高一數(shù)學(xué)必修三變量間的相關(guān)關(guān)系

關(guān)于高一數(shù)學(xué)必修三變量間的相關(guān)關(guān)系第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日小明,你數(shù)學(xué)成績不太好,物理怎么樣?也不太好啊.學(xué)不好數(shù)學(xué),物理也是學(xué)不好的?????...第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日哲學(xué)原理：世界是一個(gè)普遍聯(lián)系的整體，任何事物都與周圍其它事物相聯(lián)系。數(shù)學(xué)地理解世界第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日你認(rèn)為老師的說法對嗎?事實(shí)上,我們在考察數(shù)學(xué)成績對物理成績影響的同時(shí),還必須考慮到其他的因素:愛好,努力程度如果單純從數(shù)學(xué)對物理的影響來考慮,就是考慮這兩者之間的相關(guān)關(guān)系我們在生活中,碰到很多相關(guān)關(guān)系的問題:數(shù)學(xué)成績學(xué)習(xí)興趣花費(fèi)時(shí)間其他因素第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日商品銷售收入廣告支出經(jīng)費(fèi)?糧食產(chǎn)量施肥量?人體脂肪含量年齡?第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

1〉商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系。商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間有著密切的聯(lián)系，但商品收入不僅與廣告支出多少有關(guān)，還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)。第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食產(chǎn)量就越高。但是，施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素，因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響。2〉糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系。第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

在一定年齡段內(nèi)，隨著年齡的增長，人體內(nèi)的脂肪含量會增加，但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān)，可能還與個(gè)人的先天體質(zhì)有關(guān)。3〉人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系。第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日以上種種問題中的兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,我們都可以根據(jù)自己的生活,學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作出相應(yīng)的判斷,“規(guī)律是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)”,不管你多有經(jīng)驗(yàn),只憑經(jīng)驗(yàn)辦事,還是很容易出錯(cuò)的,因此在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí),我們需要一些更為科學(xué)的方法來說明問題.在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時(shí),統(tǒng)計(jì)同樣發(fā)揮了非常重要的作用,我們是通過收集大量的數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的關(guān)系作出判斷.第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日1、兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量間存在著某種關(guān)系，帶有不確定性(隨機(jī)性），不能用函數(shù)關(guān)系精確地表達(dá)出來，我們說這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日相關(guān)關(guān)系—當(dāng)自變量取值一定,因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性（非確定性關(guān)系)函數(shù)關(guān)系---函數(shù)關(guān)系指的是自變量和因變量之間的關(guān)系是相互唯一確定的.注：相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系。對相關(guān)關(guān)系的理解第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日1：下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是（）A角度和它的余弦值B正方形的邊長和面積C成人的身高和視力D身高和體重D練習(xí)：第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日思考1：對某一個(gè)人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過作圖可以對兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日思考3：上圖叫做散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎？在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖.第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日散點(diǎn)圖3).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系

.1).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．2).如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系。說明散點(diǎn)圖：用來判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢，兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日思考4：如果兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個(gè)變量的變化趨勢如何？其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域.思考5：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎?第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，稱它們成負(fù)相關(guān).O第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日2.下列關(guān)系屬于負(fù)相關(guān)關(guān)系的是（）A.父母的身高與子女的身高B.農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥的關(guān)系C.吸煙與健康的關(guān)系D.數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系C練習(xí)：第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。

這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程。三、回歸直線第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日1.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，變量之間具有函數(shù)關(guān)系2.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系3.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系

只有散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈條狀集中在某一直線周圍的時(shí)候，才可以說兩個(gè)變量之間具有線性關(guān)系，才有兩個(gè)變量的正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)的概念，才可以用回歸直線來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日整體上最接近方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。四、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日方案二:

在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。三、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日方案三:

在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。三、如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。思考6：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日回歸直線實(shí)際上,求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點(diǎn)到此直線的距離最小”.第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日這樣的方法叫做最小二乘法.第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日

人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)找到了

計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式:以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日思考7：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為，由此我們可以根據(jù)一個(gè)人的年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人65歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日若某人65歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比較大。但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1％原因：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差，即使截距斜率沒有誤差，也不可能百分百地保證對應(yīng)于x，預(yù)報(bào)值Y能等于實(shí)際值y第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日例3：有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：1、畫出散點(diǎn)圖；2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是2攝氏度，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日1、散點(diǎn)圖2、從圖3-1看到，各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。3、從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此利用公式求出回歸方程的系數(shù)。Y=-2.352x+147.7674、當(dāng)x=2時(shí)，Y=143.063

因此，某天的氣溫為2攝氏度時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲。第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日小結(jié)1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，列表計(jì)算平均數(shù),第二步，求和,第三步，計(jì)算第四步，寫出回歸方程第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日總結(jié)基礎(chǔ)知識框圖表解變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系散點(diǎn)圖線形回歸線形回歸方程第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日1、相關(guān)關(guān)系（1）概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。（2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)。相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系。不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，也不一定是因果關(guān)系（但可能是伴隨關(guān)系）。（3）相關(guān)關(guān)系的分析方向。在收集大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷。第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期日2、兩個(gè)變量的線性相關(guān)（1）回歸分析

對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。（2）散點(diǎn)圖

A、定義；B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。

3、回歸直線方程

注:如果