高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)概念與性質(zhì)32函數(shù)基本性質(zhì)322奇偶性奇偶性應(yīng)用第一冊數(shù)學(xué)教案

第2課時奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1.利用奇偶性求函數(shù)的分析式，培育邏輯推會依據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或分析式．理修養(yǎng)．2．能利用函數(shù)的奇偶性與單一性剖析、解決2．借助奇偶性與單一性的應(yīng)用提高邏輯推較簡單的問題.理、數(shù)學(xué)運算修養(yǎng).用奇偶性求分析式【例1】(1)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－x＋1，求f(x)的分析式；(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，()是奇函數(shù)，且f(x)＋()＝1，求函數(shù)f(x)，()的解gxgxx－1gx析式．當(dāng)x>0[思路點撥](1)設(shè)x<0，則－x>0――→x＝－x＋1奇函數(shù)奇函數(shù)分段函數(shù)求f－x――→得x<0時fx的分析式――→f0＝0――→fx的分析式的性質(zhì)用－x代式中x1(2)fx＋gx＝x－1――→奇偶性1得f－x＋g－x＝－x－1――→1解方程組得fx，gx得fx－gx＝－x＋1――→的分析式[解](1)設(shè)x<0，則－x>0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x－1.又x＝0時，f(0)＝0，－x－1，x<0，因此f(x)＝0，x＝0，x＋1，x>0.∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．1由f(x)＋g(x)＝x－1，①1用－x取代x得f(－x)＋g(－x)＝－x－1，1∴f(x)－g(x)＝，②－x－11(①＋②)÷2，得f(x)＝x2－1；x(①－②)÷2，得g(x)＝x2－1.把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的分析式．[解]∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，1又f(x)＋g(x)＝x－1，①用－x取代上式中的x，得1(－x)＋g(－x)＝－x－1，1即f(x)－g(x)＝x＋1.②聯(lián)立①②得x1(x)＝x2－1，g(x)＝x2－1.利用函數(shù)奇偶性求分析式的方法1“求誰設(shè)誰”，既在哪個區(qū)間上求分析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).2要利用已知區(qū)間的分析式進行代入.3利用fx的奇偶性寫出－fx或f－x，進而解出fx.提示：若函數(shù)fx的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f0＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f0＝0.函數(shù)單一性和奇偶性的綜合問題[研究問題]1．假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上單一遞加，那么f(x)在(－，－)上的單一性怎樣？abba假如偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單一遞減，那么f(x)在(－b，－a)上的單一性怎樣？提示：假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單一遞加，那么f(x)在(－b，－a)上單一遞加；假如偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上單一遞減，那么f(x)在(－，－a)上單一遞加．a(chǎn)bb2．你可否把上述問題所得出的結(jié)論用一句話歸納出來？提示：奇函數(shù)在對于原點對稱的區(qū)間上單一性同樣，偶函數(shù)在對于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．3．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單一遞加，那么f(3)和f(－2)的大小關(guān)系怎樣？若(a)>f(b)，你能獲得什么結(jié)論？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，則|a|<|b|.角度一比較大小問題【例2】函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單一遞加，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則以下結(jié)論成立的是()5775A．f(1)<f2<f2B．f2<f(1)<f2C．f7<f5<(1)D．f5<(1)<f722f2f2[思路點撥]y＝fx＋2是偶函數(shù)―→[0，2]上fx的圖象對于x＝2對稱――→比較大小遞加B[∵函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，5371∴函數(shù)f(x)的圖象對于直線x＝2對稱，∴f2＝f2，f2＝f2，又f(x)在[0,2]上單一遞加，1375∴f2<f(1)<f2，即f2<f(1)<f2.]比較大小的求解策略,看自變量能否在同一單一區(qū)間上.在同一單一區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單一性比較大?。徊辉谕粏我粎^(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)變到同一單一區(qū)間上，而后利用單一性比較大小.1．設(shè)偶函數(shù)

f(x)的定義域為

R，當(dāng)

x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是

(

)A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函數(shù)與單一性的關(guān)系知，若

x∈[0，＋∞

)時，f(x)是增函數(shù)，則

x∈(－∞，0)時，f(x)是減函數(shù)，故其圖象的幾何特色是自變量的絕對值越小，則其函數(shù)值越小，∵

|2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，應(yīng)選A.]角度二解不等式問題【例

3】

已知定義在

[－2,2]

