電路基礎(chǔ)第7章new

第7章非正弦周期電流電路7.1非正弦周期電流7.2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)7.3非正弦周期電流電路的分析7.4非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率7.1非正弦周期電流

前面研究了正弦交流信號(hào)作用于線性電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析計(jì)算方法，從中得出，在一個(gè)線性電路中有一個(gè)或多個(gè)同頻率的正弦信號(hào)同時(shí)作用時(shí)，電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的正弦量。

但是，在電子技術(shù)中，除了正弦激勵(lì)和響應(yīng)外，還會(huì)經(jīng)常遇到非正弦激勵(lì)和響應(yīng)。電路中有幾個(gè)不同頻率的正弦激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)一般是非正弦的。在電力工程中，交流發(fā)電機(jī)由于制造等方面的原因，其發(fā)出的電壓波形實(shí)際上是一種近似的正弦波。晶體管交流放大器中的電壓、電流是直流分量和交流分量的疊加。圖7.1

示晶體管交流放大器中的電流波形。圖7.1晶體管交流放大器中的電流

在計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制等技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)大量應(yīng)用的脈沖電路中，電壓和電流的波形也都是非正弦的。圖7.2(a)、(b)就是周期脈沖電流和方波電壓的波形圖；圖7.2(c)所示為實(shí)驗(yàn)室常用的電子示波器掃描電壓的鋸齒波。另外，如電路中含有非線性元件，即使在正弦電壓作用下，電路中也會(huì)出現(xiàn)非正弦電流，如圖7.2(d)所示為通過半波整流器得出的電流波形。圖7.2非正弦周期量示例

（a）（b）（c）（d）

上述激勵(lì)和響應(yīng)的波形雖然各不相同，但如果它們能按一定規(guī)律周而復(fù)始地變化，則稱為非正弦周期電壓或電流。本章僅討論在非正弦周期電壓、電流激勵(lì)下線性電路穩(wěn)態(tài)的分析和計(jì)算方法。7.2周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)7.2.1周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在研究討論非正弦周期電流電路時(shí)，為了便于利用前面直流電路和正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法去分析非正弦周期電流電路，很有必要對(duì)非正弦周期信號(hào)進(jìn)行分解，即周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

對(duì)于給定的周期函數(shù)f(t)，當(dāng)其滿足狄里赫利條件時(shí)，都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。電工中遇到的周期函數(shù)通常都滿足狄里赫利條件。周期為T的時(shí)間函數(shù)f(t)可展開成

若把上式中同頻率的正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)合并，可得到另一種展開式式中，為的周期；、、為傅立葉系數(shù)，可按如下公式計(jì)算兩式的系數(shù)有如下關(guān)系

以上兩式的無窮三角級(jí)數(shù)稱為周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，后一式中A0稱為的直流分量，它是非正弦周期函數(shù)一周期內(nèi)的平均值。稱為f(t)的k次諧波分量。

稱為次諧波分量的振幅，稱為k次諧波分量的初相角。

特別地，當(dāng)k=1時(shí)，稱為f(t)的基波分量，其周期或頻率與f(t)相同。的各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波。高次諧波的頻率是基波的整數(shù)倍。

將周期函數(shù)f(t)分解為直流分量、基波分量和一系列不同頻率的各次諧波分量之和，稱為諧波分析。

為了直觀地表示一個(gè)周期函數(shù)分解為各次諧波后，其中包含哪些頻率分量及各分量占有多大比重，可畫出頻譜圖。圖7.3鋸齒波電壓的振幅頻譜圖

1.周期函數(shù)的波形在橫軸上、下部分包圍的面積相等

此時(shí)，函數(shù)的平均值等于零，傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，a0=0，即無直流分量。7.2.2波形對(duì)稱性與傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系

2.周期函數(shù)為奇函數(shù)

圖7.4所示的函數(shù)波形對(duì)稱于原點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上稱為奇函數(shù)。其滿足

f(-t)=-f(t)奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含直流分量和余弦諧波分量圖7.4奇函數(shù)波形3.周期函數(shù)為偶函數(shù)

圖7.5所示的函數(shù)波形對(duì)稱于縱軸，在數(shù)學(xué)上稱為偶函數(shù)。其滿足

f(-t)=f(t)偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含直流分量和各正弦諧波分量，故稱偶諧波函數(shù)。圖7.5偶函數(shù)波形4.周期函數(shù)為奇諧波函數(shù)

圖7.6所示的函數(shù)波形，兩個(gè)相差半個(gè)周期的函數(shù)值大小相等，符號(hào)相反，在數(shù)學(xué)上稱為奇諧波函數(shù)。其滿足這種函數(shù)前半周的波形后移半個(gè)周期，與后半周的波形互為鏡像，即對(duì)稱于橫軸，所以也稱鏡像對(duì)稱于橫軸的函數(shù)。奇諧波函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含各奇次諧波分量，故稱奇諧波函數(shù)。圖7.6奇諧波函數(shù)波形7.3非正弦周期電流電路的分析

非正弦周期電流電路的分析通常采用諧波分析法，其步驟如下。（1）將給定的非正弦周期電源電壓或電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)，諧波取到第幾項(xiàng)，由所需的計(jì)算精度來決定。

（2）分別計(jì)算電路對(duì)直流分量和各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。對(duì)直流分量，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路，電路成為電阻性電路。對(duì)各次諧波，電路成為正弦電流電路。注意：電感、電容對(duì)不同頻率的諧波的感抗、容抗不同。如基波的角頻率為ω電感L對(duì)基波的阻抗為ZL(1)=jωL

，對(duì)k次諧波的阻抗為ZL(K)=jkωL=kZL(1)，電容C對(duì)基波的阻抗為，對(duì)k次諧波的阻抗。

（3）應(yīng)用疊加定理，將步驟（2）所計(jì)算的結(jié)果化為瞬時(shí)值表達(dá)式后進(jìn)行相加，最終求得電路的響應(yīng)。這里要注意：因?yàn)椴煌C波分量的角頻率不同，其對(duì)應(yīng)的相量直接相加是沒有意義的。

一個(gè)非正弦周期量的有效值，根據(jù)周期量有效值的定義，等于其方均根值。如果已知周期量的解析表達(dá)式，可以直接求它的方均根值。7.4非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率7.4.1非正弦周期量的有效值圖7.13半波整流波其有效值為

即非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方與各次諧波有效值的平方之和的平方根。

周期量的有效值與各次諧波的初相無關(guān)，周期量的有效值不是等于而是小于它的各次諧波有效值之和。7.4.2非正弦周期量的平均值一個(gè)非正弦周期量的平均值為

A0就是非正弦周期量的直流分量，當(dāng)f(t)正負(fù)兩半周與橫軸包圍的面積相等時(shí)，A0為零。為了對(duì)周期量進(jìn)行測(cè)量和分析，常把周期量的絕對(duì)值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值定義為該周期量的平均值（也稱為均絕值）。以電流為例，平均值Iav為圖7.15正弦電流的平均值7.4.3非正弦周期電流電路的平均功率

非正弦周期電流電路的平均功率仍定義為其瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。

非正弦周期電流電路中，不同次（包括零次）諧波電壓、電流雖