2023年中考數(shù)學考前強化復習《圓 解答題》精選練習(含答案)

2023年中考數(shù)學考前強化復習《圓解答題》精選練習1.如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點D、E兩點，BF與⊙O相切于點B，交AC的延長線于點F.(1)求證：D是AC的中點；(2)若AB＝12，sin∠CAE＝eq\f(\r(6),4)，求CF的值.2.如圖，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于點B，AC邊上一點O，⊙O經(jīng)過點B、C，與AC交于點D，與CE交于點F，連結(jié)BF.(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若cos∠CBF＝eq\f(4,5)，AE＝8，求⊙O的半徑；(3)在(2)條件下，求BF的長.3.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB的延長線于點G.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)已知BD＝2eq\r(5)，CF＝2，求AE和BG的長.4.如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF＝ED.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若tanA＝eq\f(1,2)，探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在(2)的條件下，若OF＝1，求圓O的半徑.5.如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG＝∠ABD.求證：AD?CE＝DE?DF；說明：（1）如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路過程寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明.①∠CDB＝∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90°.6.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相較于點D，E，F(xiàn)，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，F(xiàn)H.(1)求證：△ABC≌△EBF；(2)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若AB＝1，求HG?HB的值.7.如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F.(1)求證：AE·BC＝AD·AB；(2)若半圓O的直徑為10，sin∠BAC＝eq\f(3,5)，求AF的長．8.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB點F，連接BE.(1)求證：AC平分∠DAB；(2)求證：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝eq\f(4,3)，AB＝14，求線段PC的長.9.如圖，以O為圓心的弧BD的度數(shù)為60°，∠BOE＝45°，DA⊥OB于點A，EB⊥OB于點B.(1)求的值；(2)若OE與弧BD交于點M，OC平分∠BOE，連接CM，說明：CM是⊙O的切線；(3)在(2)的條件下，若BC＝2，求tan∠BCO的值.10.如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點C，且圓的直徑AB在線段AE上.(1)試說明CE是⊙O的切線；(2)若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；(3)設點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD，當0.5CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長.

參考答案1.(1)證明：連接DB，∴AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴DB⊥AC.又∵AB＝BC.∴D是AC的中點.(2)解：∵BF與⊙O相切于點B，∴∠ABF＝90°，∵∠CAE＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠F，∴sin∠CAE＝sin∠F＝sin∠ABD，∴在△ADB和△ABF中，∵AB＝12，∴AF＝8eq\r(6)，AD＝3eq\r(6)，∴CF＝AF﹣AC＝2eq\r(6).2.(1)證明：連接OB，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCF，∴∠OBC＝∠BCF，∴∠ABO＝∠AEC＝90°，∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切線；(2)解：連接DF交OB于G，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CFD＝90°，∴∠CFD＝∠CEA，∴DF∥AE，∴∠CDF＝∠CAB，∵∠CDF＝∠CBF，∴∠A＝∠CBF，∴cos∠CBF＝cos∠CEF＝eq\f(4,5)，∵AE＝8，∴AC＝10，∴CE＝6，∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG＝GF＝BE，設BE＝2x，則DF＝4x，CD＝5x，∴OC＝OB＝2.5x，∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，∵AO2＝AB2+OB2，∴(10﹣2.5x)2＝(8﹣2x)2+(2.5x)2，解得：x＝eq\f(3,2)(負值舍去)，∴⊙O的半徑＝eq\f(15,4)；(3)解：由(2)知BE＝2x＝3，∵AE是⊙O的切線；∴∠BCE＝∠EBF，∵∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴，∴＝，∴EF＝eq\f(3,2)，∴BF＝eq\f(3,2)eq\r(5).3.(1)證明：如圖，連接OD，AD.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.又∵OA＝OB，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴直線DF與⊙O相切.(2)解：如圖，連接BE.∵BD＝2eq\r(5)，∴CD＝BD＝2eq\r(5).∵CF＝2，∴DF＝eq\r(（2\r(5)）2－22)＝4，∴BE＝2DF＝8.∵cos∠C＝cos∠ABC，∴eq\f(CF,CD)＝eq\f(BD,AB)，∴eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(2\r(5),AB)，∴AB＝10，∴AE＝eq\r(102－82)＝6.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥GF，∴△AEB∽△AFG，∴eq\f(AB,AG)＝eq\f(AE,AF)，∴eq\f(10,10＋BG)＝eq\f(6,2＋6)，∴BG＝eq\f(10,3).4.(1)證明：連結(jié)OD，如圖，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；(2)線段AB、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AB＝3BE.證明：∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，∵OA＝OD[來源:Zxxk.Com]∴∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，而∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴，∵Rt△ABD中，tanA＝＝∴＝∴AE＝2DE，DE＝2BE∴AE＝4BE∴AB＝3BE；(3)設BE＝x，則DE＝EF＝2x，AB＝3x，半徑OD＝eq\f(3,2)x∵OF＝1，∴OE＝1＋2x在Rt△ODE中，由勾股定理可得：(eq\f(3,2)x)2＋(2x)2＝(1＋2x)2，∴x＝﹣eq\f(2,9)(舍)或x＝2，∴圓O的半徑為3.5.（1）證明：連接AF，∵DF是⊙O的直徑，∴∠DAF＝90°，∴∠F+∠ADF＝90°，∵∠F＝∠ABD，∠ADG＝∠ABD，∴∠F＝∠ADG，∴∠ADF+∠ADG＝90°∴直線CD是⊙O的切線∴∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF＝90°；（2）選?、偻瓿勺C明證明：∵直線CD是⊙O的切線，∴∠CDB＝∠A.∵∠CDB＝∠CEB，∴∠A＝∠CEB.∴AD∥EC.∴∠DEC＝∠ADF.∵∠EDC＝∠DAF＝90°，∴△ADF∽△DEC.∴AD：DE＝DF：EC.∴AD?CE＝DE?DF.6.(1)證明：∵EF是圓的直徑