上的奇函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,2]

上是減函數(shù)，若

f(1－m)<f(m)，務(wù)實數(shù)

m的取值范圍．[解]因為

f(x)在區(qū)間[－2,2]

上為奇函數(shù)，且在區(qū)間

[0,2]

上是減函數(shù)，因此

f(x)在[－2,2]

上為減函數(shù)．－2≤1－m≤2，又f(1－m)<f(m)，因此－2≤m≤2，1－m>m，－1≤m≤3，即

－2≤m≤2，1m<2.

解得－1≤

1m<2.1故實數(shù)m的取值范圍是－1≤m<2.解相關(guān)奇函數(shù)fx的不等式fa＋fb<0，先將fa＋fb<0變形為fa<－fb＝f－b，再利用fx的單一性去掉“f”，化為對于a，b的不等式.此外，要特別注意函數(shù)的定義域.,因為偶函數(shù)在對于原點對稱的兩個區(qū)間上的單一性相反，因此我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)fx＝f|x|＝f－|x|將fgx中的gx所有化到同一個單一區(qū)間內(nèi)，再利用單一性去掉符號f，使不等式得解.2．函數(shù)

f(x)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，

且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

f(3)<

f(2a＋1)，則a的取值范圍是

(

)A．a(chǎn)>1

B．a(chǎn)<－2C．a(chǎn)>1或

a<－2

D．－1<a<2C[因為函數(shù)

f(x)在實數(shù)集上是偶函數(shù)，且

f(3)<

f(2a＋1)，因此

f(3)<

f(|2

a＋1|)

，又函數(shù)

f(x)在[0

，＋∞)上是增函數(shù)，因此

3<|2a＋1|，解之得

a>1或

a<－2.應(yīng)選

C.]1．擁有奇偶性的函數(shù)的單一性的特色(1)

[a，b]和[－b，－a]上擁有同樣的單一性．(2)偶函數(shù)在

[a，b]和[－b，－a]上擁有相反的單一性．2．利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)分析式的重點是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式

f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求給定哪個區(qū)間的分析式就設(shè)這個區(qū)間上的變量為

x，而后把

x轉(zhuǎn)化為－x(另一個已知區(qū)間上的分析式中的變量)，經(jīng)過適合推導(dǎo)，求得所求區(qū)間上的分析式．3．偶函數(shù)的一個重要性質(zhì)：

f(|

x|)

＝f(x)，它能使自變量化歸到

[0，＋∞)上，防止分類議論

.1．思慮辨析1奇函數(shù)f(x)＝x，當(dāng)x>0時的分析式與x<0時的分析式同樣，因此一般的奇函數(shù)在(0，＋∞)上的分析式與

(－∞，0)上的分析式也同樣．

(

)(2)對于偶函數(shù)

f(x)，恒有

f(x)＝f(|

x|)

．(

)(3)若存在

x0使

f(1－x0)＝f(1＋x0)，則

f(x)對于直線

x＝1對稱．

(

)(4)若奇函數(shù)

f(x)在(0，＋∞)上有最小值

a，則f(x)在(－∞，0)上有最大值－

a.(

)[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√2．已知偶函數(shù)在

(－∞，0)上單一遞加，則

(

)A．f(1)>

f(2)

B．f(1)<

f(2)C．f(1)

＝f(2)

D．以上都有可能[∵f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單一遞加，∴f(x)在(0，＋∞)上單一遞減，∴f(1)>f(2)，應(yīng)選A.]3．定義在R上的偶函數(shù)f()在[0，＋∞)上是增函數(shù)，若f()<( )，則必定可得( )xafbA．a(chǎn)<bB．a(chǎn)>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0C[∵f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴由