高中數(shù)學(xué)七章三角函數(shù)73三角函數(shù)性質(zhì)與圖像731正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像B

正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.借助單位圓理解正弦函數(shù)的定義以及周期性、奇偶性、單一性等性質(zhì).2.能用五點(diǎn)法畫(huà)出正弦函數(shù)的圖像．教課要點(diǎn)：掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)．教課難點(diǎn)：正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)的性質(zhì)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都滿足□f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個(gè)函數(shù)的□12周期．對(duì)11于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，假如在它的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就稱為f(x)的□13最小正周期．知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)的圖像一般地，y＝sinx的函數(shù)圖像稱為□01正弦曲線．我們作正弦曲線的簡(jiǎn)圖時(shí)，在精準(zhǔn)度要求不高的狀況下，一般都是先找出確立圖像形狀的要點(diǎn)的五個(gè)點(diǎn)，而后再描點(diǎn)作圖，這類作圖方法稱為□02五點(diǎn)法．(3)利用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[0,2π]上的圖像的五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)是□03(0,0)，□π3π04050607【新知拓展】1．作正弦函數(shù)圖像時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，以保證自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)．2．假如

y＝sin

x

的定義域不是全體實(shí)數(shù)，那么它的值域便可能不是

[－1,1]

．如

y＝πsin

x，x∈

0，

2

，此時(shí)

y∈[0,1]

．3．正弦曲線的對(duì)稱軸必定經(jīng)過(guò)正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，此時(shí)，正弦函數(shù)取最大值或最小值．4．正弦曲線的對(duì)稱中心必定是正弦曲線與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值為0.5．正弦函數(shù)在其定義域上不是單一的．6．奇偶性的判斷步驟是：(1)求定義域；(2)察看f(－x)與±f(x)的關(guān)系；(3)下結(jié)論．7．周期性除用定義外還要重視圖像法．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)π2ππ2π(1)因?yàn)閟in6＋3＝sin6，則3是函數(shù)y＝sinx的一個(gè)周期．( )(2)畫(huà)正弦函數(shù)圖像時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制．( )(3)正弦函數(shù)在定義域上不是單一函數(shù)．( )答案(1)×(2)√(3)√做一做(1)以下區(qū)間中，是函數(shù)y＝sinx的單一增區(qū)間的是()π，3πA．[0，π]B.22C.－π，πD．[π，2π]22(2)函數(shù)y＝2－sinx的最大值為_(kāi)_______，取最大值時(shí)x的值為_(kāi)_______．(3)函數(shù)y＝sinx，x∈[0，π]時(shí)，值域?yàn)開(kāi)_______．π答案(1)C(2)3－2＋2kπ，k∈Z(3)[0,1]題型一判斷正弦函數(shù)的奇偶性例1判斷以下函數(shù)的奇偶性：3πf(x)＝4sinx＋2；1－sinx(2)f(x)＝1＋sinx.[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，33π3f(x)＝4sinx＋2＝－4cosx.33因此f(－x)＝－4cos(－x)＝－4cosx＝f(x)，33π為偶函數(shù)．因此函數(shù)f(x)＝sinx＋24(2)函數(shù)應(yīng)知足1＋sinx≠0，因此函數(shù)的定義域?yàn)閤x∈R，且x≠3π.＋2kπ，k∈Z2因?yàn)楹瘮?shù)的定義域不對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．金版點(diǎn)睛函數(shù)奇偶性的判斷方法看函數(shù)的定義域能否對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱．看f(x)與f(－x)的關(guān)系．[追蹤訓(xùn)練1]判斷函數(shù)f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù).題型二正弦函數(shù)的單一性及應(yīng)用例2(1)比較以下各組數(shù)的大?。害笑?5sin－18與sin－10；②sin4與cos3.求函數(shù)y＝－2sinx－1的單一遞加區(qū)間．ππππ[解](1)①因?yàn)椋?<－10<－18<0，正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間－2，0上是增函數(shù)，ππ因此sin－18>sin－10.5π5π7π53ππ3π②因?yàn)閏os3＝sin2＋3，又2<4<2＋3<2，而y＝sinx在2，2上是減函數(shù)，7π575因此sin4>sin2＋3，即sin4>cos3.因?yàn)閥＝－2sinx－1，因此函數(shù)y＝－2sinx－1的遞加區(qū)間就是函數(shù)y＝sinx的遞減區(qū)間．π3π因此2＋2kπ≤x≤2＋2kπ(k∈Z)，因此函數(shù)y＝－2sinx－1的遞加區(qū)間為π＋2kπ，3π＋2π(k∈Z)．22k金版點(diǎn)睛利用正弦函數(shù)單一性比較大小的步驟必定：利用引誘公式把角化到同一單一區(qū)間上．二比較：利用函數(shù)的單一性比較大?。甗追蹤訓(xùn)練2](1)以下關(guān)系式中正確的選項(xiàng)是( )A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°π(2)函數(shù)y＝2sinx＋6(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是________．答案(1)C(2)0，π2π分析(1)∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且y＝sinx在0，2是增函數(shù)，∴sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.(2)y＝2sinx＋π在x∈[0，π]上的單一遞加區(qū)間與y＝sinx在[0，π]上的單一遞加6π區(qū)間同樣，為0，2.題型三求正弦函數(shù)的值域或最值例3求使以下函數(shù)獲得最大值和最小值時(shí)的x值，并求出函數(shù)的最大值和最小值：(1)y＝2sinx－1；(2)y＝－sin2x＋2sin3x＋.4π[解](1)由－1≤sinx≤1知，當(dāng)x＝2kπ＋2，k∈Z時(shí)，函數(shù)y＝2sinx－1獲得最大值，ymax＝1；當(dāng)x＝3π＝－3.2＋2kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)y＝2sinx－1獲得最小值，ymin(2)y＝－sin2x＋2sin3sinx－225，因?yàn)椋?≤sinx≤1，因此當(dāng)sinx＝x＋＝－＋4242π3π52，即x＝4＋2kπ或x＝4＋2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)獲得最大值，ymax＝4；3π1當(dāng)sinx＝－1，即x＝2＋2kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)獲得最小值，ymin＝－4－2.金版點(diǎn)睛與正弦函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函數(shù)的最值或值域時(shí)，可利用正弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤1)求解．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數(shù)的值域或最值時(shí)，能夠經(jīng)過(guò)換元，令t＝sinx，將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值．求解過(guò)程中要注意正弦函數(shù)的有界性．[追蹤訓(xùn)練3]設(shè)f(x)＝asinx＋b的最大值是1，最小值是－3，試確立g(x)＝b2sinxa2的最大值．解由題意，a≠0，a＋b＝1，