∴∠EBF＝∠ABC＝90°，即∠BFE＋∠BEF＝90°

∵DF⊥AC

∴∠CDE＝90°，即∠C＋∠DEC＝90°

∵∠DEC＝∠BEF

∴∠C＝∠BFE

在△ABC和△EBF中

∴△ABC≌△EBF(ASA)

(2)BD與○O相切

理由：連接OB，

∵DF是AB的中垂線,∠ABC＝90°，

∴DB＝DC＝DA，

∴∠DBC＝∠C.

由(1)∠DCB＝∠EFB，而∠EFB＝∠OBF，

∴∠DBC＝∠OBF，

∴∠DBO＝∠DBC＋∠EBO＝∠OBF＋∠EBO＝90°，

∴DB⊥OB，OB是半徑

∴BD與⊙O相切。

(3)連接EH，

∵BH是∠EBF的平分線，

∴∠EBH＝∠HBF＝45°.∠HFE＝∠HBE＝45°.

又∠GHF＝∠FHB，

∴△GHF∽△FHB，

∴

∴HF2＝HG?HB，

∵⊙O是Rt△BEF的內(nèi)接圓，

∴EF為⊙O的直徑，

∴∠EHF＝90°，

又∠HFE＝45°，

∴EH＝HF，

∴EF2＝EH2＋HF2＝2HF2，

在Rt△ABC中,AB＝1,

tan∠C＝＝，

∴BC＝2,

∴AC＝

由(1)知△ABC≌△EBF，

∴EF＝AC＝eq\r(5)，

∴2HF2＝EF2＝5，

∴HF2＝eq\f(5,2)，

故HG?HB＝HF2＝eq\f(5,2).7.(1)證明：∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵AE為半圓O的切線，∴∠BAE＝90°，∴∠EAD＋∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠ABC，∵OD⊥AC，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴△EAD∽△ABC，∴eq\f(EA,AB)＝eq\f(AD,BC)，∴AE·BC＝AD·AB；(2)解：如解圖，設BF與半圓O交于點G，連接AG，則∠AGB＝∠ACB＝90°，∵∠ADG＝∠BDC，∴△ADG∽△BDC，∴eq\f(AG,BC)＝eq\f(DG,DC)，∵在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝10×eq\f(3,5)＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝8，∵OD⊥AC，∴AD＝CD＝eq\f(1,2)AC＝4，∴eq\f(AG,DG)＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，設AG＝3x，則DG＝2x，由勾股定理得AG2＋DG2＝AD2，即9x2＋4x2＝42，解得x＝eq\f(4\r(13),13)，則AG＝eq\f(12\r(13),13)，∴BG＝eq\r(AB2－AG2)＝eq\f(34\r(13),13)，∵∠AFG＋∠FAG＝90°，∠FAG＋∠GAB＝90°，∴∠AFG＝∠BAG，∴△AGF∽△BGA，∴eq\f(AG,BG)＝eq\f(AF,BA)，即eq\f(\f(12\r(13),13),\f(34\r(13),13))＝eq\f(AF,10)，∴AF＝eq\f(60,17).8.(1)證明：∵PD切⊙O于點C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；(2)證明：∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°.又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB.又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴.又∵tan∠ABC＝eq\f(4,3)，∴，∴，設PC＝4k，PB＝3k，則在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，∵PC2＋OC2＝OP2，∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6(k＝0不合題意，舍去).∴PC＝4k＝4×6＝24.9.解：(1)∵EB⊥OB，∠BOE＝45°，∴∠E＝∠EOB，∴BE＝BO，在Rt△OAD中，＝sin∠DOA＝，∴＝，∴＝＝；(2)∵OC平分∠BOE，∴∠BOC＝∠MOC，在△BOC和△MOC中，，∴△BOC≌△MOC，∴∠OMC＝∠OBC＝90°，∴CM是⊙O的切線；(3)∵△BOC≌△MOC，∴CM＝CB＝2，∵∠E＝∠EOB＝45°，∴CE＝eq\r(2)CM＝2eq\r(2)，∴BE＝2＋2eq\r(2)，∴OB＝2＋2eq\r(2)，∴tan∠BCO＝eq\r(2)＋1.10.解：(1)連接OC，如圖1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°， ∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切線； (2)過點C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2， 由題可得CH＝h.在Rt△OHC中，CH＝OCsin∠COH，∴h＝OCsin60°＝eq\f(\r(3),2)OC，∴OC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴AB＝2OC＝eq\f(4\r(3),3)h； (3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3， 則∠AOF＝∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(180°﹣60°)＝60°. ∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，∴AF＝AO