考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題_第1頁(yè)
考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題_第2頁(yè)
考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題_第3頁(yè)
考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題_第4頁(yè)
考研數(shù)三(歷年真題+答案詳解)之-2003至2013年真題_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩166頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)

21若x工Q

⑴設(shè)/(x)=4xC0S7'X'其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù),則2的取值范圍是_____.

0*若x=0,

(2)已知曲線〉=/一342了+/,與x軸相切,則〃2可以通過(guò)a表示為從=.

Q才‘0<JV<1

(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=\二L一'而D表示全平面,則

[0,其他,

1=^f(x)g(y-x)dxdy=------.

D

(4)設(shè)n維向量a=(〃,0,…。GlovO;E為n階單位矩陣,矩陣

A=E-aaT,B=E+—aaT,

a

其中A的逆矩陣為B,則2=.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,X”Xz,…,X”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣

I?

本,則當(dāng)〃―8時(shí),工=一依概率收斂于.

?,=1

二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有?

項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù),且廣(0)存在,則函數(shù)g(x)=/^

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.|]

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(/,先)取得極小值,則下列結(jié)論正確的是

(A)/(而,〉)在y=>0處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/'(入0,〉)在y=%處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(了0,》)在y=處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(工0,》)在y=為處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[]

a?+\a,\a?-a?

(3)設(shè)p“=」2口,q”=2,〃=1,2,…,則下列命題正確的是

(A)若fa,條件收斂,則£>“與£縱都收斂?

n=ln=l/?=!

則£>“與£縱都收斂?

(B)若.絕對(duì)收斂,

”=1H=1/1=1

若£明條件收斂,則£p“與斂散性都不定.

(C)

M=1n=ln=l

若£明絕對(duì)收斂,則與£縱斂散性都不定.

(D)]

?=|"=1〃=】

abb

(4)設(shè)三階矩陣A=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bH0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aHb且a+2bH0.

(5)設(shè)4,a2,4均為n維向量,下列結(jié)論不正確的是

(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占,心,…,右,都有匕%+公。2+…#0,

則%,。2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān).

(B)若必,22,…,見(jiàn)線性相關(guān),則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)匕,七,…,龜,都有

k}a}+k2al4----1-ksas-0.

(C)%,a2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)4,a2,…,4線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).IJ

(6)將?枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次,引進(jìn)事件:4={擲第一次出現(xiàn)正面},42={擲第二次

出現(xiàn)正面},4={正、反面各出現(xiàn)一次},44={正面出現(xiàn)兩次},則事件

(A)A],A2,A3相互獨(dú)立.(B)A2,A3,A4相互獨(dú)立.

(OA,4,4兩兩獨(dú)立.①)&,43,人4兩兩獨(dú)立.[]

三、(本題滿分8分)

設(shè)

,/、111J八

/(X)=---h-------------7,Xe[不1).

7txsinGzr(l-x)2

試補(bǔ)充定義f(l)使得f(x)在gj上連續(xù).

四、(本題滿分8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足°?+嗎=1,又g(x,y)=〃孫」(J一y2升,

dudv2

五、(本題滿分8分)

計(jì)算二重積分

I=J)sin,+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D={(x,〉)—+y2<萬(wàn)}.

六、(本題滿分9分)

求幕級(jí)數(shù)1+£(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

?=i2n

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-00,+oo)內(nèi)滿足以下條件:

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\

(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;

(2)求出F(x)的表達(dá)式.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.試證必存在

《€(0,3),使/《)=0.

九、(本題滿分13分)

己知齊次線性方程組

(0,+b)xt+a2x2+a3x3+---+anxn=0,

“內(nèi)+(a2+b)x2+a3x3H-----Fanxn=0,

\alxi+a2x2+(%+b)x3+---+anxn=0,

+a2x2+ayx3+■??+(??+b)xn=0,

其中£卬Ho.試討論外,。2和b滿足何種關(guān)系時(shí),

>=1

(1)方程組僅有零解;

(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí),求此方程組的?個(gè)基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

1;

/(X),x2,x3)=XAX=ax:+2x-2xf+2bxxxy{b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(1)求a,b的值;

(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

十一、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

,若xe[l,8],

/(x)=

其他;

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).

