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文檔簡(jiǎn)介
2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)三試題
一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)
21若x工Q
⑴設(shè)/(x)=4xC0S7'X'其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù),則2的取值范圍是_____.
0*若x=0,
(2)已知曲線〉=/一342了+/,與x軸相切,則〃2可以通過(guò)a表示為從=.
Q才‘0<JV<1
(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=\二L一'而D表示全平面,則
[0,其他,
1=^f(x)g(y-x)dxdy=------.
D
(4)設(shè)n維向量a=(〃,0,…。GlovO;E為n階單位矩陣,矩陣
A=E-aaT,B=E+—aaT,
a
其中A的逆矩陣為B,則2=.
(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為
(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,X”Xz,…,X”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣
I?
本,則當(dāng)〃―8時(shí),工=一依概率收斂于.
?,=1
二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有?
項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))
(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù),且廣(0)存在,則函數(shù)g(x)=/^
X
(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.
(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.|]
(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(/,先)取得極小值,則下列結(jié)論正確的是
(A)/(而,〉)在y=>0處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/'(入0,〉)在y=%處的導(dǎo)數(shù)大于零.
(C)/(了0,》)在y=處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(工0,》)在y=為處的導(dǎo)數(shù)不存在.
[]
a?+\a,\a?-a?
(3)設(shè)p“=」2口,q”=2,〃=1,2,…,則下列命題正確的是
(A)若fa,條件收斂,則£>“與£縱都收斂?
n=ln=l/?=!
則£>“與£縱都收斂?
(B)若.絕對(duì)收斂,
”=1H=1/1=1
若£明條件收斂,則£p“與斂散性都不定.
(C)
M=1n=ln=l
若£明絕對(duì)收斂,則與£縱斂散性都不定.
(D)]
?=|"=1〃=】
abb
(4)設(shè)三階矩陣A=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有
bba
(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bH0.
(C)aHb且a+2b=0.(D)aHb且a+2bH0.
(5)設(shè)4,a2,4均為n維向量,下列結(jié)論不正確的是
(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占,心,…,右,都有匕%+公。2+…#0,
則%,。2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān).
(B)若必,22,…,見(jiàn)線性相關(guān),則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)匕,七,…,龜,都有
k}a}+k2al4----1-ksas-0.
(C)%,a2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.
(D)4,a2,…,4線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).IJ
(6)將?枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次,引進(jìn)事件:4={擲第一次出現(xiàn)正面},42={擲第二次
出現(xiàn)正面},4={正、反面各出現(xiàn)一次},44={正面出現(xiàn)兩次},則事件
(A)A],A2,A3相互獨(dú)立.(B)A2,A3,A4相互獨(dú)立.
(OA,4,4兩兩獨(dú)立.①)&,43,人4兩兩獨(dú)立.[]
三、(本題滿分8分)
設(shè)
,/、111J八
/(X)=---h-------------7,Xe[不1).
7txsinGzr(l-x)2
試補(bǔ)充定義f(l)使得f(x)在gj上連續(xù).
四、(本題滿分8分)
設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足°?+嗎=1,又g(x,y)=〃孫」(J一y2升,
dudv2
五、(本題滿分8分)
計(jì)算二重積分
I=J)sin,+y2)dxdy.
D
其中積分區(qū)域D={(x,〉)—+y2<萬(wàn)}.
六、(本題滿分9分)
求幕級(jí)數(shù)1+£(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.
?=i2n
七、(本題滿分9分)
設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-00,+oo)內(nèi)滿足以下條件:
f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\
(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;
(2)求出F(x)的表達(dá)式.
八、(本題滿分8分)
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.試證必存在
《€(0,3),使/《)=0.
九、(本題滿分13分)
己知齊次線性方程組
(0,+b)xt+a2x2+a3x3+---+anxn=0,
“內(nèi)+(a2+b)x2+a3x3H-----Fanxn=0,
\alxi+a2x2+(%+b)x3+---+anxn=0,
+a2x2+ayx3+■??+(??+b)xn=0,
其中£卬Ho.試討論外,。2和b滿足何種關(guān)系時(shí),
>=1
(1)方程組僅有零解;
(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí),求此方程組的?個(gè)基礎(chǔ)解系.
