隱函數(shù)存在定理課件

隱函數(shù)的概念顯函數(shù):因變量可由自變量的某一表達(dá)式來表示的函數(shù).例如,隱函數(shù):自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由某一個(gè)方程式所確定的函數(shù).例如,

隱函數(shù)的一般定義:設(shè)有一方程其中若存在對(duì)任一有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),使得滿足上述方程,則稱由上述方程確定了一個(gè)定義在值域含于的隱函數(shù).如果把此隱函數(shù)記為則成立恒等式注1.隱函數(shù)不一定能化為顯函數(shù),也不一定需要化為顯函數(shù).上面把隱函數(shù)仍記為這與它能否用顯函數(shù)表示無關(guān).注2.不是任一方程都能確定隱函數(shù).例如,隱函數(shù)存在性條件分析當(dāng)函數(shù)滿足怎樣一些條件時(shí),由方程能確定一個(gè)隱函數(shù)并使該隱函數(shù)具有連續(xù)、可微等良好性質(zhì)?(a)把上述隱函數(shù)看作曲面與坐標(biāo)平面的交線,故至少要求該交集非空,即存在滿足(b)為使在連續(xù),應(yīng)要求在點(diǎn)連續(xù).(c)為使在可導(dǎo),即曲線在點(diǎn)存在切線,而此切線是曲面在點(diǎn)的切平面與的交線,故應(yīng)要求在點(diǎn)可微,且隱函數(shù)存在定理(單個(gè)方程情形)

定理1設(shè)滿足下列條件:(i)在上連續(xù);(ii)(iii)則(1)在的某鄰域內(nèi),由方程唯一地確定了一個(gè)定義在上的隱函數(shù)滿足注1.一方面,定理1中的條件僅是存在隱函數(shù)的充分條件,而非必要條件.例如,方程顯然但仍能確定唯一隱函數(shù)另一方面,定理1中的條件又是非常重要的.例如,(雙紐線),在同樣不滿足條件(iii),而在該點(diǎn)無論多小的鄰域內(nèi)都不存在唯一的隱函數(shù)(見圖).注2.必須注意,定理1是一個(gè)局部性的隱函數(shù)存在定理.例如,從雙紐線圖形可以看出,除了三點(diǎn)以外,曲線上其余各點(diǎn)處都存在局部隱函數(shù)(這不難用定理1加以檢驗(yàn)).注3.在方程中,與的地位是平等的.當(dāng)條件(iii)改為時(shí),將在點(diǎn)的局部由方程確定唯一的隱函數(shù)定理1相應(yīng)的全部結(jié)論均成立.例1方程能否在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)或(1)存在的一個(gè)鄰域使得在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),方程唯一地確定一個(gè)定義在的元隱函數(shù)滿足換句話說,存在函數(shù)使得當(dāng)時(shí),有且(2)在內(nèi)連續(xù);(3)在內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且例3設(shè)問方程是否能在原點(diǎn)的某鄰域唯一地確定一個(gè)定義在的某鄰域的可微函數(shù)使得若能,求定理3設(shè)函數(shù)和滿足:(i)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),和對(duì)各變?cè)羞B續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(ii)

(iii)則(1)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),方程組唯一地確定一組函數(shù)它們定義在的某鄰域內(nèi),當(dāng)時(shí),有且滿足和(2)和在內(nèi)連續(xù);(3)和在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

解:設(shè)則和在點(diǎn)的附近存在對(duì)各變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且方程組情形的更一般情形定理4課本237頁(yè)定理17.5定理5設(shè)和滿足:(i)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),對(duì)各變?cè)羞B續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(ii)(iii)則在的某鄰域內(nèi),方程組唯一地確定一組函數(shù)它們定義在的某鄰域內(nèi)且在內(nèi)可微,還滿足當(dāng)時(shí),有的任何鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且由隱函數(shù)組存在定理知,在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定隱函數(shù)組它們定義在的某鄰域內(nèi),滿足和這表明兩曲面的交線在點(diǎn)附近能用形如的一對(duì)方程表示.方程組兩邊對(duì)求導(dǎo)得解這個(gè)關(guān)于和的線性方程組得(iii)則在的某鄰域內(nèi)存在唯一的一組反函數(shù)滿足當(dāng)