十二、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為

x~r21,

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)

21若X工0

(1)設(shè)/5)=廣‘os],二’其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù),則4的取值范圍是4>2.

o若尤=0,

【分析】當(dāng)可直接按公式求導(dǎo),當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).

【詳解】當(dāng)幾>1時(shí),有

r?、cos工+x,-2si/,若xH0,

fM=\/

x0,若x=0,

顯然當(dāng)4>2時(shí),有l(wèi)im/'(x)=0=/'(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).

x->0

(2)已知曲線y=Y—3/x+b與x軸相切,則。2可以通過(guò)a表示為/=之.

【分析】曲線在切點(diǎn)的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件,

再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零,即可找到b2與a的關(guān)系.

【詳解】由題設(shè),在切點(diǎn)處有

y'=3x2—3a2=0.有x:=a2.

又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0,于是有

0=X;-3。%+%=0,

故b?=x:(342—X:尸=a??4a4=4〃6.

【評(píng)注】有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件,同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.

%苔0<t<]

(3)設(shè)a>0,/(x)=g(x)=1一’而D表示全平面,則

[0,其他,

/=JJ7(x)g(y_x)dxdy=色.

D

【分析】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?,但只有?dāng)04x41,04y-x?l時(shí),被積函數(shù)才不

為零,因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.

【詳解】/=J,(x)g(y-x)dxdy=jja2dxdy

【評(píng)注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零,則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積

函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.

(4)設(shè)n維向量二=(〃。…,0,幻7,〃<0;E為n階單位矩陣,矩陣

A-E-aar,B=E-\--aar?

a

其中A的逆矩陣為B,則a=-1.

【分析】這里aa7■為n階矩陣,而ara=2/為數(shù),直接通過(guò)A5=E進(jìn)行計(jì)算并

注意利用乘法的結(jié)合律即可.

【詳解】由題設(shè),有

AB=(E-aa7)(E+—aaT)

a

7*1T1TT

-E-aa+—aa---aa?aa

aa

=E-aar+—aaT--a(aTa)a1

aa

=E-aar+—aaT-2aaaT

a

1

=E+(—1—2。4—)ococT—E,

a

于是有一1一2。+工=0,即2q2+a—1=0,解導(dǎo)。=」,“=一1.由于人<0,故2=-1.

a2

(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為

0.9.

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.

【詳解】因?yàn)?/p>

cov(y,z)=cov(r,x-0.4)=£[(y(x-0.4)]-E(Y)E(X-0.4)

=£(%y)-0.4£(y)-E(Y)E(X)+0.4£(r)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且DZ=DX.

于是有3=等"詈號(hào)2―=0.9.

4DY4DZ4DX4DY

【評(píng)注】注意以下運(yùn)算公式:D(X+a)=DX,cov(X,V+a)=cov(X,y).

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,X1,X2,…,X”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣

1n1

本,則當(dāng)〃->8時(shí)-,匕=—依概率收斂于一.

【分析】本題考查大數(shù)定律:一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量

X”X2,…,x“,當(dāng)方差一致有界時(shí)?,其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值:

I?p1fl

-£XjT—^EXj(n—>oo).

【詳解】這里X:,X;,…,X;滿足大數(shù)定律的條件,且EX;=DXi+(EXj2=

-+(-)2=-,因此根據(jù)大數(shù)定律有

422

1?1〃I

2

Yn=-YX,依概率收斂于一£EX;=—.

?,=1〃i=l2

二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一

項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù),且尸(0)存在,則函數(shù)g(x)=£@

x

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.[D]

【分析】由題設(shè),可推出f(0)=0,再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.

【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn),且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知,f(0)=0.

于是有l(wèi)img(x)=lim/?=lim'」-"°)=廣(0)存在,故x=0為可去間斷點(diǎn).

【評(píng)注1】本題也可用反例排除,例如f(x)=x,則此時(shí)g(x)=2=F'**°'可排除

x[0,x=0,

(A),(B),(C)三項(xiàng),故應(yīng)選(D).

