高考數(shù)學(xué)（理）一輪精選教師用書人教通用第12章3第3講合情推理與演繹推理

第3講合情推理與演繹推理1．推理(1)定義：根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程．(2)分類：推理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(合情推理,演繹推理))2．合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理．(3)模式：三段論eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①大前提：已知的一般原理；,②小前提：所研究的特殊情況；,③結(jié)論：根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.))判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1解析：選C.由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，則a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16，所以an＝n2.(2017·高考全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績解析：選D.依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還是不知道自己的成績，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績后，必然知道自己的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績，因此選擇D.推理“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提，②是小前提，③是結(jié)論．答案：②在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶8歸納推理(高頻考點(diǎn))歸納推理是每年高考的?？純?nèi)容，題型多為選擇題或填空題，難度稍大，屬中高檔題．高考對歸納推理的考查常有以下三個命題角度：(1)與數(shù)字(數(shù)列)有關(guān)的等式的推理；(2)與不等式(式子)有關(guān)的推理；(3)與圖形變化有關(guān)的推理．[典例引領(lǐng)]角度一與數(shù)字(數(shù)列)有關(guān)的等式的推理有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：………………1927…………29……………則第30行從左到右第3個數(shù)是________．【解析】觀察每一行的第一個數(shù)，由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝eq\f(30×（2＋60）,2)n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n，第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n＋2，所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60，第3個數(shù)比第2個數(shù)大62，故第30行從左到右第3個數(shù)是929＋60＋62＝1051.【答案】1051角度二與不等式(式子)有關(guān)的推理(2016·高考山東卷)觀察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,7)))eq\s\up12(－2)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(6π,7)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,9)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)))eq\s\up12(－2)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(4,3)×4×5；……照此規(guī)律，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)))eq\s\up12(－2)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))eq\s\up12(－2)＝__________．【解析】每組角的分母恰好等于右邊兩個相鄰正整數(shù)因數(shù)的和．因此答案為eq\f(4,3)n(n＋1)．【答案】eq\f(4,3)n(n＋1)角度三與圖形變化有關(guān)的推理我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖所示中的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(n)的表達(dá)式為()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2nD．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我們考慮f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，結(jié)合圖形不難得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】Deq\a\vs4\al()歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與“數(shù)字”相關(guān)問題：主要是觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律．(2)與不等式有關(guān)的推理：觀察所給幾個不等式兩邊式子的特點(diǎn)，注意縱向看、找出隱含規(guī)律．(3)與圖形有關(guān)推理：合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論．[通關(guān)練習(xí)]1．觀察三角數(shù)陣，記第n行的第m個數(shù)為a(n，m)，則下列關(guān)系正確的是()111121133114641…11045…45101A．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(chǎn)(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：選A.觀察分析得出三角數(shù)陣中的每一個數(shù)等于其“肩上”兩個數(shù)之和．所以a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．2．(2018·青島模擬)某種平面分形圖如圖所示，一級分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長度相等，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長度為原來eq\f(1,3)的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級分形圖．n級分形圖中共有________條線段．解析：分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級分形圖有3＝3×2－3條線段，二級分形圖有9＝3×22－3條線段，三級分形圖中有21＝3×23－3條線段，按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an＝3×2n－3(n∈N*)．答案：3×2n－3(n∈N*)類比推理[典例引領(lǐng)]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．【解】如題圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類似地，在四面體P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相應(yīng)于直角三角形的2條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是，類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)成立．若本例條件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”換成“cos2A＋cos2B＝1”，則在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結(jié)論類比到四面體P-A′B′C′中，我們猜想，四面體P-A′B′C′中，若三個側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.eq\a\vs4\al()[通關(guān)練習(xí)]1．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若z1，z2∈C，則z1－z2＝0?z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若z1，z2∈C，則z1－z2>0?z1>z2”．其中類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.由復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可知①正確；因為a，b，c，d都是有理數(shù)，eq\r(2)是無理數(shù)，所以②正確；因為復(fù)數(shù)不能比較大小，所以③不正確．2．(2018·山東煙臺五校聯(lián)考)已知命題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．△ABC的頂點(diǎn)B在橢圓上，頂點(diǎn)A，C分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為e，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(1,e)，現(xiàn)將該命題類比到雙曲線中，△ABC的頂點(diǎn)B在雙曲線上，頂點(diǎn)A，C分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，雙曲線的離心率為e，則有________________．解析：在雙曲線中，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則|AB|＝2rsinC，|AC|＝2rsinB，|BC|＝2rsinA，則由雙曲線的定義得||BA|－|BC||＝2a，|AC|＝2c，則雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(|AC|,||BA|－|BC||)＝eq\f(sinB,|sinA－sinC|)，即eq\f(|sinA－sinC|,sinB)＝eq\f(1,e).答案：eq\f(|sinA－sinC|,sinB)＝eq\f(1,e)演繹推理[典例引領(lǐng)]數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.【證明】(1)因為an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)， (小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列． (結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，所以Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．又因為a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，所以對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.eq\a\vs4\al()演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略；(2)在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個三段論才能完成．