模糊數(shù)學(xué)課件(清晰易懂)

模糊數(shù)學(xué)課件(清晰易懂)第一頁，共106頁。模糊數(shù)學(xué)緒論2產(chǎn)生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發(fā)表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度（隸屬度）代替屬于或不屬于。如某員工屬于優(yōu)秀的程度為0.6,屬于良好的程度為0.2，屬于一般的程度為0.1，屬于較差的程度為0.1。2第二頁，共106頁。模糊代數(shù)，模糊拓?fù)洌：壿?，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支涉及學(xué)科分類、識別、評判、預(yù)測、控制、排序、選擇；模糊產(chǎn)品洗衣機(jī)、攝象機(jī)、照相機(jī)、電飯鍋、空調(diào)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟(jì)、文學(xué)、音樂模糊數(shù)學(xué)緒論3第三頁，共106頁。

模糊彩色電視機(jī)——可根據(jù)室內(nèi)的光線、距離屏幕的遠(yuǎn)近來自動調(diào)節(jié)屏幕的亮度和音量的大小。模糊空調(diào)器——由于用微機(jī)進(jìn)行模糊控制，到了設(shè)定時刻，空調(diào)器能夠根據(jù)室溫需要，采用經(jīng)濟(jì)的工作狀態(tài)，調(diào)節(jié)合適的房間溫度，既省電又省事。模糊煮飯器——一次最多可煮1.8升米飯，內(nèi)裝鍋體溫度、室溫、蒸氣三種傳感器，用它煮飯時，每分鐘檢測一次加熱狀況，根據(jù)檢測結(jié)果采用模糊理論對火力強(qiáng)弱進(jìn)行微妙控制，使煮出來的米飯松軟可口。4第四頁，共106頁。下面我們正式走進(jìn)

模糊的世界5第五頁，共106頁。一、經(jīng)典集合與模糊集合

模糊集合.uAA.u非此及彼6第六頁，共106頁。亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的內(nèi)部，則用1來記錄，若x位于A的外部，則用0來記錄，若x一部分位于A的內(nèi)部，一部分位于A的外部，則用x位于A內(nèi)部的長度來表示x對于A的隸屬程度。7第七頁，共106頁。定義：設(shè)U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數(shù)，稱為對的隸屬程度，簡稱隸屬度。越接近于0,表示x隸屬于A的程度越??；越接近于1,表示x隸屬于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，過渡點8第八頁，共106頁。模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。9第九頁，共106頁。（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：10第十頁，共106頁。例1.

有100名消費者，對5種商品評價，結(jié)果為：81人認(rèn)為x1質(zhì)量好，53人認(rèn)為x2質(zhì)量好，所有人認(rèn)為x3質(zhì)量好，沒有人認(rèn)為x4質(zhì)量好，24人認(rèn)為x5質(zhì)量好則模糊集A（質(zhì)量好）11第十一頁，共106頁。例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一個年齡集，u=20?A，40呢？…札德給出了“年老”集函數(shù)刻畫:10U5010012第十二頁，共106頁。再如，Y=“年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：

1050U13第十三頁，共106頁。二、模糊集的運算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：補：表示取大；表示取小。模糊集合的運算14第十四頁，共106頁。例3.則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.515第十五頁，共106頁。并交余計算的性質(zhì)1.冪等律2.交換律3.結(jié)合律4.吸收律16第十六頁，共106頁。6.0-1律7.還原律8.對偶律5.分配律17第十七頁，共106頁。三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機(jī)運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對A的隸屬關(guān)系是不確定的。18第十八頁，共106頁。特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機(jī)變動。模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：19第十九頁，共106頁。對129人進(jìn)行調(diào)查,讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28問年齡27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。20第二十頁，共106頁。對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：A(27)=0.78n10203040506070隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數(shù)6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

21第二十一頁，共106頁。2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。

偏小型：適合描述“小”“少”“冷”“淺”“疏”“青年”等

偏大型：適合描述“大”“多”“熱”“深”“密”“老年”等

中間型：適合描述“中”“不太多”“不太深”“不太濃”

