人教B版（2022）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.5.2　橢圓的幾何性質(zhì)word含答案

橢圓的幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.過(guò)橢圓x24+y23=,6 ,3 ,3 ,23解析由題意知a=2,b=3,c=1,最長(zhǎng)弦過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn),長(zhǎng)為2a=4,最短弦垂直于x軸,長(zhǎng)度為當(dāng)x=c=1時(shí),縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的2倍為3.答案B2.(多選)已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225+y216=1有相同的長(zhǎng)軸,=25,b2=16=9,b2=25=25,b2=9或a2=9,b2=25=25,b2=9解析橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,橢圓y221+x29=1的短軸長(zhǎng)為6,由題意可知橢圓x答案ABC3.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則m的值為()A.12 B.14解析橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,半短軸長(zhǎng)為1,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,故1m=2,解得m=1答案B4.(多選)如圖,橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心.設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為a1和a2,半焦距分別為c1和c2,離心率分別為e1,e2,則下列結(jié)論正確的是()+c1>2(a2+c2) =a2-c2>a2c1 =e解析由題圖知,a1=2a2,c1>2c2,∴a1+c1>2(a2+c2),2a1c2<2a2c1,即a1c2<a2c1,故A正確,C不正確;∵橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心,∴a1-c1=a2-c2,故B正確;由圖知,c1=a2+c2,∴e1=c1a1=a答案ABD5.已知長(zhǎng)方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點(diǎn),且過(guò)C,D的橢圓的離心率為.

解析如圖,|AB|=2c=4,∵點(diǎn)C在橢圓上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c答案16.若橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=1解析(1)若焦點(diǎn)在x軸上,即k+8>9時(shí),a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a(2)若焦點(diǎn)在y軸上,即0<k+8<9時(shí),a2=9,b2=k+8,e2=c2a2=a綜上所述,k=4或k=-54答案4或-57.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)與半短軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在y軸上,且橢圓C的離心率為45,面積為20π,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析設(shè)橢圓C的方程為y2a2+橢圓C的面積為S=πab=20π,又e=1-b2a2=45,解得a所以橢圓C的方程為y21003答案y21008.已知橢圓C:4x2+9y2=36.求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.解橢圓C:4x2+9y2=36的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29所以a=3,b=2,c=a2所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6,焦點(diǎn)坐標(biāo)(-5,0),(5,0),離心率e=ca9.(1)求與橢圓x29+y24=1(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8,兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-6,0),(6,0),求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)∵c=9-∴所求橢圓的焦點(diǎn)為(-5,0),(5,0).設(shè)所求橢圓的方程為x2a2+y∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2∴所求橢圓的方程為x225+(2)∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴橢圓的方程為x236+能力提升練1.已知橢圓x24+y2=1,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則1|PA.[1,2] B.[2,C.[2,4] D.[1,4]解析根據(jù)橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=4,設(shè)m=|PF1|,n=|PF2|,則m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-3,2+3],則1|PF答案D2.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于A.0,32C.32,1解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0,連接F0A,F0B,則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.設(shè)M(0,b),則4b5≥45,∴1≤b<2.離心率e=答案A3.(多選)我們通常稱離心率為5-12的橢圓為“黃金橢圓”.如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2為頂點(diǎn),F1,F2為焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)A.|A1F1|,|F1F2|,|F2A2|為等比數(shù)列B.∠F1B1A2=90°⊥x軸,且PO∥A2B1D.四邊形A1B2A2B1的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F1,F2解析A中若成等比數(shù)列,則(2c)2=(a-c)(a-c),即2c=a-c或2c=c-a(舍),解得ca=13≠B項(xiàng),若∠F1B1A2=90°,則由射影定理可得|OB1|2=|F1O|·|OA2|,即b2=ca,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,e∈(0,1),解得e=5-所以B正確;C項(xiàng),若PF1⊥x軸,所以P-c,b2a,又PO∥A2B1,則斜率相等,所以b2a-c=b-D項(xiàng),因?yàn)樗倪呅螢榱庑?則其內(nèi)切圓的圓心為原點(diǎn),由圓的對(duì)稱性可知,圓心到直線A2B2的距離等于c,因?yàn)橹本€A2B2的方程為xa-yb=1,即bx-ay-ab=0,由題意知aba2+b2=c,又b2整理得a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),e4-3e2+1=0,e2∈(0,1),解得e2=3-所以e=3-52=5答案BD4.若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段F1F2被點(diǎn)b2,A.1617 B.C.45 D.解析依題意得c+b2c-b∵a2-b2=c2,∴a=b2+∴e=ca答案D5.已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),P是C上的任意一點(diǎn),則|FP|稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A,B,若存在以A為圓心,|FP|為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)解析如圖,|AB|=a2+b2,a-c≤由題意可得,a-c≤a2+b不等式左邊恒成立,則a2+b兩邊平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或∴橢圓C的離心率的最小值為3-答案36.(1)計(jì)算:①若A1,A2是橢圓x29+y24=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P(0,2),②若A1,A2是橢圓x29+y24=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P-5③若A1,A2是橢圓x29+y24=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P1,-(2)觀察①②③,由此可得到:若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P解(1)①由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1②由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5∴kPA1③由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-∴kPA1(2)若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),證明如下:設(shè)P(x0,y0).由題意kP則kP又P為橢圓上任意一點(diǎn),滿足x02a2+y02代入可得kPA1·k7.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若橢圓的焦距為2,且AF2=2F2解(1)由∠F1AB=90°及橢圓的對(duì)稱性知b=c,則e=ca(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),設(shè)B(x,y),則AF2=(1,-b),F2B=(由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(解得x=32,y=-b2,則9得a2=3,因此b2=2,橢圓的方程為x23+8.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),∠F1PF2=60°.(1)求橢圓的離心率的取值范圍;(2)求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).(1)解不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+由余弦定理得cos60°=|P(|P所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=4b又因?yàn)閨PF1|·|PF2|≤|PF1所以3a2≥4(a2-c2),所以ca≥12,所以又因?yàn)闄E圓中0<e<1,所以所求橢圓的離心率的取值范圍是12(2)證明由(1)可知|PF1|·|PF2|=43b2S△F1PF2=12=12×43=33b2所以△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).素養(yǎng)培優(yōu)練1.(多選)某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦為的橢圓,如圖所示,已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米,并且F,A,B三點(diǎn)在同一直線上,地球半徑約為R千米,設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2b,2c,則()=m+R +c=n+R=m+n =(解析橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a,半短軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,則由題意可知a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正確;a+c=R+n,所以B正確;可得a=m+n2+R,c=n-m2,所以C不正確;b2=a2-c2=m+n2+R2-n答案ABD2.已知橢圓x2a2+y2b2=1的坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O,有長(zhǎng)軸上一端點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),離心率e=32(1)求橢圓的方程;(2)求三角形OAB的面積.解(1)由題意可知焦點(diǎn)在x