南京市、鹽城市2022屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2022屆高三年級(jí)第一次模擬考試(一)數(shù)學(xué)(滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合M＝{y|y＝sinx，x∈R}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，則M∩N等于()A.[－1，＋∞)B.[－1，0)C.[0，1]D.(0，1]2.在等比數(shù)列{an}中，公比為q.已知a1＝1，則0<q<1是數(shù)列{an}單調(diào)遞減的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件3.某中學(xué)高三(1)班有50名學(xué)生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得數(shù)學(xué)成績(jī)X～N(110，100)，則該班數(shù)學(xué)得分大于120分的學(xué)生人數(shù)約為()(參考數(shù)據(jù)：P(|X－μ|<σ)≈0.68，P(|X－μ|<2σ)≈0.95)A.16B.10C.8D.24.若f(α)＝cosα＋isinα(i為虛數(shù)單位)，則[f(α)]2等于()A.f(α)B.f(2α)C.2f(α)D.f(α2)5.已知直線eq\r(2)x＋y＋a＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A.－4或2B.－2或4C.－1±eq\r(3)D.－1±eq\r(6)6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(3，4)，向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，x＋y＝6，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|的最小值為()A.1B.2C.eq\r(5)D.2eq\r(5)7.已知α＋β＝eq\f(π,4)(α>0，β>0)，則tanα＋tanβ的最小值為()A.eq\f(\r(2),2)B.1C.－2－2eq\r(2)D.－2＋2eq\r(2)8.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ex－4，,x≤4，,（x－16）2－143，,x>4，)))則當(dāng)x≥0時(shí)，f(2x)與f(x2)的大小關(guān)系是()A.f(2x)≤f(x2)B.f(2x)≥f(x2)C.f(2x)＝f(x2)D.不確定二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.若函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx，則下列關(guān)于f(x)的性質(zhì)的說法中正確的有()A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的最小正周期為πC.函數(shù)f(x)既有最大值也有最小值D.函數(shù)f(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)10.若橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則能使以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的b的值有()A.b＝eq\r(2)B.b＝eq\r(3)C.b＝2D.b＝eq\r(5)11.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1，記在數(shù)列{an}的前n＋2(n∈N*)項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為Pn，則下列結(jié)論中正確的有()A.P1＝eq\f(1,3)B.P2n<P2n＋2C.P2n－1<P2nD.P2n－1＋P2n<P2n＋1＋P2n＋212.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2.記四棱錐P-ABCD的外接球?yàn)榍騉，平面PAD與平面PBC的交線為l，BC的中點(diǎn)為E，則下列結(jié)論中正確的有()A.l∥BCB.AB⊥PCC.平面PDE⊥平面PADD.l被球O截得的弦長為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若函數(shù)f(x)＝(x＋3)5＋(x＋m)5是奇函數(shù)，則m＝________．14.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝3b，則cosB的最小值為________．15.計(jì)算機(jī)是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作與生活之中，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計(jì)算處理時(shí)，使用的是二進(jìn)制，一個(gè)十進(jìn)制數(shù)n(n∈N*)可以表示成二進(jìn)制數(shù)(a0a1a2…ak)2，k∈N，則n＝a0·2k＋a1·2k－1＋a2·2k－2＋…＋ak·20，其中a0＝1，當(dāng)i≥1時(shí)，ai∈{0，1}．若記a0，a1，a2，…，ak中1的個(gè)數(shù)為f(n)，則滿足k＝6，f(n)＝3的n的個(gè)數(shù)為________．16.已知：若函數(shù)f(x)，g(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝g(x)，則f′(x)＝g′(x)．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式e2x＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，則a0＝________，eq\i\su(n＝1,10,)eq\f(an＋1,nan)＝________．(第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)從①sinD＝sinA；②S△ABC＝3S△BCD；③eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－4這三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線中，并完成解答．已知點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，cosA>cosD，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，若________，求△ABC的面積．

18.(12分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋4，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1＝2.(1)若{bn}是公差為3的等差數(shù)列，求證：{abn}也是等差數(shù)列；(2)若{abn}是公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

19.(12分)佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對(duì)此不斷地進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年度2018201920202021年度序號(hào)x1234不戴頭盔的人數(shù)y125010501000900(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔的人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的回歸直線方程y＝bx＋a，并估算該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)；(2)交警統(tǒng)計(jì)2018～2021年通過該路口的開電瓶車出事故的50人，分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到下表，能否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)？不戴頭盔戴頭盔傷亡73不傷亡1327參考公式和數(shù)據(jù)：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879

