專題14 排列組合真題匯編與預(yù)賽典型例題(解析版)

全國(guó)高中數(shù)學(xué)歷屆（2009-2019）聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編專題14排列組合真題匯編與預(yù)賽典型例題全國(guó)聯(lián)賽真題1．【2019年全國(guó)聯(lián)賽】將6個(gè)數(shù)2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0），則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .【答案】498【解析】所有首位非0的8位數(shù)：6!-5！2、0相鄰的不同8位數(shù)：土51-411、 9相鄰的不同8位數(shù)：，：2、 0與1、9均相鄰的不同8位數(shù)：」故所求的8位數(shù)個(gè)數(shù)為： ^ .（百！一5!〕一嚴(yán)-寧+圭=4982．【2011年全國(guó)聯(lián)賽】現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，每人只參加一個(gè)項(xiàng)目.則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為 （用數(shù)字作答）.【答案】15000【解析】由題意知滿足條件的方案有兩種情形：1?有一個(gè)項(xiàng)目有3人參加，共有EW-三応=36CC種方案；2?有兩個(gè)項(xiàng)目各有2人參加，共有 種方案.ai故所求的方案數(shù)為軽m:二二故答案為：150003、 【2017年全國(guó)聯(lián)賽】將33-33的方格表中毎個(gè)格染三種顏色之一，使得每種顏色的格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩格的顏色不同,則稱其公共邊為“分隔邊".試求分隔邊條數(shù)的最小值。【答案】56【解析】記分隔邊的條數(shù)為L(zhǎng)。首先,將方格表按圖分成三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊。17 161116一1733此時(shí)，共有56條分隔邊，即L=56。其次證明：L256。將方格表的行從上至下依次記為土，-4==,列從左至右依次記為?汀葺。行4中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為叭-丄；,列$中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為；。三種顏色分別記為?一心￡，對(duì)于一種顏色「設(shè)：「為含有「，色方格的行數(shù)與列數(shù)之和。定義⑷勺）=1類似地定義匸￡■<由于染「，色的格有：匯二個(gè),設(shè)含有「，色方格的行有a個(gè)、列有b個(gè)，貝嘰色的方格一定在這a行和b列的交叉方格中。從而，“"咒所以二、二：—！三1、、［三淀'二:3S=■y.'.c三込I二 ①由于在行丄中有嘰4；種顏色的方格，于是，至少有叭4；-】條分隔邊。類似地，在列3,中,至少有■-:條分隔邊。則】二空二門；-丄；——工工—三:；—/=二：；：；-丄；—y\—弘②面分兩種情形討論。有一行或一列所有方格同色。不妨設(shè)有一行均為6色則方格表的33列中均含有匚色的方格,又丄色方格有363個(gè)，故至少有11行含有匚色

方格.于是，H；二二一聲=匚匚由式①、③、④得L>江（tj■+?i（c2］+ -66>44439+39-66=56（2）沒有一行也沒有一列的所有方格同色.則対任意亠：乞撫均有忙一4：.：三2,\3：;三二從而，由式②知；i 66>33x4-66=66>56f=1綜上，分割邊條數(shù)的最小值為56.4．【2016年全國(guó)聯(lián)賽】給定空間中十個(gè)點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值.【答案】15【解析】以這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、所連線段為邊得一個(gè)十階簡(jiǎn)單圖G.下面證明：圖G的邊數(shù)不超過15.設(shè)圖G的頂點(diǎn)為廠，匸，?；七,共有k條邊，用“實(shí)八.；表示頂點(diǎn)「：的度.若hg；：；三5對(duì)：二一丄■」：均成立，貝狀=二二三;芯沢「：；蘭f」譏=二.假設(shè)存在頂點(diǎn)「滿足込I三七?不妨設(shè)沁'—=^^-，且［與-■<-■.均相鄰?于是，2'—之間沒有邊，否則，就形成三角形?從而，「‘n-之間恰有n條邊.對(duì)每個(gè)';X_S蘭」：；■『，至多與中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（否則，設(shè)「，與4、「：H蘭飛】。相鄰，則「—：、「：就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，這與題設(shè)條件矛盾）.從而與「、：.：,J、—■ ?匸［:之間的邊數(shù)至多為10—（化+1）=9—九.在「71+2」吟+3…」%這勺一血個(gè)頂點(diǎn)之間，由于沒有三角形，由托蘭定理，知至多有［先嚴(yán)］條邊?因此，圖G的邊數(shù)為<n+<n+(9-??)+(9-nf【2010年全國(guó)聯(lián)賽】一種密碼鎖的密碼設(shè)置是在正■邊形二一二：二"的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值0和1兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)，同時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè)相同.問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？【答案】當(dāng):;為奇數(shù)時(shí)，有產(chǎn)-：種；當(dāng)兒為偶數(shù)時(shí)，有丁-E種.【解析】對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，若相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，則在它們所在的邊上標(biāo)上；若顏色不同，則標(biāo)上乞若數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上「?于是，對(duì)于給定的點(diǎn)月1上的設(shè)置（共有4種），按照邊上的字母可以依次確定點(diǎn)<-<■上的設(shè)置?為了使得最終回到丄一時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有話”的邊都是偶數(shù)條.