“暖和”“中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。22第二十二頁，共106頁。常用的模糊分布23第二十三頁，共106頁。24第二十四頁，共106頁。3、其它方法德爾菲法：專家評分法；

（1）選擇專家；

（2）確定影響債權(quán)價值的因素，設(shè)計價值分析對象征詢意見表；

（3）向?qū)＜姨峁﹤鶛?quán)背景資料，以匿名方式征詢專家意見；

（4）對專家意見進(jìn)行分析匯總，將統(tǒng)計結(jié)果反饋給專家；

（5）專家根據(jù)反饋結(jié)果修正自己的意見；

（6）經(jīng)過多輪匿名征詢和意見反饋，形成最終分析結(jié)論。25第二十五頁，共106頁。四、模糊關(guān)系與模糊矩陣1.模糊關(guān)系的定義所謂A，B兩集合的直積中的一個模糊關(guān)系R，是指以為論域的一個模糊子集，序偶的隸屬度為

一般地，若論域為n個集合的直積，則它所對應(yīng)的是n元模糊關(guān)系R，其隸屬度函數(shù)為n個變量的函數(shù)。顯然當(dāng)隸屬度函數(shù)值只取“0”或“1”時，模糊關(guān)系就退化為普通關(guān)系。26第二十六頁，共106頁。

假設(shè)物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給出一個0~1之間的數(shù)，就可確定出一個U上的模糊關(guān)系R，列表如下R蘋果x1乒乓球x2書x3籃球x4花x5桃x6菱形x7蘋果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50書x3001.00000.1籃球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0

設(shè)有七種物品：蘋果、乒球、書、籃球、花，桃、菱形組成的一個論域U，并設(shè)x1,x2···x7分別為這些物品的代號，則現(xiàn)在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關(guān)系。27第二十七頁，共106頁。四、模糊矩陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊單位矩陣。例如：28第二十八頁，共106頁。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：并：交：余：29第二十九頁，共106頁。例4：30第三十頁，共106頁。（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。即：定義：設(shè)A為階，則模糊方陣的冪定義為31第三十一頁，共106頁。例5：32第三十二頁，共106頁。（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。性質(zhì)：33第三十三頁，共106頁。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。34第三十四頁，共106頁。例6：35第三十五頁，共106頁。截矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.36第三十六頁，共106頁。（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對稱矩陣。例如是模糊對稱矩陣。37第三十七頁，共106頁。定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。38第三十八頁，共106頁。模糊聚類分析一、基本概念及定理39第三十九頁，共106頁。模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩陣是等價的Boole矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關(guān)系，而等價關(guān)系是可以分類的。因此，當(dāng)λ在[0,1]上變動時，由得到不同的分類。40第四十頁，共106頁。模糊聚類分析41第四十一頁，共106頁。例6：設(shè)對于模糊等價矩陣模糊聚類分析42第四十二頁，共106頁。模糊聚類分析畫出動態(tài)聚類圖如下：0.80.60.50.4143第四十三頁，共106頁。模糊聚類分析44第四十四頁，共106頁。例7：設(shè)有模糊相似矩陣模糊聚類分析45第四十五頁，共106頁。（1）Q型聚類：對多種屬性指標(biāo)的不同樣本對象進(jìn)行歸類；（2）R型聚類：對多個樣品對象的不同屬性指標(biāo)進(jìn)行歸類；