20.(12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D為AC的中點(diǎn)，平面AB1C⊥平面ABC.(1)求證：B1D⊥平面ABC；(2)求直線C1D與平面AB1C所成角的正弦值．

21.(12分)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，虛軸長為eq\r(2)，兩準(zhǔn)線間的距離為eq\f(2\r(6),3).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，已知AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線l的距離為d，求d的最大值．

22.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，a∈R.(1)求曲線f(x)在x＝1處的切線方程；(2)若x1，x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，求證：k＋2<x1＋x2.2022屆高三年級(jí)第一次模擬考試(一)(南京、鹽城)數(shù)學(xué)參考答案1.D2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.B9.CD10.ABC11.AB12.ABD13.－314.eq\f(2\r(,2),3)15.1516.1eq\f(20,11)17.若選①.因?yàn)閏osA＞cosD，A∈(0，π)，D∈(0，π)，所以A＜D.又sinD＝sinA，所以D＋A＝π，所以cosD＝－cosA．(4分)設(shè)BC＝x，在△ABC與△BCD中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，cosD＝eq\f(DB2＋DC2－BC2,2DB·DC)＝eq\f(42＋22－x2,2×4×2)，所以eq\f(42＋22－x2,2×4×2)＝－eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，(6分)解得x2＝28,所以cosA＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)若選②.因?yàn)镾△ABC＝3S△BCD，所以eq\f(1,2)AB·ACsinA＝3×eq\f(1,2)DB·DCsinD.又AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，所以eq\f(1,2)×6×4sinA＝3×eq\f(1,2)×4×2sinD，所以sinD＝sinA．(2分)因?yàn)閏osA>cosD，A∈(0，π)，D∈(0，π)，所以A<D.又sinD＝sinA，所以D＋A＝π，所以cosD＝－cosA．(4分)設(shè)BC＝x，在△ABC與△BCD中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，cosD＝eq\f(DB2＋DC2－BC2,2DB·DC)＝eq\f(42＋22－x2,2×4×2)，所以eq\f(42＋22－x2,2×4×2)＝－eq\f(42＋62－x2,2×4×6)，(6分)解得x2＝28，所以cosA＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)若選③.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cosD＝DB2＋DC2－2eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝42＋22－2×(－4)＝28.(4分)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(42＋62－28,2×4×6)＝eq\f(1,2).(8分)因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(1,2)×6×4×eq\f(\r(,3),2)＝6eq\r(,3).(10分)18.(1)因?yàn)閧bn}是公差為3的等差數(shù)列，所以bn＋1－bn＝3.(2分)又an＝2n＋4，所以abn＋1－abn＝2(bn＋1＋4)－2(bn＋4)＝2(bn＋1－bn)＝6，所以{abn}是等差數(shù)列．(6分)注：寫出bn＝3n－1得2分．(2)因?yàn)閧abn}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為ab1＝a2＝2×2＋4＝8，所以abn＝8×2n－1＝2n＋2.(8分)又abn＝2bn＋4＝2n＋2，所以bn＝2n＋1－2，(10分)則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－2n＝2n＋2－2n－4.(12分)19.(1)由表中數(shù)據(jù)知，x＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，y＝eq\f(1250＋1050＋1000＋900,4)＝1050，所以b＝＝eq\f(9950－10500,30－25)＝－110，(2分)所以a＝y(tǒng)－bx＝1050－(－110)×eq\f(5,2)＝1325，故所求的回歸直線方程為y＝－110x＋1325.(4分)令x＝5，則y＝－110×5＋1325＝775(人)，故該路口2022年不戴頭盔的人數(shù)約為775.(6分)(2)提出假設(shè)H0：不戴頭盔行為與事故傷亡無關(guān)．由表中數(shù)據(jù)，得K2＝eq\f(50×（7×27－3×13）2,10×30×40×20)＝4.6875>3.841.(9分)又P(K2≥3.841)＝0.05，所以有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)．(12分)20.(1)因?yàn)锳B1＝B1C，D為AC的中點(diǎn)，所以B1D⊥AC.(2分)因?yàn)槠矫鍭B1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D?