十、(本題滿分13分)
設(shè)二次型
1;
/(X),x2,x3)=XAX=ax:+2x-2xf+2bxxxy{b>0),
中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.
(1)求a,b的值;
(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.
十一、(本題滿分13分)
設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
,若xe[l,8],
/(x)=
其他;
F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).
十二、(本題滿分13分)
設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為
x~r21,
(0.30.7J
而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).
2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析
一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)
21若X工0
(1)設(shè)/5)=廣‘os],二’其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù),則4的取值范圍是4>2.
o若尤=0,
【分析】當(dāng)可直接按公式求導(dǎo),當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).
【詳解】當(dāng)幾>1時(shí),有
r?、cos工+x,-2si/,若xH0,
fM=\/
x0,若x=0,
顯然當(dāng)4>2時(shí),有l(wèi)im/'(x)=0=/'(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).
x->0
(2)已知曲線y=Y—3/x+b與x軸相切,則。2可以通過(guò)a表示為/=之.
【分析】曲線在切點(diǎn)的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件,
再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零,即可找到b2與a的關(guān)系.
【詳解】由題設(shè),在切點(diǎn)處有
y'=3x2—3a2=0.有x:=a2.
又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0,于是有
0=X;-3。%+%=0,
故b?=x:(342—X:尸=a??4a4=4〃6.
【評(píng)注】有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件,同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.
%苔0<t<]
(3)設(shè)a>0,/(x)=g(x)=1一’而D表示全平面,則
[0,其他,
/=JJ7(x)g(y_x)dxdy=色.
D
【分析】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?,但只有?dāng)04x41,04y-x?l時(shí),被積函數(shù)才不
為零,因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.
【詳解】/=J,(x)g(y-x)dxdy=jja2dxdy
【評(píng)注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零,則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積
函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.
(4)設(shè)n維向量二=(〃。…,0,幻7,〃<0;E為n階單位矩陣,矩陣
A-E-aar,B=E-\--aar?
a
其中A的逆矩陣為B,則a=-1.
【分析】這里aa7■為n階矩陣,而ara=2/為數(shù),直接通過(guò)A5=E進(jìn)行計(jì)算并
注意利用乘法的結(jié)合律即可.
【詳解】由題設(shè),有
AB=(E-aa7)(E+—aaT)
a
7*1T1TT
-E-aa+—aa---aa?aa
aa
=E-aar+—aaT--a(aTa)a1
aa
=E-aar+—aaT-2aaaT
a
1
=E+(—1—2。4—)ococT—E,
a
于是有一1一2。+工=0,即2q2+a—1=0,解導(dǎo)。=」,“=一1.由于人<0,故2=-1.
a2
(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為
0.9.
【分析】利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.
【詳解】因?yàn)?/p>
cov(y,z)=cov(r,x-0.4)=£[(y(x-0.4)]-E(Y)E(X-0.4)
=£(%y)-0.4£(y)-E(Y)E(X)+0.4£(r)
=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且DZ=DX.
于是有3=等"詈號(hào)2―=0.9.
4DY4DZ4DX4DY
【評(píng)注】注意以下運(yùn)算公式:D(X+a)=DX,cov(X,V+a)=cov(X,y).
(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,X1,X2,…,X”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣
1n1
本,則當(dāng)〃->8時(shí)-,匕=—依概率收斂于一.
【分析】本題考查大數(shù)定律:一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量
X”X2,…,x“,當(dāng)方差一致有界時(shí)?,其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值:
I?p1fl
-£XjT—^EXj(n—>oo).
【詳解】這里X:,X;,…,X;滿足大數(shù)定律的條件,且EX;=DXi+(EXj2=
-+(-)2=-,因此根據(jù)大數(shù)定律有
422
1?1〃I
2
Yn=-YX,依概率收斂于一£EX;=—.
?,=1〃i=l2
二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))
(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù),且尸(0)存在,則函數(shù)g(x)=£@
x
(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.
(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.[D]
【分析】由題設(shè),可推出f(0)=0,再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.
【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn),且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知,f(0)=0.
于是有l(wèi)img(x)=lim/?=lim'」-"°)=廣(0)存在,故x=0為可去間斷點(diǎn).
【評(píng)注1】本題也可用反例排除,例如f(x)=x,則此時(shí)g(x)=2=F'**°'可排除
x[0,x=0,
(A),(B),(C)三項(xiàng),故應(yīng)選(D).
