，100）；第五組[100，110]。部分頻率分布直方圖如圖所示，及格（成績不小于90分）的人數(shù)為20。（1）請補全頻率分布直方圖；（2）在成績屬于[70，80）∪[90，100]的學生中任取兩人，成績記為，求的概率；（3）在該班級中任取4人，其中及極格人數(shù)記為隨機變量*，寫出*的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望E（*）。8.（2010東北育才、**育明三模）單位為30元/件的日用品上市以后供不應(yīng)求，為滿足更多的消費者，*商場在銷售的過程中要求購買這種產(chǎn)品的顧客必須參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉(zhuǎn)盤（上面扇形的圓心角都相等），按照指針所指區(qū)域的數(shù)字購買商品的件數(shù)，在搖動轉(zhuǎn)盤之前，顧客可以購買20元/*的代金券（限每人至多買12*），每*可以換一件該產(chǎn)品，如果不能按照指針所指區(qū)域的數(shù)字將代金券用完，則余下的不能再用，但商場會以6元/*的價格回收代金券，每人只能參加一次這個活動，并且不能代替別人購買。（1）如果*顧客購買12*代金券，最好的結(jié)果是什么？出現(xiàn)這種結(jié)果的概率是多少？（2）求需要這種產(chǎn)品的顧客，能夠購買到該產(chǎn)品件數(shù)的分布列及均值；（3）如果*顧客購買8*代金券，求該顧客得到優(yōu)惠的錢數(shù)的均值。9.（2010東北育才、**育明二模）由于當前學生課業(yè)負擔較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從*高中隨機抽取16名學生，經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如下：（Ⅰ）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（Ⅱ）若視力測試結(jié)果不低丁5.0，則稱為"好視力”，求校醫(yī)從這16人中隨機選取3人，至多有1人是"好視力”的概率；（Ⅲ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到"好視力”學生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．10.（2010東北三省四市聯(lián)考）為考察*種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：藥物效果試驗列聯(lián)表患病未患病總計沒服用藥203050服用藥*y50總計MN100工作人員曾用分層抽樣的方法從50只服用藥的動物中抽查10個進行重點跟蹤試驗．知道其中患病的有2只．（I）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，M，N的值；（II）畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過條形圖判斷藥物是否有效；（III）能夠以97．5％的把握認為藥物有效嗎"參考數(shù)據(jù)：0．500．400．250．150．100．050．0250．0100．0050．0010．4550．7081．3232．0722．7063．8415．2046．6357．87910．828211.（2010**一中二模）*單位為加強普法宣傳力度，增強法律意識，舉辦了"普法知識競賽”，現(xiàn)有甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)法律知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是，甲、丙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是．（1）求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率。（2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率。12.（2010**一中一模）有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側(cè)面(編號為①②③④⑤⑥)上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5，若一個側(cè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面，假定更換一個面需要100元，用表示更換的面數(shù)，用表示更換費用。(1)求①號面需要更換的概率；(2)求6個面中恰好有2個面需要更換的概率；(3)寫出的分布列，求的數(shù)學期望。13.（2010**市二模）道路交通安全法中將飲酒后**駕駛機動車的行為分成兩個檔次："酒后駕車”和"醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q<80時，為酒后駕車；當Q≥80時，為醉酒駕車.*市公安局交通管理部門在*路段的一次攔查行動中，依法檢查了200輛機動車駕駛員的血酒含量，其中查處酒后駕車的有6人，查處醉酒駕車的有2人，依據(jù)上述材料回答下列問題：（Ⅰ）分別寫出**駕車發(fā)生的頻率和醉酒駕車占**駕車總數(shù)的百分數(shù)；（Ⅱ）從**駕車的8人中抽取2人，求取到醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望，并指出所求期望的實際意義；（Ⅲ）飲酒后**駕駛機動車極易發(fā)生交通事故，假設(shè)酒后駕車和醉酒駕車發(fā)生交通事故的概率分別是0.1和0.25，且每位駕駛員是否發(fā)生交通事故是相互獨立的。依此計算被查處的8名駕駛員中至少有一人發(fā)生交通事故的概率。（精確到0.01）并針對你的計算結(jié)果對駕駛員發(fā)出一句話的倡議.14.（2010**五校聯(lián)考）如圖所示，質(zhì)點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻．每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1．兩個2．兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點P前進兩步（如由A到C），當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點P前進三步（如由A到）．在質(zhì)點P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．（Ⅰ）求點P恰好返回到A點的概率；（Ⅱ）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果中，用隨機變量表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求的數(shù)學期望．15.（2010東北三校一模）甲乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中目標的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如下，甲運動員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率7100.18100.190.451035合計1001乙運動員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率780.18120.159100.35合計801若將頻率視為概率，回答下列問題，（1）求甲運動員擊中10環(huán)的概率（2）求甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率（3）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)，求的分布列及.16.（2010東北三校三模）第11屆**冰雪大世界以"冰雪建筑華章，歡樂相約世界”為主題，于2009年12月24日正式開園。在建園期間，甲、乙、丙三個工作隊負責從冰凍的松花江中采出尺寸相同的冰塊。在冰景制作過程中，需要對冰塊進行雕刻，有時冰塊會碎裂，假設(shè)冰塊碎裂后整塊冰塊就不能使用，定義：冰塊利用率=假設(shè)甲、乙丙工作隊所采冰塊分別占采冰總量的25%、35%、40%，各隊采出的冰塊利用率分別為0.8，0.6，0.75，（1）在采出的冰塊中有放回地抽取三塊，其中由甲工作隊采出的冰塊數(shù)記為，求的分布列及其數(shù)學期望；（2）在采出的冰塊中任取一塊，求它被利用的概率。17.（2010**雙基測試）一個口袋中有2個白球和個紅球（，且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎。（1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率P；（2）若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當為何值時，最大。18.（2010**十一校聯(lián)考）甲乙兩名射手互不影響地進行射擊訓練，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們設(shè)計成績的分布列如下：射手甲射手乙環(huán)數(shù)8910環(huán)數(shù)8910概率概率（Ⅰ）若甲乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中10環(huán)的概率；（Ⅱ）若兩個射手各射擊1次，記所得的環(huán)數(shù)之和為，求的分布列和期望．19.（2010高.考.資.源.網(wǎng)模擬）為了迎接2009年10月1日建國60周年，*城市為舉辦的大型慶典活動準備了四種保證安全的方案，列表如下：方案ABCD經(jīng)費300萬元400萬元500萬元600萬元安全系數(shù)0.60.70.80.9其中安全系數(shù)表示實施此方案能保證安全的系數(shù)，每種方案相互獨立，每種方案既可獨立用，又可以與其它方案合用，合用時，至少有一種方案就能保證整個活動的安全。（I）若總經(jīng)費在1200萬元內(nèi)（含1200萬元），如何組合實施方案可以使安全系數(shù)最高？（II）要保證安全系數(shù)不小于0.99，至少需要多少經(jīng)費？20.（2009**二模）*校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出80名學生，其數(shù)學成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．（I）估計這次測試數(shù)學成績的平均分；（II）假設(shè)在[90，100]段的學生的數(shù)學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數(shù)學成績的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第五部分：隨機變量及其分布、數(shù)學期望、方差、概率詳解答案1.解：（I），…………（2分）…………（3分）…………（4分）（或）24P0.550.45…………（6分）（II）設(shè)該同學參加2、4次考試被錄取的概率分別是、，則…………（8分）………（10分）該同學被該校錄取的概率0.723…………（12分）2.解：（I）三個區(qū)選擇疫苗的批號的種數(shù)是，…………（2分）恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同種數(shù)是，…………（3分）三個區(qū)中恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同的概率是；…………（6分）（II）選擇疫苗批號相同的區(qū)的個數(shù)可能的取值為0，2，3，…………（8分），，，…………（10分）（或者，，）分布列是023．…………（12分）3.解：(Ⅰ)記"理科組恰好記4分”的事件為A，則A為"在理科組選出2名男生、1名女生或選出2名女生”……2分共有種選法，基本事件數(shù)為……2分所以……2分(Ⅱ)由題意得，所以，，，，……2分于是的分布列為0123……2分（直接寫出正確分布列的給4分）的數(shù)學期望為……2分4.解：記"小球落入袋中”為事件，"小球落入袋中”為事件，則小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故，…2分(I)獲得兩次一等獎的概率為.