平面AB1C，所以B1D⊥平面ABC.(5分)(2)方法一：在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)D分別作AB，BC的平行線，交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).由(1)知B1D⊥平面ABC，AB⊥BC，以{eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))}為基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(7分)因?yàn)锳B＝8，BC＝6，所以AC＝10，BD＝5.因?yàn)锳A1＝BB1＝13，所以B1D＝12，則D(0，0，0)，A(3，－4，0)，B(3，4，0)，C(－3，4，0)，B1(0，0，12)．設(shè)點(diǎn)C1(x，y，z)，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→))，得(－6，0，0)＝(x，y，z－12)，即點(diǎn)C1(－6，0，12)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－6，8，0)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－3，4，－12)，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(6，0，－12)．設(shè)平面AB1C的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝－6x＋8y＝0，,n·\o(B1C,\s\up6(→))＝－3x＋4y－12z＝0，))整理得3x＝4y，z＝0.不妨取x＝4，則平面AB1C的一個(gè)法向量為n＝(4，3，0)．(10分)設(shè)直線C1D與平面AB1C所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，eq\o(C1D,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(C1D,\s\up6(→))|,|n|·|\o(C1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(|6×4＋0×3＋（－12）×0|,5×\r(,62＋02＋（－12）2))＝eq\f(4\r(,5),25).(12分)方法二：設(shè)B1C∩BC1＝M，由BM＝MC1知點(diǎn)C1到平面AB1C的距離d和點(diǎn)B到平面AB1C的距離相等．過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連接C1H.因?yàn)锽H⊥AC，平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，BH?平面ABC，所以BH⊥平面AB1C，則BH為點(diǎn)B到平面AB1C的距離．(7分)在Rt△ABC中，易知d＝BH＝eq\f(6×8,10)＝eq\f(24,5).(9分)由(1)知B1D⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以B1D⊥BC.因?yàn)锽1C1∥BC，所以B1D⊥B1C1，則△B1DC1為直角三角形．因?yàn)锳B＝8，BC＝6，AB⊥BC，所以AC＝10，BD＝5.因?yàn)锳A1＝BB1＝13，所以B1D＝12.因?yàn)锽1C1＝BC＝6，所以C1D＝eq\r(,62＋122)＝6eq\r(,5).(11分)設(shè)直線BC1與平面AB1C所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(d,C1D)＝eq\f(\f(24,5),6\r(,5))＝eq\f(4\r(,5),25).(12分)21.(1)由虛軸長為eq\r(,2)，得b＝eq\f(\r(,2),2)，(1分)由兩準(zhǔn)線間的距離為eq\f(2\r(,6),3)，得eq\f(a2,c)＝eq\f(\r(,6),3)，(2分)則3a4＝2c2＝2(a2＋b2)＝2(a2＋eq\f(1,2))，解得a2＝1，故雙曲線的方程為x2－2y2＝1.(4分)(2)①若動(dòng)直線l的斜率不存在，則設(shè)l：x＝t，代入雙曲線方程，得P(t，eq\r(,\f(t2－1,2)))，Q(t，－eq\r(,\f(t2－1,2)))．由AP⊥AQ，得(t－1)2－eq\f(t2－1,2)＝0，解得t＝3或t＝1(舍去)，此時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離為d＝2.(6分)②若動(dòng)直線l的斜率存在，則可設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：y＝kx＋t，代入雙曲線的方程，得(1－2k2)x2－4ktx－(2t2＋1)＝0，則x1＋x2＝eq\f(4kt,1－2k2)，x1x2＝－eq\f(2t2＋1,1－2k2).(8分)由AP⊥AQ，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0.又y＝kx＋t，所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，化簡(jiǎn)整理，得(1＋k2)x1x2＋(kt－1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，將x1＋x2＝eq\f(4kt,1－2k2)，x1x2＝－eq\f(2t2＋1,1－2k2)代入化簡(jiǎn)，得(3k＋t)(k＋t)＝0.(10分)若k＋t＝0，則直線經(jīng)過右頂點(diǎn)A，舍去；故3k＋t＝0，即直線經(jīng)過定點(diǎn)M(3，0)，(11分)則d≤AM＝2.綜上所述，d的最大值為2.(12分)22.(1)由f(x)＝－3lnx＋x3＋ax2－2ax，得f′(x)＝－eq\f(3,x)＋3x2＋2ax－2a，所以f′(1)＝0.又f(1)＝－3ln1＋13＋a·12－2a·1＝1－a，所