【評(píng)注2】若f(x)在x=x0處連續(xù),則1曲2至=Ao/(Xo)=0,/'(Xo)=A-
Xf"X-Xa
(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x。,%)取得極小值,則下列結(jié)論正確的是
(A)/(入0,〉)在y=凡處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(%,切在y=%處的導(dǎo)數(shù)大于零.
(C)/(了0,〉)在y=>0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(%0,)>)在y=為處的導(dǎo)數(shù)不存在.
[A]
【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在,再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.
【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(%,%)取得極小值,根據(jù)取極值的必要條件知
/;(%,汽)=0,即/*0,〉)在》=外處的導(dǎo)數(shù)等于零,故應(yīng)選(A).
【評(píng)注1】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義,八/,田在^=外處的導(dǎo)數(shù)即火(飛,打);而
/(3,%)在%=/處的導(dǎo)數(shù)即f^x0,y0).
【評(píng)注2】本題也可用排除法分析,取/(x,y)=/+y2,在(0,0)處可微且取得極小
值,并且有/(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正確選項(xiàng)為(A).
a?+|a?|a?-k?|
⑶設(shè)必=,2%q"=2'…'則下列命題正確的是
(A)若£a,條件收斂,則Zpn與£q”都收斂.
〃=1n=l〃=1
QO800
(B)若z%絕對(duì)收斂,則SPn與£q”都收斂.
n=ln=l"=1
(C)若£對(duì)條件收斂,則£p?與£心斂散性都不定.
”=1n=\n=l
88OP
(D)若Z%絕對(duì)收斂,貝“與"斂散性者B不定.[B]
?=171=1/1=1
【分析】根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.
【詳解】若絕對(duì)收斂,即收斂,當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂,再根據(jù)
”=1〃=1〃=1
Q+4Ia—\dI產(chǎn),
p“="?",q”及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知,ZP"與都收斂,故應(yīng)選
22"=1n=l
(B).
abb
(4)設(shè)三階矩陣4=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有
bha
(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b#0.
(C)a0b且a+2b=0.(D)aHb且a+2b00.[C]
【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說(shuō)明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.
【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知,秩(A)=2,故有
abb
bab=(a+2b)(a—b)2=0.即有a+2b=0或a=b.
bba
但當(dāng)a=b時(shí),顯然秩(A)H2,故必有awb且a+2b=0.應(yīng)選(C).
【評(píng)注】n(n?2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系:
n,r(A)=n,
r(A*)--1,r(A)-n-1,
O,r(A)<?-l.
(5)設(shè)%均為n維向量,下列結(jié)論不正確的是
(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占,左2,…,幻,都有占%+寸2%+…+冗4H0,
則名,火,…,a,線性無(wú)關(guān).
(B)若%,4線性相關(guān),則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占?2,…,右,都有
k1%+k2a24----1-k、a*=0.
(C)%,a2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.
(D)%,a2,…,a,線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).[B]
【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解,以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等
價(jià)表現(xiàn)形式.應(yīng)注意是尋找不正確的命題.
【詳解】(A):若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占也,…,九,都有
kiai+k2a2+---+ksas0.則ai,a2,---,as必線性無(wú)關(guān),因?yàn)槿羟?。?,…,線性相關(guān),
則存在一組不全為零的數(shù)匕,心,…,⑥,使得3+%2a2+…+£a,=0,矛盾.可見(jiàn)(A)
成立.
(B):若%,a?,…,a,線性相關(guān),則存在一組,而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)
ki,k2,---,ks,klal+k2a2+???+ksas=0.(B)不成立.
(C)4,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)則此向量組的秩為s;反過(guò)來(lái),若向量組鬼的秩
為s,則%,%,…,4線性無(wú)關(guān),因此(C)成立.
(D)%,。2,…,4線性無(wú)關(guān),則其任一部分組線性無(wú)關(guān),當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)
關(guān),可見(jiàn)(D)也成立.
綜上所述,應(yīng)選(B).
【評(píng)注】原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如,原命題:若存在一組不全為零的數(shù)
占,火2,…人,使得kI%+%2a2+…+&"=0成立,則%,。2,…,見(jiàn)線性相關(guān).其逆否
命題為:若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)4,左2,…,左,都有占四+左2a2+…+&a,關(guān)0,
則%,。2,…,4線性無(wú)關(guān).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等
價(jià)性.