R型聚類分析的主要作用是：1、不但可以了解個別變量之間的關(guān)系的親疏程度，而且可以了解各個變量組合之間的親疏程度。Q型聚類分析的優(yōu)點是：1、可以綜合利用多個變量的信息對樣本進(jìn)行分類；2、分類結(jié)果是直觀的，聚類譜系圖非常清楚地表現(xiàn)其數(shù)值分類結(jié)果；3、聚類分析所得到的結(jié)果比傳統(tǒng)分類方法更細(xì)致、全面、合理。模糊聚類分析Q型與R型聚類分析：46第四十六頁，共106頁。二、模糊聚類的一般步驟１、建立數(shù)據(jù)矩陣模糊聚類分析47第四十七頁，共106頁。（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化模糊聚類分析48第四十八頁，共106頁。（2）極差正規(guī)化（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊聚類分析49第四十九頁，共106頁。２、建立模糊相似矩陣（指標(biāo)屬性點間的距離）（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法模糊聚類分析50第五十頁，共106頁。（2）距離法（樣本點間的距離）①絕對值距離②歐氏距離④切比雪夫距離模糊聚類分析③閔可夫斯基距離51第五十一頁，共106頁。（3）貼近度法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類分析52第五十二頁，共106頁。3、聚類并畫出動態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法（將相似矩陣化為等價矩陣）步驟：模糊聚類分析53第五十三頁，共106頁。模糊聚類分析54第五十四頁，共106頁。解：由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類分析55第五十五頁，共106頁。用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析56第五十六頁，共106頁。用平方法合成傳遞閉包57第五十七頁，共106頁。取，得模糊聚類分析58第五十八頁，共106頁。取，得取，得模糊聚類分析59第五十九頁，共106頁。取，得取，得模糊聚類分析60第六十頁，共106頁。畫出動態(tài)聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析61第六十一頁，共106頁。><(2)最大樹法由我國吳望名教授提出,設(shè)R是有限論域X上的模糊關(guān)系,稱二元有序組G=(X,R)為模糊關(guān)系圖.給定X上的模糊關(guān)系R后,可根據(jù)Kruskal法得到圖G=(X,R)的一棵最大樹,具體做法如下:62第六十二頁，共106頁。><先畫出被分類的元素集.從R中按rij從大到小的順序依次連枝,標(biāo)上權(quán)重.若在某一步會出現(xiàn)回路,便不畫那一步.直到所有元素連通為止,這樣便得到一棵最大樹.取定[0,1]，砍斷權(quán)重低于的枝,就可得到一個不連通的圖,各連通分支就構(gòu)成了在水平上的分類.這種模糊聚類方法叫做最大樹法.63第六十三頁，共106頁。><64第六十四頁，共106頁。><(3)編網(wǎng)法由我國趙汝懷教授提出,它是直接由模糊相似矩陣R出發(fā)，經(jīng)過“編網(wǎng)”直接完成聚類的。具體做法是：取定水平[0，1]，求得截矩陣R，并將R的主對角線上填入元素，在主對角線的下三角部分，以“*”號代替R中的“1”，而“0”則略去。由“*”號向主對角線上引經(jīng)線（豎線）和緯線（橫線），即稱之為“編網(wǎng)”，凡能由經(jīng)線和緯線互相連結(jié)的元素則屬于同類。(上例)65第六十五頁，共106頁。4、最佳閾值的確定（確定多少類才合適）模糊聚類分析（1）按實際需要，調(diào)整λ

的值，或者是專家給值。（2）用F

-統(tǒng)計量確定最佳λ值。66第六十六頁，共106頁。模糊聚類分析第j類中第k個變量的平均值:

設(shè)對應(yīng)于λ的分類數(shù)為r，第j類的樣品數(shù)為nj,j類的樣本記為:67第六十七頁，共106頁。模糊聚類分析定義F-統(tǒng)計量為:表征了類與類之間的距離表征類內(nèi)樣品間的距離F越大,表明類間的差異越大,分類效果就越好。為:與的距離。為第j類中樣品與的距離。68第六十八頁，共106頁。假設(shè)各類差異不明顯，對于給定的檢驗水平α，查Fα(r-1,n-r)分布表，得臨界值Fα，若F>Fα,則認(rèn)為各類之間有明顯的差異。F服從自由度為r-1，n-r的F分布。69第六十九頁，共106頁。模糊聚類分析的簡要流程:YN70第七十頁，共106頁。模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模式，稱為標(biāo)準(zhǔn)模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標(biāo)準(zhǔn)模式庫中提供的模式是模糊的。模糊模式識別71第七十一頁，共106頁。模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標(biāo)準(zhǔn)類型(數(shù)學(xué)形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方法。模糊模式識別72第七十二頁，共106頁。在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當(dāng)我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟(jì)分析，預(yù)測與決策中，在知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題——點對集；另一類是模糊集對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題——集對集。模糊模式識別73第七十三頁，共106頁。點對集——1.問題的數(shù)學(xué)模型