【評(píng)注2】若f(x)在x=x0處連續(xù),則1曲2至=Ao/(Xo)=0,/'(Xo)=A-

Xf"X-Xa

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x。,%)取得極小值,則下列結(jié)論正確的是

(A)/(入0,〉)在y=凡處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(%,切在y=%處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(了0,〉)在y=>0處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(%0,)>)在y=為處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[A]

【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在,再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.

【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(%,%)取得極小值,根據(jù)取極值的必要條件知

/;(%,汽)=0,即/*0,〉)在》=外處的導(dǎo)數(shù)等于零,故應(yīng)選(A).

【評(píng)注1】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義,八/,田在^=外處的導(dǎo)數(shù)即火(飛,打);而

/(3,%)在%=/處的導(dǎo)數(shù)即f^x0,y0).

【評(píng)注2】本題也可用排除法分析,取/(x,y)=/+y2,在(0,0)處可微且取得極小

值,并且有/(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正確選項(xiàng)為(A).

a?+|a?|a?-k?|

⑶設(shè)必=,2%q"=2'…'則下列命題正確的是

(A)若£a,條件收斂,則Zpn與£q”都收斂.

〃=1n=l〃=1

QO800

(B)若z%絕對(duì)收斂,則SPn與£q”都收斂.

n=ln=l"=1

(C)若£對(duì)條件收斂,則£p?與£心斂散性都不定.

”=1n=\n=l

88OP

(D)若Z%絕對(duì)收斂,貝“與"斂散性者B不定.[B]

?=171=1/1=1

【分析】根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.

【詳解】若絕對(duì)收斂,即收斂,當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂,再根據(jù)

”=1〃=1〃=1

Q+4Ia—\dI產(chǎn),

p“="?",q”及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知,ZP"與都收斂,故應(yīng)選

22"=1n=l

(B).

abb

(4)設(shè)三階矩陣4=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bha

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b#0.

(C)a0b且a+2b=0.(D)aHb且a+2b00.[C]

【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說(shuō)明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.

【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知,秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2b)(a—b)2=0.即有a+2b=0或a=b.

bba

但當(dāng)a=b時(shí),顯然秩(A)H2,故必有awb且a+2b=0.應(yīng)選(C).

【評(píng)注】n(n?2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系:

n,r(A)=n,

r(A*)--1,r(A)-n-1,

O,r(A)<?-l.

(5)設(shè)%均為n維向量,下列結(jié)論不正確的是

(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占,左2,…,幻,都有占%+寸2%+…+冗4H0,

則名,火,…,a,線性無(wú)關(guān).

(B)若%,4線性相關(guān),則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占?2,…,右,都有

k1%+k2a24----1-k、a*=0.

(C)%,a2,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)%,a2,…,a,線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).[B]

【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解,以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等

價(jià)表現(xiàn)形式.應(yīng)注意是尋找不正確的命題.

【詳解】(A):若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占也,…,九,都有

kiai+k2a2+---+ksas0.則ai,a2,---,as必線性無(wú)關(guān),因?yàn)槿羟?。?,…,線性相關(guān),

則存在一組不全為零的數(shù)匕,心,…,⑥,使得3+%2a2+…+£a,=0,矛盾.可見(jiàn)(A)

成立.

(B):若%,a?,…,a,線性相關(guān),則存在一組,而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)

ki,k2,---,ks,klal+k2a2+???+ksas=0.(B)不成立.

(C)4,…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)則此向量組的秩為s;反過(guò)來(lái),若向量組鬼的秩

為s,則%,%,…,4線性無(wú)關(guān),因此(C)成立.

(D)%,。2,…,4線性無(wú)關(guān),則其任一部分組線性無(wú)關(guān),當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)

關(guān),可見(jiàn)(D)也成立.

綜上所述,應(yīng)選(B).

【評(píng)注】原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如,原命題:若存在一組不全為零的數(shù)

占,火2,…人,使得kI%+%2a2+…+&"=0成立,則%,。2,…,見(jiàn)線性相關(guān).其逆否

命題為:若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)4,左2,…,左,都有占四+左2a2+…+&a,關(guān)0,

則%,。2,…,4線性無(wú)關(guān).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等

價(jià)性.