(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次,引進(jìn)事件:A={擲第一次出現(xiàn)正面},42={擲第二次
出現(xiàn)正面},43={正、反面各出現(xiàn)一次},兒={正面出現(xiàn)兩次},則事件
(A)4,42,4相互獨(dú)立.(B)42,4,人4相互獨(dú)立.
(C)4,42,43兩兩獨(dú)立.(D)&,43,44兩兩獨(dú)立.[C]
【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可,注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立,若成
立,再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.
【詳解】因?yàn)?/p>
p(A)=g,P(4)=pP(&)=g,P(&)=;,
且P(A4)=;,P(A|4)=:,P(A2A3)=:,P(444)=:P(A44)=0,
可見(jiàn)有
「(A1A2)=P(A)P(A2),P(A1A3)=P(A)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(4),
尸(A44)wP(A)P(A2)P(4),尸(A2A4)HP(A2)P(A4).
故A,A2,A3兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立;A2,A3,A4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立,應(yīng)選(C).
【評(píng)注】本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的,否則結(jié)論不一定成立.
三、(本題滿分8分)
設(shè)
//、111」,、
/(%)=——+-------------£匚])?
71XSin欣7T(1-X)2
試補(bǔ)充定義f(l)使得f(x)在上連續(xù).
【分析】只需求出極限lim/(x),然后定義f(l)為此極限值即可.
【詳解】因?yàn)?/p>
limf(x)=lim[—+—--------!---]
x—rxf7ixsin^x
11..乃(l-x)-sinK
=—+—lim---------;------
7t乃(1-x)sin^x
11「-7T-7TCOS71X
=—+—lim-----------------------
7171Xf「-sin依+(1-X)7TCOS71X
117r2sinG
=—+—lim-------------------------------------------------
71乃Xfl-COSTlx-71COS71X-(1-X)7t~sin^X
71
由于f(x)在6,1)上連續(xù),因此定義
71
使f(x)在±1]上連續(xù).
2
【評(píng)注】本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問(wèn)題,但以這種形式表現(xiàn)出來(lái),還考查了連續(xù)的概念.
在計(jì)算過(guò)程中,也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求yf0+的極限,可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.
四、(本題滿分8分)
設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足駕+駕=1,又g(x,y)=f[xy,-(x2-y2)],
dudv2
求駕+駕.
dx2dy~
【分析】本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題:g=/(〃-),〃=xy#=一y?),
直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可,注意利用"=2上.
dudvdvdu
df紅
【詳解】-y-------Fx
dudv'
/V
=-x------y
dudv
22工
a2g2a7df2更
故二-+2孫——+x
dx2y"dudvdv2dv,
a2g“彎d2f2d2f/
-2xy——+y
dy2du2dvdudv2dv
32g?2)以、也
a2g222
所以=(x+y■+U+yJ2
dx2②2du2dv
22
=x+y
【評(píng)注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).
五、(本題滿分8分)
計(jì)算二重積分
1=We(x+y2~ff)sin(x2+y2)dxdy.
D
其中積分區(qū)域D={(X,y)|x2+y2〈萬(wàn)}.
【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出,應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】作極坐標(biāo)變換:x=rcos0,y=rsind,有
1=eK(x+y2)sin(尤2+y2)dxdy
D
-en『『re"sinr~dr,
令£=/,則
I=7ien/e~lsintdt.
記A=£e_/sintdt,則
A=-^e~/intde1
=-[e~fsinr-Ce~fcostdt]
0J)
=-£costde~l
=-[e~lcosr0+/e1sin,力]
3+1-A.
因此A=g(l+e-"),
j7teJ7i八
/=-(1+e")=7(l+e").
22
【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型,明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,在將二重積分化為定積
分后,再通過(guò)換元與分步積分(均為最基礎(chǔ)的要求),即可得出結(jié)果,綜合考查了二重積分、
換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).
六、(本題滿分9分)
求基級(jí)數(shù)1+£(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.
”=12〃
【分析】先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和,再積分即可得和函數(shù),注意當(dāng)x=0時(shí)和為1.求出
和函數(shù)后,再按通常方法求極值.