(1)第一類模型：設(shè)在論域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，將這些模糊集視為n個標(biāo)準(zhǔn)模式，x0X是待識別的對象，問x0應(yīng)屬于哪個標(biāo)準(zhǔn)模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二類模型：設(shè)AF(X)為標(biāo)準(zhǔn)模式，x1,x2,…,xnX為n個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式識別74第七十四頁，共106頁。一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識別75第七十五頁，共106頁。

原則Ⅰ的例子在論域U=[0,100](分?jǐn)?shù))上確定三個代表學(xué)習(xí)成績的模集糊=“優(yōu)”，=“良”，=“差”。當(dāng)某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?8分時，該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績該評為優(yōu)、良、還是差？為此，要先建立模糊集隸屬函數(shù)。有人用指派法建立了論域U上模糊集的隸屬函數(shù)為:76第七十六頁，共106頁。77第七十七頁，共106頁。

把x=88分別代入上述三個隸屬函數(shù)，得:

據(jù)原則Ⅰ，88分相對三個模型應(yīng)隸屬于，即可評為優(yōu)。78第七十八頁，共106頁。原則Ⅱ的例子設(shè)論域U=｛x1,x2,x3｝(三名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績),在U上確定以一個模糊集=“優(yōu)”，若三個學(xué)生的英語成績分別為x1=70,x2=80,x3=90現(xiàn)據(jù)英語成績從三名學(xué)生中招聘一人做翻譯，應(yīng)優(yōu)先招聘誰？由計算結(jié)果可知，第三位同學(xué)的成績最靠近優(yōu)。據(jù)原則Ⅱ應(yīng)首先聘任第三位同學(xué)。把三個同學(xué)的英語成績分別代入隸屬函數(shù):得:79第七十九頁，共106頁。

(2)擇近原則設(shè)論域U上有m個模糊子集構(gòu)成一個標(biāo)準(zhǔn)模型庫為待識別的對象。若存在i0∈｛1,2,…,m｝使得:

2.貼近度及其擇近原則

(1)貼近度貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標(biāo),是我國學(xué)者汪培莊教授提出的,由于研究的問題不同,貼近度也有不同的定義形式,它的一般定義為:設(shè)A，B是論域U上的兩個模糊子集，則稱為A與B的貼近度。待識別對象歸入Ai0類。80第八十頁，共106頁。

(3)實用貼近度實際工作中實用的幾個貼近度計算公式：81第八十一頁，共106頁。82第八十二頁，共106頁。例：茶葉的模型識別論域U={茶葉},其等級標(biāo)準(zhǔn)模型庫質(zhì)量指標(biāo)模型樣品條索0.50.30.20.00.00.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.6待識別的茶葉樣品為B,衡量茶葉質(zhì)量指標(biāo)為:條索,色澤,凈度,湯色,香氣和滋味。模型庫與樣品的有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。貼近度計算公式:83第八十三頁，共106頁。按擇近原則:84第八十四頁，共106頁。貼近度計算改用：上述兩種計算貼近度公式，計算數(shù)值不同，但歸類果一樣，那一種更好？茶葉樣品85第八十五頁，共106頁。閾值原則：有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下：86第八十六頁，共106頁。87第八十七頁，共106頁。例如

已知“青年人”模糊集Y，其隸屬度規(guī)定為對于x1=27歲及x2=30歲的人來說，若取閾值88第八十八頁，共106頁。1=0.7，故認(rèn)為27歲和30歲的人都屬于“青年人”范疇。則因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故認(rèn)為27歲的人尚屬于“青年人”，而30歲人的則不屬于“青年人”。若取閾值2=0.5，則因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，89第八十九頁，共106頁。模糊綜合評判一級模糊綜合評判90第九十頁，共106頁。模糊綜合評判91第九十一頁，共106頁。模糊綜合評判92第九十二頁，共106頁。模糊綜合評判93第九十三頁，共106頁。模糊綜合