(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次,引進(jìn)事件:A={擲第一次出現(xiàn)正面},42={擲第二次

出現(xiàn)正面},43={正、反面各出現(xiàn)一次},兒={正面出現(xiàn)兩次},則事件

(A)4,42,4相互獨(dú)立.(B)42,4,人4相互獨(dú)立.

(C)4,42,43兩兩獨(dú)立.(D)&,43,44兩兩獨(dú)立.[C]

【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可,注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立,若成

立,再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.

【詳解】因?yàn)?/p>

p(A)=g,P(4)=pP(&)=g,P(&)=;,

且P(A4)=;,P(A|4)=:,P(A2A3)=:,P(444)=:P(A44)=0,

可見(jiàn)有

「(A1A2)=P(A)P(A2),P(A1A3)=P(A)P(A3),P(A2A3)=P(A2)P(4),

尸(A44)wP(A)P(A2)P(4),尸(A2A4)HP(A2)P(A4).

故A,A2,A3兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立;A2,A3,A4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立,應(yīng)選(C).

【評(píng)注】本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的,否則結(jié)論不一定成立.

三、(本題滿分8分)

設(shè)

//、111」,、

/(%)=——+-------------£匚])?

71XSin欣7T(1-X)2

試補(bǔ)充定義f(l)使得f(x)在上連續(xù).

【分析】只需求出極限lim/(x),然后定義f(l)為此極限值即可.

【詳解】因?yàn)?/p>

limf(x)=lim[—+—--------!---]

x—rxf7ixsin^x

11..乃(l-x)-sinK

=—+—lim---------;------

7t乃(1-x)sin^x

11「-7T-7TCOS71X

=—+—lim-----------------------

7171Xf「-sin依+(1-X)7TCOS71X

117r2sinG

=—+—lim-------------------------------------------------

71乃Xfl-COSTlx-71COS71X-(1-X)7t~sin^X

71

由于f(x)在6,1)上連續(xù),因此定義

71

使f(x)在±1]上連續(xù).

2

【評(píng)注】本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問(wèn)題,但以這種形式表現(xiàn)出來(lái),還考查了連續(xù)的概念.

在計(jì)算過(guò)程中,也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求yf0+的極限,可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.

四、(本題滿分8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足駕+駕=1,又g(x,y)=f[xy,-(x2-y2)],

dudv2

求駕+駕.

dx2dy~

【分析】本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題:g=/(〃-),〃=xy#=一y?),

直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可,注意利用"=2上.

dudvdvdu

df紅

【詳解】-y-------Fx

dudv'

/V

=-x------y

dudv

22工

a2g2a7df2更

故二-+2孫——+x

dx2y"dudvdv2dv,

a2g“彎d2f2d2f/

-2xy——+y

dy2du2dvdudv2dv

32g?2)以、也

a2g222

所以=(x+y■+U+yJ2

dx2②2du2dv

22

=x+y

【評(píng)注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).

五、(本題滿分8分)

計(jì)算二重積分

1=We(x+y2~ff)sin(x2+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D={(X,y)|x2+y2〈萬(wàn)}.

【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出,應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】作極坐標(biāo)變換:x=rcos0,y=rsind,有

1=eK(x+y2)sin(尤2+y2)dxdy

D

-en『『re"sinr~dr,

令£=/,則

I=7ien/e~lsintdt.

記A=£e_/sintdt,則

A=-^e~/intde1

=-[e~fsinr-Ce~fcostdt]

0J)

=-£costde~l

=-[e~lcosr0+/e1sin,力]

3+1-A.

因此A=g(l+e-"),

j7teJ7i八

/=-(1+e")=7(l+e").

22

【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型,明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,在將二重積分化為定積

分后,再通過(guò)換元與分步積分(均為最基礎(chǔ)的要求),即可得出結(jié)果,綜合考查了二重積分、

換元積分與分步積分等多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).

六、(本題滿分9分)

求基級(jí)數(shù)1+£(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

”=12〃

【分析】先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和,再積分即可得和函數(shù),注意當(dāng)x=0時(shí)和為1.求出

和函數(shù)后,再按通常方法求極值.