【詳解】
/(x)=£(-1)十=_1T.
n=\1+X
上式兩邊從0到x積分,得
12
/(X)-/(0)=-f7V//=-2ln(l+x).
1+r2
由f(O)=i,得
/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).
令尸(x)=0,求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于
/"(0)=-1<0,
可見(jiàn)f(x)在x=0處取得極大值,且極大值為
f(O)=l.
【評(píng)注】求和函數(shù)?般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的兒何級(jí)
數(shù)情形,然后再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù).
七、(本題滿分9分)
設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-oo,+oo)內(nèi)滿足以下條件:
f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2e*.
(3)求F(x)所滿足的一階微分方程;
(4)求出F(x)的表達(dá)式.
【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù),提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo),并將其
余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示,導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程,然后再求解相應(yīng)的微分方程.
【詳解】⑴由
F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
=g2M+f2(x)
=[fM+g(x)]2-2f(x)g(x)
=(2e")2-2F(x),
可見(jiàn)F(x)所滿足的一階微分方程為
F'(x)+2F(x)=4e2x.
⑵F(x)=e件[f4e2x-dx+C]
=e-2x[^4e4xdx+C]
=e_lx+?Ce__2x
將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式,得
C=-l.
于是
F(x)=e2x-e-2x.
【評(píng)注】本題沒(méi)有直接告知微分方程,要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的
形式,從題型來(lái)說(shuō)比較新穎,但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜,仍然是基本要求的范圍.
八、(本題滿分8分)
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=L試證必存在
會(huì)(0,3),使尸《)=0.
【分析】根據(jù)羅爾定理,只需再證明存在一點(diǎn)ce[0,3),使得/(c)=l=/(3),然后
在[c,3]上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f(0)+f(l)+f(2)=3等價(jià)于/(°)+川)+/(2)=1,問(wèn)題轉(zhuǎn)
3
化為1介于f(x)的最值之間,最終用介值定理可以達(dá)到目的.
【詳解】因?yàn)閒(x)在[0,3]上連續(xù),所以f(x)在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上必有最大
值M和最小值m,于是
m</(0)<M,
m</(I)<M,
m<f(2)<M.
故
3
由介值定理知,至少存在一點(diǎn)c€[0,2]?使
/⑹二如耍?“
因?yàn)閒(c)=l=f(3),且f(x)在[c,3J上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導(dǎo),所以由羅爾定理知,必存在
"(c,3)u(0,3),使/&)=0.
【評(píng)注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是??贾R(shí)點(diǎn),且一般是兩兩結(jié)
合起來(lái)考.本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.
九、(本題滿分13分)
已知齊次線性方程組
(%+h)x}+a2x2+a3x3H-----Fanxn=0,
a[+(。2+b)x2+43X3+???+Q“尤〃=0,
<a}x]+a2x2+(%+/?)%3+???+Q“X〃=0,
axx}+a2x2+ci3x3H-----卜(冊(cè)+b)xn=0,
其“1Z"i工。試討論,。2,…,〃〃和b滿足何種關(guān)系時(shí)'
/=1
(1)方程組僅有零解;
(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí),求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.
【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零,而
系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征:所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相
加,然后提出公因式,再將第一行的(-1)倍加到其余各行,即可計(jì)算出行列式的值.
【詳解】方程組的系數(shù)行列式
a1+ba2a3????
a\%+人心??a?
閭=%a24+0?■a?
a2a3?.%+b
=人0+七%).
/=1
(1)當(dāng)〃H0時(shí)且6+f%H0時(shí),秩(A)=n,方程組僅有零解.
1=1
(2)當(dāng)b=0時(shí),原方程組的同解方程組為
a[x[4-a2x2+???+a〃x〃=0.
由#0可知,為?=1,2/-,〃)不全為零.不妨設(shè)4工0,得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)
/=1
解系為
%=(.....-,1,0,…,0),,。2=(---工…,。)丁,=(-二~,0,。,…
4為ax
當(dāng)。=—f《時(shí),有人工0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為
/=1
1=1
。2一。3
/=1
4a2a3-Xa<
i=l
a
%a23a“一£《
i=]
(將第1行的-1倍加到其余各行,再?gòu)牡?行到第n行同乘以-倍)
%
一“
%-Z%a2a3a?
