人教B版（2022）高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步訓(xùn)練6.2.1　向量基本定理word版含答案

向量基本定理必備知識基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層知識點(diǎn)一共線向量基本定理及應(yīng)用1.已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使a，b共線的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b.A．①②B．①③C．②D．③④2．O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈(0，＋∞)，則P點(diǎn)的軌跡所在直線一定通過△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心3．已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2與b＝2e1＋3e2是兩個(gè)平行的向量，則k＝________.知識點(diǎn)二基底的理解與應(yīng)用4.若{e1，e2}是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．{e1－e2，e2－e1}\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2e1＋e2，e1＋\f(1,2)e2))C．{2e2－3e1,6e1－4e2}D．{e1＋e2，e1－e2}5．如圖，在△ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→)).(1)用基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}表示eq\o(AP,\s\up6(→))＝________；(2)用基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}表示eq\o(AP,\s\up6(→))＝________.6．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，則eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.(以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2為基底)知識點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用7.已知O，A，M，B為平面上四點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)·eq\o(OA,\s\up6(→))，實(shí)數(shù)λ∈(1,2)，則()A．點(diǎn)M在線段AB上B．點(diǎn)B在線段AM上C．點(diǎn)A在線段BM上D．O，A，M，B四點(diǎn)一定共線8．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.9．已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上，則實(shí)數(shù)t＝________.關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層一、選擇題1．設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2}B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1}D．{e2，e1＋e2}2．設(shè){e1，e2}為基底向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是()A．2B．－3C．－2D．33．若M是△ABC的重心，則下列各向量中與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的是()\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))D．3eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))4．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在()A．△ABC內(nèi)部B．AC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上D．BC邊所在的直線上5．若點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，則3e2－2e1＝()A.eq\o(AO,\s\up6(→))B.eq\o(CO,\s\up6(→))C.eq\o(BO,\s\up6(→))\o(DO,\s\up6(→))6．(探究題)在△ABC中，設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)D．1二、填空題7．?ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MB,\s\up6(→))，則eq\o(MB,\s\up6(→))＝________.8．設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)的一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可表示為另一組向量a，b的線性組合，則e1＋e2＝________a＋________b.9．(探究題)在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為________．三、解答題10．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．學(xué)科素養(yǎng)升級練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選題)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，λ，μ是實(shí)數(shù)，那么下列說法中不正確的是()A．λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＝μe2，則λ＝μ＝02．如圖，過△ABC的重心G作一直線分別交AB，AC于D，E，連接AG并延長交BC于點(diǎn)F，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A．4B．3C．2D．13．(學(xué)科素養(yǎng)—運(yùn)算能力)如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．6．向量基本定理必備知識基礎(chǔ)練1．解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，有xa＋yb＝0，但b與a不一定共線，故③不可以；梯形ABCD中，沒有說明哪組對邊平行，故④不可以．答案：A2．解析：設(shè)BC中點(diǎn)為點(diǎn)M，則eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))，所以P點(diǎn)的軌跡所在直線一定通過△ABC的重心．答案：C3．解析：∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)m，使得a＝mb，∴k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)k))e2＝m(2e1＋3e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝2m，,1－\f(5,2)k＝3m，))即3k2＋5k－2＝0，∴k＝eq\f(1,3)或－2.答案：eq\f(1,3)或－24．解析：對于選項(xiàng)A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項(xiàng)B,2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，所以(2e1＋e2)∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項(xiàng)C,2e2－3e1＝－eq\f(1,2)(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故該組向量不能作為該平面的基底；對于選項(xiàng)D，顯然e1＋e2與e1－e2不共線，故該組向量能作為該平面的基底．答案：D5．解析：(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→)).答案：(1)eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→))6．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝e1－e2，因?yàn)镈，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(e1－e2)，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq\f(3,4)(e1－e2)＝eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e2.答案：eq\f(3,4)e1＋eq\f(1,4)e27．解析：由題意得eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).又λ∈(1,2)，所以點(diǎn)B在線段AM上．故選B.答案：B8．解析：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b,eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq\f(2,3).∴λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)9．解析：如圖，∵a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上，∴存在實(shí)數(shù)λ使t(a＋b)－eq\f(1,2)b＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))，即(t－λ)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)λ－t))b.又∵a，b不共線，∴t－λ＝0且eq\f(1,2)－eq\f(1,2)λ－t＝0，解得t＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)關(guān)鍵能力綜合練1．解析：因?yàn)锽中3e1－2e2和4e2－6e1為平行向量，所以不能作為一組基底．故選B.答案：B2．解析：根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－k＝－2λ，))∴k＝2.答案：A3．解析：設(shè)D，E，F(xiàn)分別為BC，AC，AB的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)M是△ABC的重心，eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＝0，而零向量與任何向量共線，所以與eq\o(AB,\s\up6(→))共線．答案：C4．解析：∵eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).∴點(diǎn)P，A，C共線．∴點(diǎn)P一定在AC邊所在的直線上．答案：B5．解析：3e2－2e1＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).答案：C6．解析：解法一：設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，故λ＋μ＝eq\f(1,2).解法二：(特殖值法)設(shè)M為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝μ＝eq\f(1,4)，故λ＋μ＝eq\f(1,2).答案：A7．解析：eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.答案：eq\f(1,2)a－b8．解析：設(shè)e1＋e2＝λa＋μb，則e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，又e1與e2不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,2λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)9．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)10．解析：(1)證明：設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：由平面向量基本定理可知，AD正確．對于B，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的，故B不正確．對于C，當(dāng)兩向量均為零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，λ有無窮多個(gè)，故C不正確．故選BC.答案：B