【詳解】

/(x)=£(-1)十=_1T.

n=\1+X

上式兩邊從0到x積分,得

12

/(X)-/(0)=-f7V//=-2ln(l+x).

1+r2

由f(O)=i,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令尸(x)=0,求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于

/"(0)=-1<0,

可見(jiàn)f(x)在x=0處取得極大值,且極大值為

f(O)=l.

【評(píng)注】求和函數(shù)?般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的兒何級(jí)

數(shù)情形,然后再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù).

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-oo,+oo)內(nèi)滿足以下條件:

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2e*.

(3)求F(x)所滿足的一階微分方程;

(4)求出F(x)的表達(dá)式.

【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù),提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo),并將其

余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示,導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程,然后再求解相應(yīng)的微分方程.

【詳解】⑴由

F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

=g2M+f2(x)

=[fM+g(x)]2-2f(x)g(x)

=(2e")2-2F(x),

可見(jiàn)F(x)所滿足的一階微分方程為

F'(x)+2F(x)=4e2x.

⑵F(x)=e件[f4e2x-dx+C]

=e-2x[^4e4xdx+C]

=e_lx+?Ce__2x

將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式,得

C=-l.

于是

F(x)=e2x-e-2x.

【評(píng)注】本題沒(méi)有直接告知微分方程,要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的

形式,從題型來(lái)說(shuō)比較新穎,但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜,仍然是基本要求的范圍.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=L試證必存在

會(huì)(0,3),使尸《)=0.

【分析】根據(jù)羅爾定理,只需再證明存在一點(diǎn)ce[0,3),使得/(c)=l=/(3),然后

在[c,3]上應(yīng)用羅爾定理即可.條件f(0)+f(l)+f(2)=3等價(jià)于/(°)+川)+/(2)=1,問(wèn)題轉(zhuǎn)

3

化為1介于f(x)的最值之間,最終用介值定理可以達(dá)到目的.

【詳解】因?yàn)閒(x)在[0,3]上連續(xù),所以f(x)在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上必有最大

值M和最小值m,于是

m</(0)<M,

m</(I)<M,

m<f(2)<M.

3

由介值定理知,至少存在一點(diǎn)c€[0,2]?使

/⑹二如耍?“

因?yàn)閒(c)=l=f(3),且f(x)在[c,3J上連續(xù),在(c,3)內(nèi)可導(dǎo),所以由羅爾定理知,必存在

"(c,3)u(0,3),使/&)=0.

【評(píng)注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是??贾R(shí)點(diǎn),且一般是兩兩結(jié)

合起來(lái)考.本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.

九、(本題滿分13分)

已知齊次線性方程組

(%+h)x}+a2x2+a3x3H-----Fanxn=0,

a[+(。2+b)x2+43X3+???+Q“尤〃=0,

<a}x]+a2x2+(%+/?)%3+???+Q“X〃=0,

axx}+a2x2+ci3x3H-----卜(冊(cè)+b)xn=0,

其“1Z"i工。試討論,。2,…,〃〃和b滿足何種關(guān)系時(shí)'

/=1

(1)方程組僅有零解;

(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí),求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零,而

系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征:所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相

加,然后提出公因式,再將第一行的(-1)倍加到其余各行,即可計(jì)算出行列式的值.

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

a1+ba2a3????

a\%+人心??a?

閭=%a24+0?■a?

a2a3?.%+b

=人0+七%).

/=1

(1)當(dāng)〃H0時(shí)且6+f%H0時(shí),秩(A)=n,方程組僅有零解.

1=1

(2)當(dāng)b=0時(shí),原方程組的同解方程組為

a[x[4-a2x2+???+a〃x〃=0.

由#0可知,為?=1,2/-,〃)不全為零.不妨設(shè)4工0,得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)

/=1

解系為

%=(.....-,1,0,…,0),,。2=(---工…,。)丁,=(-二~,0,。,…

4為ax

當(dāng)。=—f《時(shí),有人工0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為

/=1

1=1

。2一。3

/=1

4a2a3-Xa<

i=l

a

%a23a“一£《

i=]

(將第1行的-1倍加到其余各行,再?gòu)牡?行到第n行同乘以-倍)

%

一“

%-Z%a2a3a?