…4分（II）*可以取2,3,4P(*=2)=P(*=3)=P(*=4)=…8分分布列為：234所以E=2×+3×+4×=2.5.…10分(Ⅲ)參加搖獎,可節(jié)省2.5元，打折優(yōu)惠,可節(jié)省2.4元,當然參加搖獎.……12分5.（Ⅰ）每次從個球中任取兩個，有種方法．它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，一次取球中獎的概率為．……4分（Ⅱ）設(shè)每次取球中獎的概率為，三次取球中恰有一次中獎的概率是：（）．對的導數(shù)．……6分因而在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴當，即，時，．………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：紅球共20個，則記上號的有個紅球，從中任取一球，有種取法，它們是等可能的．故*的分布列是：*………10分．……12分6.【解析】記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種。（2分）（1）（6分）（2）（9分）（3），故的分布列所以（12分）7.解：（1）由圖得，成績在的人數(shù)為4人，所以在的人為16人，所以在的頻率為，在的頻率為．………2分 補全的頻率分布直方圖如圖所示．………4分（2）由題得：成績在的有8人， 在的為16人． 所以的概率為．………6分（3）的分布列為:01234……………9分 隨機變量服從的是M=50,N=20,n=4的超幾何分布，所以期望．…………12分8.解：（1）最好的結(jié)果是：搖動游戲轉(zhuǎn)盤，指針指有12的區(qū)域，概率為（2分）（2）可能的取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12， 且取其中每個值的概率為的分布列為123456789101112P （5分）（3）設(shè)指針所指數(shù)字為，得到優(yōu)惠的錢數(shù)為Y元。購買8*代金券， 即 （9分） （12分）9.解：（Ⅰ）眾數(shù)：4.6和4.7；中位數(shù)：4.75…………2分（Ⅱ）設(shè)表示所取3人中有個人是"好視力”，至多有1人是"好視力”記為事件，則……………6分（Ⅲ）的可能取值為0、1、2、3…7分分布列為………10分.……12分10.（1）P=，P=1分2分3分畫出列聯(lián)表的等高條形圖4分由列聯(lián)表的等高條形圖可以初步判斷藥物有效5分（2）取值為0，1，2高.考.資/源/網(wǎng)P==，P==，P==，0127分P==P==P==0129分說明藥物有效10分（3）11分由參考數(shù)據(jù)知不能夠以97.5%的把握認為藥物有效。12分11.解：（I）記"甲回答對這道題”、"乙回答對這道題”、"丙回答對這道題”分別為事件A、B、C， 則，且有 即（Ⅱ）由（I）"甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題”記為事件：，其中概率為P12.(1)因為①號面不需要更換的概率為：所以①號面需要更換的概率為：P=1-=(2)根據(jù)獨立重復試驗，6個面中恰好有2個面需要更換的概率為：P6(2)=(3)因為，又P6(0)=，P6(1)=，P6(2)=，P6(3)=，P6(4)=，P6(5)=，P6(6)=的分布列為：0123456P=100，E=100E=30013.解：（Ⅰ）；25% （2分）（Ⅱ）解：設(shè)取到醉酒駕車的人數(shù)為隨機變量，則可能取到的值有0，1，2，，.012P則分布列如下，實際意義：在抽取的兩人中平均含有0.5個醉酒駕車人員. （8分）（Ⅲ） （10分）一句話倡議：答案開放，教師酌情給分 （12分）14.解：（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為因為只投擲一次不可能返回到A點；若投擲兩次點P就恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，3）．（3，1）．（2，2）三種結(jié)果，其概率為若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1）其概率為所以，點P恰好返回到A點的概率為┅┅┅┅┅┅7分（Ⅱ）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果共有以上問題中的7種，因為，，，所以，┅┅┅┅┅┅┅┅12分15.解：（1）設(shè)"甲運動員擊中10環(huán)”為事件,甲運動員擊中10環(huán)的概率為0.35.………（2）設(shè)甲運動員擊中9環(huán)為事件，擊中10環(huán)為事件則甲運動員在一次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率…………甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率答：甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率為0.992.……（3）的可能取值是0，1，2，3所以的分布列是01230.010.110.40.48………….…………16.解：(1)任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為依題意，且………1分的分布列為0123………5分………6分（2）用表示事件"冰塊是由甲工作隊采出的”；表示事件"冰塊是由乙工作隊采出的”；表示事件"冰塊是由丙工作隊采出的”，用表示事件"采出的冰塊能被利用”，………8分則，，,,,………10分答：采出的冰塊能被利用的概率是.………12分17.解：（1）一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，其中兩球顏色相同有種選法；一次摸球中獎的概率4分（2）若，則一次摸球中獎的概率是，三次摸球是獨立重復實驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是8分（3）設(shè)一次摸球中獎的概率是，則三次摸球中恰有一次中獎的概率是，，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，當時，取最大值 10分，，故時，三次摸球中恰有一次中獎的概率最大。12分18.解（Ⅰ）記事件甲命中1次10環(huán)，乙命中兩次10環(huán)，事件；甲