新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用5空間中的距離第2課時(shí)點(diǎn)到平面直線到平面平面到平面的距離學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE9第2課時(shí)點(diǎn)到平面、直線到平面、平面到平面的距離課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.能靈活運(yùn)用向量方法求點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——會(huì)利用空間向量求解三種距離.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一點(diǎn)到平面的距離1.點(diǎn)到平面的距離給定空間中一個(gè)平面α及α外一點(diǎn)A,過A可以作平面α的一條垂線段,這條垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到平面α的距離.點(diǎn)到平面的距離也是這個(gè)點(diǎn)與平面內(nèi)點(diǎn)的①最短連線的長(zhǎng)度.2.點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算公式一般地,若A是平面α外一點(diǎn),B是平面α內(nèi)一點(diǎn),n是平面α的一個(gè)法向量,則點(diǎn)A到平面α的距離d=②|BA要點(diǎn)二相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離1.相關(guān)概念當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離;當(dāng)平面與平面平行時(shí),一個(gè)平面內(nèi)③任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離.一般地,與兩個(gè)平行平面④同時(shí)垂直的直線,稱為這兩個(gè)平面的公垂線,公垂線夾在平行平面間的部分,稱為這兩個(gè)平面的公垂線段.顯然,兩個(gè)平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長(zhǎng).2.計(jì)算公式如圖1所示,如果直線l與平面α平行,n是平面α的一個(gè)法向量,A,B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn),則直線l與平面α之間的距離為d=⑤|BA如圖2所示,如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個(gè)法向量（當(dāng)然也是平面α的一個(gè)法向量）,A和B分別是平面α與平面β內(nèi)的點(diǎn),則平面α與平面β之間的距離為d=⑥|BA自主思考1.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C答案：提示2.2.當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上任意兩點(diǎn)到平面的距離相等嗎?答案：提示相等.3.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線答案：提示都是1.4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離有什么共同之處?答案：提示都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解名師點(diǎn)睛1.四種距離的關(guān)系2.點(diǎn)到平面的距離的三種求法（1）定義法：這是常規(guī)方法,首先過點(diǎn)向平面作垂線,確定垂足的位置,然后將該線段放到一個(gè)直角三角形中,最后通過解三角形求得點(diǎn)到平面的距離.（2）等體積法：把點(diǎn)到平面的距離視為一個(gè)三棱錐的高,利用三棱錐轉(zhuǎn)化底面求體積,從而求得點(diǎn)到平面的距離.（3）向量法：這是我們常用的方法,利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離的優(yōu)點(diǎn)是不必經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理,只需借助空間向量計(jì)算即可.互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一點(diǎn)到平面的距離精講精練例（2021北京平谷第五中學(xué)高二月考）已知四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,AB與平面ACD所成角的正切值為12,則點(diǎn)BA.32B.233C.答案：D解析：以B為原點(diǎn),BC,BD,BA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示：設(shè)BA=t,t>0,則B(0,0,0),C(2D(0,2所以AB=(0,0,-t),設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則n令x=1,得y=1,z=2t,故因?yàn)橹本€AB與平面ACD所成角的正切值為12,所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為5即|AB?n所以平面ACD的一個(gè)法向量為n=(1,1,22),故B到平面解題感悟利用向量求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟：（1）建立空間直角坐標(biāo)系.（2）求出該平面的一個(gè)法向量.（3）找出該點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)連線形成的斜線段對(duì)應(yīng)的向量.（4）法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模,即為點(diǎn)到平面的距離.遷移應(yīng)用1.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(2,2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點(diǎn)P(2,1,3)到平面αA.53B.43答案：A解析：由題意知PA=(-3,2,-3),則點(diǎn)P到平面α的距離d=2.（2021山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C（1）求證：MN//平面ADD（2）求C到平面A1答案：（1）證明：分別取DD1和AD的中點(diǎn)E,F,連接則EM∥DC且EM=12DC,FN∥DC所以EM∥FN,且EM=FN,所以四邊形EMNF是平行四邊形,所以EF∥MN,又EF?平面ADD1所以MN∥平面ADD（2）以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系則D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,4,0),D因?yàn)镸,N分別是DC所以M(0,2,1),N(3,2,0),所以A1設(shè)平面A1MN的一個(gè)法向量為n令z=3,則x=1,y=9所以n=(1,設(shè)C到平面A1MN的距離為d,則探究點(diǎn)二直線到平面的距離精講精練例在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為直角梯形,AB∥CD且答案：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0).過點(diǎn)C作AB的垂線交∴B(1,23設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)則n?AB→=0,n∵AA1=(0,0,2),∴直線A1解題感悟（1）求直線到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可.（2）選擇直線上任意一點(diǎn)時(shí),一般選取相關(guān)線段的端點(diǎn)或已知的其他的點(diǎn).遷移應(yīng)用1.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1DA.5B.13C.6013答案：C解析：∵B1C1∥BC,且B1從而點(diǎn)B1到平面A以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為則C(0,12,0),D1(0,0,5),設(shè)B(x,12,0)(x＞0),則B1(x,12,5),則由n⊥BC,n?令c=12,則b=5,∴n=(0,5,12)為平面又B1B=(0,0,-5),∴點(diǎn)B1到平面探究點(diǎn)三平面到平面的距離精講精練例已知正方體ABCD-A1B1C答案：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則D(0,0,0),AD1(0,0,1),則設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝(x,y,z),則令z=1,得y=1,x=-1,∴n∴點(diǎn)D1到平面A1BD∵平面A1BD與平面B1CD∴平面A1BD與平面B1解題感悟（1）求兩個(gè)平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可;（2）求空間的各種距離的關(guān)鍵點(diǎn)是合理轉(zhuǎn)化和準(zhǔn)確計(jì)算.遷移應(yīng)用1.（2020山東濟(jì)南高二檢測(cè)）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ACBD-A1C1B（1）證明：AB∥平面A1（2）若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),求二面角M-A（3）判斷點(diǎn)M到平面A1答案：（1）證明：∵在正方體ACBD-A1C1B1D1中,（2）∵在正方體ACBD-A1C1B1D則M(1,1,0),A1(0,2,2),B1(2,0,2),C(0,0,0),∴MA1=(-1,1,2)取x1=1,同理n2?CA1∴cos?n1,∴二面角M-A1B（3）由（1）知AB∥平面A1B1C且M在AB上,∴點(diǎn)M到平面A1B1C的距離等于AB上任意一點(diǎn)到平面A1B1C的距離,取點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),由（2）知,平面A1B1評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升1.已知正方體ABCD-A1B1CA.2B.2C.22D.答案：A2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,A.12