(=1

-110???0

01???0

-100-??1

(將第n行-%倍到第2行的-a2倍加到第1行,再將第1行移到最后一行)

--110…0-

-101--?0

-100…1

000?-?0

由此得原方程組的同解方程組為

x2=xt,x3=X,,…,X“=X|.

原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

【評(píng)注】本題的難點(diǎn)在匕=-時(shí)的討論,事實(shí)上也可這樣分析:此時(shí)系數(shù)矩陣的

/=1

秩為n-1(存在n-1階子式不為零),且顯然a=(1,1,…J)7"為方程組的一個(gè)非零解,即可作

為基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

T

f(xl,x2,xi)-XAX=ax:+2x;-2x;+2bx/3s>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(3)求a,b的值;

(4)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

【分析】特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和,特征值之積為A的行列式,由此可

求出a,b的值;進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量,并將相同特征值的特征向量正交化(若

有必要),然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.

【詳解】(1)二次型f的矩陣為

a0b

A=020.

b0-2_

設(shè)A的特征值為%(i=1,2,3).由題設(shè),有一

4+4,+4=a+2+(—2)-1,

a0b

444=020=—4a—2b2=—12.

b0-2

解得a=l,b=-2.

(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式

2-10-2

\AE-A|=02-20=(4-2)2(/1+3),

-202+2

得A的特征值4=兒=2,=-3.

對(duì)于4=%=2,解齊次線性方程組QE-4)x=0,得其基礎(chǔ)解系

。=(2,0,1尸,^2=(0,1,0/.

對(duì)于4=-3,解齊次線性方程組(-3£-A)x=0,得基礎(chǔ)解系

芻=(1,0,-2)1

由于芻看2,芻已是正交向量組,為了得到規(guī)范正交向量組,只需將142右3單位化,由此

令矩陣

21

o

Q辰-O10

-23-

-2

1o

V5V5

則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下,有

'200'

。7。=020,

00一3

且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

/=24+234.

【評(píng)注】本題求a,b,也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式,再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:

二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為

X—ci0-h

\AE-=0/L-20=(/I-2)[/l2-(a-2)2~(2a+b2)].

-b02+2

設(shè)A的特征值為4,4,4,則4=2,4+4=4-2,丸24=—(2a+02).由題設(shè)得

4+丸2+4=2+(4—2)=1,

44243=—2(2。+匕2)=—12.

解得a=l,b=2.

十一、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

,若尤w[1,8],

/(幻=

其他;

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).

【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式,從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y的

分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍(0<F(X)<1),再對(duì)y分段討論.

【詳解】易見(jiàn),當(dāng)xvl時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>8時(shí),F(xiàn)(x)=l.

對(duì)于xc[l,8],有

F(x)t-\[x-1.

設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然,當(dāng)y<0時(shí),G(y)=0;當(dāng)y21時(shí),G(y)=l.

對(duì)于yw[O,l),有

G(y)=P{y4y}=PS(X)Vy}

=P{^X-\<y}=P{X4(),+探}

=fl(y+l)3]=y.

于是,Y=F(X)的分布函數(shù)為

0,若y<0,

G(y)=-y,^0<y<l,

1,若

【評(píng)注】事實(shí)上,本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可,此時(shí)Y=F(X)仍服從均勻分布:

當(dāng)y<0時(shí),G(y)=0;

當(dāng)yNl時(shí),G(y)=l;

當(dāng)04y<1時(shí),G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<y]

=P{X<F-l(y)}

=F(F-'(y))=y.

十二、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,其中X的概率分布為

(12)

X~,

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,?般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X

只有兩個(gè)可能的取值,求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù),則由全概率公式,知U=X+Y的分布函數(shù)為

G(u)=P{X+Y<u}

=Q.3P[X+Y<u\X=l}+0.7P{X+r<M|X=2}

=0.3P{K<M-1|X=l}+0.7P{y<M-2|X=2}.

由于X和Y獨(dú)立,可見(jiàn)

G(u)=<M-1}+0.1P[Y<M-2}

=0.3F(M-1)+0.7F(M-2).

由此,得u的概率密度

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論