(=1
-110???0
01???0
-100-??1
(將第n行-%倍到第2行的-a2倍加到第1行,再將第1行移到最后一行)
--110…0-
-101--?0
-100…1
000?-?0
由此得原方程組的同解方程組為
x2=xt,x3=X,,…,X“=X|.
原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為
【評(píng)注】本題的難點(diǎn)在匕=-時(shí)的討論,事實(shí)上也可這樣分析:此時(shí)系數(shù)矩陣的
/=1
秩為n-1(存在n-1階子式不為零),且顯然a=(1,1,…J)7"為方程組的一個(gè)非零解,即可作
為基礎(chǔ)解系.
十、(本題滿分13分)
設(shè)二次型
T
f(xl,x2,xi)-XAX=ax:+2x;-2x;+2bx/3s>0),
中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.
(3)求a,b的值;
(4)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.
【分析】特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和,特征值之積為A的行列式,由此可
求出a,b的值;進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量,并將相同特征值的特征向量正交化(若
有必要),然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.
【詳解】(1)二次型f的矩陣為
a0b
A=020.
b0-2_
設(shè)A的特征值為%(i=1,2,3).由題設(shè),有一
4+4,+4=a+2+(—2)-1,
a0b
444=020=—4a—2b2=—12.
b0-2
解得a=l,b=-2.
(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式
2-10-2
\AE-A|=02-20=(4-2)2(/1+3),
-202+2
得A的特征值4=兒=2,=-3.
對(duì)于4=%=2,解齊次線性方程組QE-4)x=0,得其基礎(chǔ)解系
。=(2,0,1尸,^2=(0,1,0/.
對(duì)于4=-3,解齊次線性方程組(-3£-A)x=0,得基礎(chǔ)解系
芻=(1,0,-2)1
由于芻看2,芻已是正交向量組,為了得到規(guī)范正交向量組,只需將142右3單位化,由此
得
令矩陣
21
o
一
君
后
Q辰-O10
-23-
-2
1o
一
V5V5
則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下,有
'200'
。7。=020,
00一3
且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為
/=24+234.
【評(píng)注】本題求a,b,也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式,再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:
二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為
X—ci0-h
\AE-=0/L-20=(/I-2)[/l2-(a-2)2~(2a+b2)].
-b02+2
設(shè)A的特征值為4,4,4,則4=2,4+4=4-2,丸24=—(2a+02).由題設(shè)得
4+丸2+4=2+(4—2)=1,
44243=—2(2。+匕2)=—12.
解得a=l,b=2.
十一、(本題滿分13分)
設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為
,若尤w[1,8],
/(幻=
其他;
F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).
【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式,從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y的
分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍(0<F(X)<1),再對(duì)y分段討論.
【詳解】易見(jiàn),當(dāng)xvl時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>8時(shí),F(xiàn)(x)=l.
對(duì)于xc[l,8],有
F(x)t-\[x-1.
設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然,當(dāng)y<0時(shí),G(y)=0;當(dāng)y21時(shí),G(y)=l.
對(duì)于yw[O,l),有
G(y)=P{y4y}=PS(X)Vy}
=P{^X-\<y}=P{X4(),+探}
=fl(y+l)3]=y.
于是,Y=F(X)的分布函數(shù)為
0,若y<0,
G(y)=-y,^0<y<l,
1,若
【評(píng)注】事實(shí)上,本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可,此時(shí)Y=F(X)仍服從均勻分布:
當(dāng)y<0時(shí),G(y)=0;
當(dāng)yNl時(shí),G(y)=l;
當(dāng)04y<1時(shí),G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<y]
=P{X<F-l(y)}
=F(F-'(y))=y.
十二、(本題滿分13分)
設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為
(12)
X~,
(0.30.7J
而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).
【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,?般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X
只有兩個(gè)可能的取值,求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為
G(u)=P{X+Y<u}
=Q.3P[X+Y<u\X=l}+0.7P{X+r<M|X=2}
=0.3P{K<M-1|X=l}+0.7P{y<M-2|X=2}.
由于X和Y獨(dú)立,可見(jiàn)
G(u)=<M-1}+0.1P[Y<M-2}
=0.3F(M-1)+0.7F(M-2).
由此,得u的概率密度
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