高等數(shù)學(xué)三第四章4.5經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

4.5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一、邊際分析二、彈性分析

一、邊際分析定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，邊際函數(shù)值。其含義為:當(dāng)時(shí),x改變一個(gè)單位，相在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的相應(yīng)地y約改變個(gè)單位．為的邊際函數(shù)。稱導(dǎo)函數(shù)

解,所以,在時(shí)的邊際函數(shù)值。,試求例1設(shè)函數(shù)邊際成本是總成本的變化率。設(shè)C為總成本，下面介紹幾個(gè)常見的邊際函數(shù):1．邊際成本為固定成本，則有為可變成本，為平均成本，為邊際成本，為產(chǎn)量，總成本函數(shù)

平均成本函數(shù)邊際成本函數(shù)

例2已知某商品的成本函數(shù)為,求當(dāng)時(shí)的總成本，平均成本及邊際成本。解由邊際成本于是當(dāng)時(shí)總成本平均成本令得

Q

為多少時(shí)，平均成本最小?例3在例２中，當(dāng)產(chǎn)量解

所以,當(dāng)Q

=20時(shí)平均成本最小。2．邊際收益平均收益是生產(chǎn)者平均每售出一個(gè)單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價(jià)。邊際收益為總收益的變化率。總收益、平均收益、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)。設(shè)P為商品價(jià)格，Q

為商品量，R為總收益，為平均收益，為邊際收益，則有需求函數(shù)總收益函數(shù)平均收益函數(shù)邊際收益函數(shù)例3設(shè)銷售解（1）其邊際收益為（2）平均收益函數(shù)為（3）銷售100個(gè)單位時(shí)的邊際收益為其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量為100個(gè)單位時(shí)，若再多個(gè)單位某產(chǎn)品時(shí)的總收益函數(shù)為（元）．求：（1）邊際收益函數(shù)；（2）平均收益函數(shù)；（3）銷售量為100個(gè)單位時(shí)的邊際收益，并說明其經(jīng)濟(jì)意義．．銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益將增加400個(gè)單位．

3．邊際利潤(rùn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益、總成本都可以表示為產(chǎn)量的函數(shù)，分別記為和，則總利潤(rùn)可表示為最大利潤(rùn)原則:取得最大值的必要條件為即所以取得最大利潤(rùn)的必要條件是:邊際收益等于邊際成本邊際利潤(rùn)

例5已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為成本函數(shù)為問產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)L最大?解已知,于是有令得所以當(dāng)Q=20時(shí)總利潤(rùn)最大4.邊際需求二、

彈性分析定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)與自變量的相對(duì)改變量之比稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的相對(duì)變化率，或稱兩點(diǎn)間的彈性處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量也稱作區(qū)間彈性當(dāng)時(shí)，稱為在導(dǎo)數(shù)，也就是相對(duì)變化率，或稱（點(diǎn)）彈性。處的相對(duì)記作

即是的函數(shù),若可導(dǎo)為定值。對(duì)一般的的彈性函數(shù)。函數(shù)在點(diǎn)的彈性反映了隨著的變化變化幅度的大小,也就是隨變化反映的強(qiáng)烈程度或靈敏度.表示在,當(dāng)產(chǎn)生1%的變化時(shí),近似的稱為當(dāng)為定值時(shí)則有改變(為常數(shù)）的彈性函數(shù)。例７求函數(shù)在處的彈性.解例８求冪函數(shù)解可以看到，冪函數(shù)的彈性函數(shù)為常數(shù)，即在任意點(diǎn)處彈性不變，所以稱為不變彈性函數(shù)為商品在價(jià)格為Ｐ時(shí)的需求價(jià)格彈性．記為即1.需求彈性“需求”是指在一定價(jià)格條件下，消費(fèi)者愿意購(gòu)買并且有能力購(gòu)買的商品量。通常需求是價(jià)格的函數(shù)，P表示商品的價(jià)格,Q表示需求量，稱為需求函數(shù)。定義3設(shè)某商品的需求函數(shù)在P處可導(dǎo),稱

２.供給彈性“供給”是指在一定價(jià)格條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量。通常供給是價(jià)格的函數(shù)，P表示商品的價(jià)格，Q表示供給量，稱