已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．證明：設(shè)x1，x2∈R，取x1<x2，則由題意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因為x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．eq\a\vs4\al()把握合情推理與演繹推理的三個特點(diǎn)(1)合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的．(2)在進(jìn)行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤．(3)應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯誤的．易錯防范(1)演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．(2)合情推理中運(yùn)用猜想時不能憑空想象，要有猜想或拓展的依據(jù)．1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：選C.因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確．2．給出下列三個類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①錯誤．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4)，故②錯誤．由向量的運(yùn)算公式知③正確．3．若等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，公差為eq\f(d,2).類似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項的積為Tn，則等比數(shù)列{eq\r(n,Tn)}的公比為()A.eq\f(q,2) B．q2C.eq\r(q) D.eq\r(n,q)解析：選C.由題意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝beq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝beq\o\al(n,1)qeq\s\up6(\f(（n－1）n,2))，所以eq\r(n,Tn)＝b1qeq\s\up6(\f(n－1,2))，所以等比數(shù)列{eq\r(n,Tn)}的公比為eq\r(q)，故選C.4．(2018·陜西渭南模擬)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，知這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{an}，那么a10的值為()A．45 B．55C．65 D．66解析：選B.第1個圖中，小石子有1個，第2個圖中，小石子有3＝1＋2個，第3個圖中，小石子有6＝1＋2＋3個，第4個圖中，小石子有10＝1＋2＋3＋4個，…故第10個圖中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝eq\f(10×11,2)＝55個，即a10＝55，故選B.5．(2018·安徽江淮十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2) D.eq\f(1－\r(5),2)解析：選＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(5),2)舍))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.6．在平面幾何中：△ABC的∠ACB內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是________．解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)7．(2018·陜西咸陽模擬)觀察下列式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n(n∈N*)個不等式是____________________．解析：根據(jù)所給不等式可得第n個不等式是eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·（n＋1）)<eq\f(（n＋1）2,2).答案：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·（n＋1）)<eq\f(（n＋1）2,2)8．若P0(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________．解析：類比橢圓的切點(diǎn)弦方程可得雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的切點(diǎn)弦方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.答案：eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝19．在銳角三角形ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.證明：因為△ABC為銳角三角形，所以A＋B>eq\f(π,2)，所以A>eq\f(π,2)－B，因為y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，所以sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，所以sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.10．給出下面的數(shù)表序列：表1表2表344812…其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1，3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．解：表4為13574812122032它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列．1．如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D.eq\r(5)＋1解析：選A.設(shè)“黃金雙曲線”的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則B(0，b)，F(xiàn)(－c，0)，A(a，0)．在“黃金雙曲線”中，因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等號兩邊同除以a2，得e2－1＝e，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(1－\r(5),2)舍去)).2．學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”．如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()A．2人 B．3人C．4人 D．5人解析：選B.利用推理以及邏輯知識求解．首先要證，沒有任意兩個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績是相同的．假設(shè)A，B兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績一樣，由題知他們的語文成績不一樣，這樣他們的語文成績總有一個人比另一個人高，相應(yīng)地由題可知，語文成績較高的同學(xué)比另一個同學(xué)“成績好”，與已知條件“他們之中沒有一個比另一個成績好”相矛盾．因此看得出，沒有任意兩個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績是相同的．因為數(shù)學(xué)成績等級只有3種，．易證3名同學(xué)的成績等級分別為(優(yōu)秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，優(yōu)秀)時滿足條件，因此滿足條件的最多人數(shù)是3.3．考察等式：Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n－m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(r－1,n－m)＋…＋Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n－m)＝Ceq\o\al(r,n)，(*)其中n，m，r∈N*，r≤m<n且r≤n－m.某同學(xué)用概率論方法證明等式(*)如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現(xiàn)從中隨機(jī)取出r件產(chǎn)品，記事件Ak＝{取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品}，則P(Ak)＝eq\f(Ceq\o\al(k,m)Ceq\o\al(r－k,n－m),Ceq\o\al(r,n))，k＝0，1，…，r.顯然A0，A1，…，Ar為互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω(必然事件)，因此1＝P(Ω)＝P(A0)＋P(A1)＋…＋P(Ar)＝eq\f(Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n－m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(r－1,n－m)＋…＋Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n－m),Ceq\o\al(r,n))，所以Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n－m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(r－1,n－m)＋…＋Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n－m)＝Ceq\o\al(r,n)，即等式(*)成立．對此，有的同學(xué)認(rèn)為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一．但有的同學(xué)對上述證明方法的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性提出質(zhì)疑．現(xiàn)有以下四個判斷：①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③證明正確；④證明不正確．試寫出所有正確判斷的序號：____________．解析：顯然公式Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n－m)＋Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(r－1,n－m)＋…＋Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n－m)＝Ceq\o\al(r,n)是正確的，該公式的證明過程利用了構(gòu)造概率事件的方法，其列舉了該事件發(fā)生的所有的互斥事件，且其和事件為必然事件，其概率之和為1，故其證明過程是正確的，正確判斷的序號為①③.答案：①③4．(2018·湖北八校聯(lián)考模擬)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．設(shè)由橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖)，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于______________．解析：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V