專題4：阿氏圓練習(xí)

專題4阿氏練習(xí)P為0CP為0C上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,()D.2歷DO1ACAP-ACPI)I一一-AP=I>P1jAlVBF^DP+Bl^BD^S2專題小結(jié)：所謂阿圓，就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，這個(gè)圓，稱為阿1 I波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿圓.其本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲■ I:馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似.1.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=7,CA=9,OC半徑為3,BP,則|ap+BP的最小值為A.7 B.5邁 C.4+帀的最小值為 BC的最小值為 BC2.如圖，在RtAABC中，CB=4,CA=5,OC半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP,則AP+±BP作(：D=vBC=14.ACBP-ACTD1￡BP|AP=I?P-AP>/\]>=2623.如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2血內(nèi)切圓O上一動(dòng)點(diǎn)P,連接AP.DP,則AP+^PD的最小值為

BP+*CP的最小值為 4易対K.'O—養(yǎng)()11-2fl-IAODP-AOPC1P11--PCPC=BP+DP>BD=V21￡5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M(6,3),N(10,0),A(5,0),BP+*CP的最小值為 4易対K.'O—養(yǎng)()11-2fl-IAODP-AOPC1P11--PCPC=BP+DP>BD=V21￡5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M(6,3),N(10,0),A(5,0),點(diǎn)P為以O(shè)A為半徑的圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+|PN的最小值為 <2AOPB-AONPPB=|p>I N5PM+-PN>BM=^-￡ 土6.(反向操作)如圖，ZAOB=90°,OA=OB=1，圓O的半徑為邁，P是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，求P4+；2PB的最小值.點(diǎn)在團(tuán)內(nèi)，應(yīng)向捷作建松OH樂(lè)點(diǎn)(A(：<)=2()?=2OPOC，-丄oc-o|i"/2^A01aB-AO<PPA4IPIJ-PA+PC^^O.-S的最小值.DZ)點(diǎn)在盟內(nèi)，反向操作DZ)延長(zhǎng)04卒一點(diǎn)K,EOMOA=12Ol1OAI辰二而電皿皿心枠21壯+PB=E‘E+PE=138.(2019日照)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸,y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；⑵若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積⑶如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的?B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),PC+1PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由(2)S=_]d-■|>,m=3,即M(3,-4)時(shí),四邊形AMBC面積最大,最大面積等于18

9.(2017蘭州)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn),直線AC：y=-丄x-6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF丄x軸交AC2于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為?E上一動(dòng)點(diǎn)，求1AM+CM它的最小值.10.拋物線旳解析式為y二-戲-加+4的最小值.10.拋物線旳解析式為y二-戲-加+4:.E(一2’0).H(0,-1);(2016?濟(jì)南)如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(aHO)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,于點(diǎn)B,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PM丄AB于點(diǎn)M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)APMN的周長(zhǎng)為C1,^AEN的周長(zhǎng)為C2,若長(zhǎng)，求m的值;(3)(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)APMN的周長(zhǎng)為C1,^AEN的周長(zhǎng)為C2,若長(zhǎng)，求m的值;(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a求ea+Zee的最小值.3yti<90°),連接E'A、E'B,直線腫解析式為尸.4BEOEA由unmszne’推出輕列出方程閒可is決問(wèn)題.AN5創(chuàng)丄ABtPE丄CM,〔P昭=厶4；厶化\胃二厶l,Ur?-V6 、卜：WAE~B~OA"Vy(4-m)d4析式卻二-加十頭+九4 4.F、――'—ft\'■——/rt+弓一[——jri—j}———rfi"-.斗4 斗^ 4■ _匕扌(4-碼亍斛f!F/n=2.fl.訓(xùn)由丨取-點(diǎn)性辱門訂二扌辻按恥〕1仁訶|取—.加「佚得儀『二處一BM2A()VrE,-A()BE,^>-ETB=MtEt藪AETITK,lt=AET+Vri7>AMT=TH.（2。18?東臺(tái)市一模）如圖，拋物線y-討B(tài)X+C（B為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為16（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo);（2）已知點(diǎn)M（m,0）是線段與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為16（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo);（2）已知點(diǎn)M（m,0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線1分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，ABDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?（3）在（2）問(wèn)條件下，當(dāng)ABDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M，將OM，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0。到90°之間）；①探究：線段0B上是否存在定點(diǎn)P（P不與。、B重合），無(wú)論0N如何旋轉(zhuǎn)，墻始終保持不變，若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;（na+3nb）的最小值.4②試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,⑵:點(diǎn)M（mf0）「過(guò)點(diǎn)翊乍疋軸的垂線0分別與直線肋和拋物線交干認(rèn)E兩點(diǎn)「、Qm勲十學(xué)），當(dāng)QE為底時(shí)「9j如盟】，作*&丄DE\Gr.WHAGGD*0 y,■.DM-DG-GMOB..「1帚1 「4U16血169 3 2 9 9 3 9B3麗1彳叮：in\~-4/ —0（不介題贏，舍如|.，當(dāng)秋二7時(shí)'△砲弗好是以0總為底邊的等腰三角形:⑶①存在「如圖2.OB-—3■：or-av3?OP=-OJ\T=-X4=3r4 4鈔“a以O(shè)為畫(huà)》斗為半徑的半回上「由CALL24的民值二再貝十a(chǎn)屮』4A,.屮二點(diǎn)共注「WA^NB）的最小值二你蒔=3<??阿波羅尼斯圓在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見(jiàn)識(shí)了“kPA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.所謂“阿氏圓"，是指由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的圓的概念，在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的點(diǎn)的集合叫做圓.【在初中階段的應(yīng)用】阿氏圓主要應(yīng)用于求系數(shù)不相同的線段和的最小值【基本解法】構(gòu)造相似阿氏圓一般解題步驟：PC+kPD1、 連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接OP、OD;2、 計(jì)算出所連接的兩條線段OP、0D長(zhǎng)度3、計(jì)算兩條線段長(zhǎng)度的比OP ；=mOD4、 在0D上取點(diǎn)M使得om；=mOP5、 連接CM,與圓0的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.【例題】(2017?南山十校聯(lián)考)如圖，若00的半徑為，PO=,MO=2,ZPOM=90°，點(diǎn)Q在00上運(yùn)動(dòng)，求PQ+QM的最小值.【簡(jiǎn)釋】：連接QO、QM,有OQ=乜，在OM上取M'吏得QM=12OM2 oq~2顯然有△QM'O?△MQO，AQM'=QM???PQ+QMNPM'==00的半徑為4，P為00上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值.(2)如圖，00是正方形ABCD的內(nèi)切圓，AB=4,點(diǎn)P是00上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+DP的最小值是 變式：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，其內(nèi)切圓上有一點(diǎn)E，求DE+AE的最小值(3)如圖，AB=BD=2AC=2,AC、BD分別切半圓于A、B,求CF+DF的最小值(4)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,P是BD上一點(diǎn)，BG丄AP,點(diǎn)M、N分別是線段CD、BC的中點(diǎn),求NG+MG的最小值.(5)正方形(5)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,以D為圓心，2為半徑作圓求2BE+AE的最小值此時(shí)△ABE的面積￡1￡1(6)菱形ABCD邊長(zhǎng)為2,ZABC=60°，圓A的半徑為3,BC與圓相切于點(diǎn)E,點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PB+lfpD的最小值專題小結(jié)：所謂阿圓，就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿圓.其本質(zhì)就是通過(guò)構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似.

(7)【結(jié)合隱形圓】已知A(4,0),B(0,4),C(8,0),D(6,4),點(diǎn)P是\AOB外部第一象限一動(dòng)點(diǎn)，ZBPA=135°，求2PD+PC的最小值【點(diǎn)在圓內(nèi)，反向操作】(8)如圖，圓0半徑為2,AO=BO=1,ZAOB=90°，求BP+2AP的最小值

練習(xí)】1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C,分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則-PA+PB的最小值為 .22.如圖，在AABC中，ZACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是3.如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