a＝2，當(dāng)a>0時(shí)，

因此－a＋b＝－3，

b＝－1，此時(shí)g(x)＝sinx＋4的最大值為5.a＋b＝－3，a＝－2，當(dāng)a<0時(shí)，－a＋b＝1，因此b＝－1，此時(shí)g(x)＝sinx＋4的最大值為5.綜上知，g(x)的最大值為5.題型四用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖像例4作函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]與函數(shù)y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖，并研究它們之間的關(guān)系．[解]按五個(gè)要點(diǎn)點(diǎn)列表：x0ππ3π2π22sinx010－10－1＋sinx－10－1－2－1利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點(diǎn)作圖，如圖：由圖像能夠發(fā)現(xiàn)，把

y＝sin

x，x∈[0,2π]的圖像向下平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得

y＝－1＋sin

x，x∈[0,2π]的圖像．金版點(diǎn)睛用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sinx的圖像的步驟列表，由x＝0，π，π，3π，2π求出y的值，獲得“五點(diǎn)”坐標(biāo)．22在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．用圓滑曲線連結(jié)這些點(diǎn)，所成圖像即為所求．[追蹤訓(xùn)練4]用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝sinx＋5在[0,2π]上的圖像，并寫(xiě)出它的最值．解列表以下：x0ππ3π2π22sinx010－10y56545描點(diǎn)連線，以下圖．獲得函數(shù)y＝sinx＋5的圖像，其最大值為6，最小值為4.1．函數(shù)y＝(sinx－2)2在R上的最大值為()A．4B．9C．1D．3答案B分析由y＝sinx在R上的最小值為－1，最大值為1，聯(lián)合二次函數(shù)的圖像，可適當(dāng)sinx＝－1時(shí)，y＝(sinx－2)2獲得最大值9.2．函數(shù)y＝sinx，x∈π2π，則y的范圍是()6，3A．[－1,1]3B.1，221D.3，1C.，122答案C分析當(dāng)x＝π時(shí)，y取最小值1，當(dāng)x＝π時(shí)，y取最大值1.6223．函數(shù)y＝3sinx＋5的最小正周期是________．答案2π分析∵y＝3sinx＋5和y＝sinx周期同樣，∴最小正周期為2π.4．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝sinx－|a|，x∈R為奇函數(shù)，則a等于_______