所以，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)「使得標(biāo)有話氐的邊都是偶數(shù)條的方法數(shù)的4倍.設(shè)標(biāo)有門的邊有】：〔匚藝；蘭二）條，標(biāo)有二的邊有二〔匚蘭■■:王寧）條.選取;:條邊標(biāo)記応的有“種方法，在余下的邊中取出二條邊標(biāo)記！的有第匚二二：種方法，其余的邊標(biāo)記二由乘法原理知共有：*二二種標(biāo)記方法.二二二『一遼、：-丄--J-1/:二丁一1.當(dāng):為偶數(shù)時(shí)，若：門，貝y式②仍然成立；若 ，則正::邊形的所有邊都標(biāo)記門，此時(shí)，只有一種標(biāo)記方法.于是，所有不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為綜上，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是：當(dāng):;為奇數(shù)時(shí)，有汀-：種；當(dāng)兒為偶數(shù)時(shí)，有琳-己種.各省預(yù)賽典型題1．【2018年廣西】把16本相同的書全部分給4名學(xué)生，每名學(xué)生至少有一本書且所得書的數(shù)量互不相同，則不同的分配方法種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）【答案】216.【解析】將16分解成四個(gè)互不相同的正整數(shù)的和有9種不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合條件的不同分配方法數(shù)為9-弋=216.【2018年安徽】把1，2,…，■「按照順時(shí)針螺旋方式排成n行n列的表格…，第一行是1，2,…，n.例123'如：孫=894.設(shè)2018在人血的第i行第j列，則（i,j）= .1.765-【答案】（34，95）【解析】設(shè)H＜丸，則二典的第k行第k列元素是:-七口二二.因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.故答案為：（34，95）【2018年湖南】從-3、-2、-1、0、1、2、3、4八個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)J ： ?二二-的系數(shù)?若二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且其頂點(diǎn)在第一象限或第三象限，這樣的二次函數(shù)有 個(gè).答案】24解析】可將二次函數(shù)分為兩大類：一類頂點(diǎn)在第一象限；另一類頂點(diǎn)在第三象限，然后由頂點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)分別考查.因?yàn)閳D象過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以c=0.故二次函數(shù)可寫成二「二—“的形式.所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一 壬〕.若頂點(diǎn)在第一象限，則有三:—三:故“匚匕因此，這樣的二次函數(shù)有七土=工個(gè).若頂點(diǎn)在第三象限，則有一二，：：■：；一二，：：匚故匸：：：，：』：-〉■：.這樣的二次函數(shù)有立=二個(gè).由加法原理知，滿足條件的二次函數(shù)共有社七-七二其個(gè).故答案為：24【2018年湖南】（岡+古一2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .【答案】-20【解析】因?yàn)榘藦S亠：.所以匚匚亠;=—址故答案為：-20【2018年廣東】袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m>n24.現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿足關(guān)獲+魏三4。的數(shù)組（m,n）的個(gè)數(shù)為 .【答案】3解析】記“取出兩個(gè)紅球”為事件A,“取出兩個(gè)白球”為事件B,“取出一紅一白兩個(gè)球”為事件C,貝ym鼻，r二亠，尹u二于.Lmfn L7n+n依題意得？丸-兀N二PU,即宀:-心二煮:C.所以W：二；.'：<-匚：，從而:V-X為完全平方數(shù).又由m>n>4及mH■化主40，得9蘭m+rt主40...t,rm-I-n=9,_prm.-+n=16,_p(m+n=25?_ilrm十二所以氐-解之得（m,n）=（6,3）（舍去），或（10,6）,或（15,10）,或（21,15）.故符合題意的數(shù)組（m,n）有3個(gè).故答案為：3【2018年河南】將圓的一組■等分點(diǎn)分別涂上紅色或藍(lán)色，從任意一點(diǎn)開始，按逆時(shí)針方向依次記錄廠:三:個(gè)點(diǎn)的顏色，稱為該圓的一個(gè)“:階色序”，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)?邙介色序?qū)?yīng)位置上的顏色至少有一個(gè)不相同時(shí)，稱為不同的?邛介色序.若某圓的任意兩個(gè)“3階色序”均不相同，貝y該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多可有 個(gè)．【答案】8【解析】“3階包序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“3階色序”共有n,暑種.一方面，：;個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成個(gè)“3階色序”，故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于8個(gè).另一方面，若!：二&則必須包含全部8個(gè)“3階色序”，如按逆時(shí)針方向確定8個(gè)的顏色為“紅，紅，紅,藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，紅，藍(lán)”符合條件．故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多可有8個(gè)．7．【2018年浙江】在八個(gè)數(shù)字2，4，6，7，8，11，12，13中任取兩個(gè)組成分?jǐn)?shù).這些分?jǐn)?shù)中有 個(gè)既約分?jǐn)?shù).【答案】36【解析】在7,11,13中任取一個(gè)整數(shù)與在2，4，6，8，12中任取一個(gè)整數(shù)構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)