第2課件1.1橋梁內(nèi)力影響線

一、影響線的基本概移動(dòng)荷最不利荷載位（移動(dòng)荷載的最不利荷載位置。影響P=1表示單位荷載移動(dòng)到該位置，該。影響線是研究移動(dòng)荷載的最不利位置和計(jì)算內(nèi)力、位移最大值小值的有效工具移動(dòng)荷載通常是由多個(gè)間距不變的豎向集中荷載或豎向均布荷載所組P1量值的變化規(guī)律，然后根據(jù)線性疊加原理進(jìn)一步研究各種實(shí)際移動(dòng)荷載作圖1a為一簡支梁，當(dāng)豎向單位集中荷載P1在梁上移動(dòng)時(shí)，支座反力的變化規(guī)律及其圖形。繪制影響線的基本方法有兩種，靜力法和機(jī)動(dòng)法。

P=1 a B

RA R b

用靜力法繪制影響線時(shí)，可先把荷載P放在任意位置，根據(jù)所選坐標(biāo)系，以橫坐標(biāo)x與荷載P1x之間的關(guān)系。表示這種關(guān)系的方程稱為影響線方程。根據(jù)方程即可做出影響單跨簡支梁的影響1.反力影響求圖2a所示簡支梁反力RA線，可取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以x表示

B 載P=1距坐標(biāo)原點(diǎn)A的距離，取全 作 體，由平衡條件 a

設(shè)反力向上為正，則∑MB=RA?l—P(l—由此可 Plx1

b 0 當(dāng)x0時(shí)，RA當(dāng)xl時(shí)，RA圖2b即為RA的影響線圖形根據(jù)影響線定義，RA影響線中 A a)該處時(shí)反力RA的大小。同時(shí)RA的 影響線只能代表RA的變化規(guī)律反A1力，而不能代表其它任何量值 b1變化規(guī)律，其量值是唯一的這就是RA的影響線方

xKl+

B 011它是x的一次函數(shù)，故RA的影響可確定這條直

c

同理，可繪出反力RB的影響線方程為 圖 同樣可繪出RB的影響線（圖2c）2求圖3a所示簡支梁上某指定截C的彎矩影響線，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 a表示荷載P=1距坐標(biāo)原點(diǎn)A的距離， aa

荷載P=1在截面C以左AC段（即x≤ 移動(dòng)時(shí)，取截面C以右部分 體

則 bx

abb 左 右ab由此可知，MC的影響線在截面以左部分為一直

0當(dāng)x0時(shí)，MC當(dāng)x=a時(shí)

l

b)中跨Mc圖于是可以繪出當(dāng)荷載P=1在截面C以左移動(dòng)時(shí)MC的影響線(圖3b)當(dāng)荷載P=1在截面C以右CB段（即x≥a）移動(dòng)時(shí)，上面求得的影響線程顯然已不再適用?？扇〗孛鍯以左部分 體，則 alx

由此可見，MC的影響線在截面 a以右部分也為一直線。當(dāng)x=a時(shí)

a當(dāng)x=l時(shí) MC= b ab線線于是可以繪出當(dāng)荷載P=1在截 左 右b線線以右移動(dòng)時(shí)MC的影響線(圖3b)。 圖3b可知MC的影響線由上述兩直線所組成，為一三角形。三角形的頂點(diǎn)位于截面C的下面，縱坐標(biāo)ab/l通常稱截面C以左的直線為左直線，截面C以右的直線為右直從上述影響線方程可以看出，左直線可由反力RB的影響線乘以b得到，繪制MC的影響線：縱坐標(biāo)ab分別將其頂點(diǎn)與、右兩支座處的零點(diǎn)用直線，則兩直線的交點(diǎn)與左、右零點(diǎn)相連的MC3b作它量值影響線的方法是非常方便由于豎向單位集中荷載P1為不帶任何單位的無名數(shù)。則反力B響線的縱矩也是無名數(shù)，彎矩影響線縱坐標(biāo)的單位為長度3設(shè)要繪制截面C的剪力影響線（圖3c）。同上分析，當(dāng)荷載P=1在截面以左AC段（即x≤a）移動(dòng)時(shí)，取截面C以右部分 體，并規(guī)定以體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正，則 =-

a)

因此，將RB的影響線反號并截取AC段分，即得QC影響線的左直線（圖3c） 同樣，當(dāng)荷載P=1在截面C以右CB11體，并規(guī)定以 體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)c動(dòng)的剪力為正，則 =因此，可直接利用RA的影響線并取CB段部分，即得QC影響線的右直線（圖3c）

l 右_ _a 1左 1線c中跨Qc圖由上可知，QC的影響線由兩段相互平行的直線組成（圖3c）反力影響

如圖4a所示的伸臂梁，仍

a RB左支座A為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)x向右為正。顯然，無論荷載在AB部分或是在兩支座以外的 b分上移動(dòng)時(shí)，由平衡條件可得到支座反力為

1+1

01 1 1

c

圖4 跨中部分為求MC和QC的影響線，可將它們表示為反力RA和RB的函數(shù)。當(dāng)荷P=1在截面C以左AC段（即xa）移時(shí)，取截面C以右部分 體，則MC QC

左部分為體，則：MC QC

a

ala+

bMc影響b0因?yàn)镽A和RB的影響線方程在b)關(guān)系可知，MC和QC的影響線方程在c)兩種梁上也完全相同。因此，只需將支梁上相應(yīng)的彎矩和剪力影響線向兩

b+l+1+1 al

Qc影響1-1 分延長，即可得到伸臂梁的和QC力影響線，如圖4d、e所示

圖4伸臂梁中跨 設(shè)要繪制截面K的彎矩和剪影響線（圖5a）。為方便起見，取K點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定橫坐標(biāo)

Px 以向左為正。當(dāng)荷載P=1在截面K a右（KE段）移動(dòng)時(shí)，取截面K以部分 體，則顯然MK和QK均于零，故該二影響線在KE部分均 b基線重合。當(dāng)P=1在截面K以1（DK段）時(shí)，仍取截面K以左部 c1 體，可得

d-d--

Mk影響Qk影響MK QK

圖5 分影線據(jù)此可以作出DK部分的MK和QK影響線。綜上所述，伸臂梁部分截K的MK和QK影響線分別如圖5b、c所示對于支座處截面的剪力影響

PxD

Px 須對支座左、右兩邊的截面分別討論因?yàn)檫@兩個(gè)截面是分別屬于伸臂和跨中a部分。例如：支座A左截面的剪力QA

R RA1的影響線，可由QK的影響線使截面K1于支座A的左截面而得到（圖 d對于支座A右截面的剪力QA右 影響線，則可由QC的影響線（圖使截面C趨于支座A的右截面而得

QA左--QA右1+11-1（圖5e）

圖5 分影線程，關(guān)x次函數(shù)，故均是由直線段所組成。但般為曲線形。四、機(jī)動(dòng)法作單跨機(jī)動(dòng)法作影響線的理論依據(jù)是理論力學(xué)中的虛位移原，一 系系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所虛功；為了求解出反力RA，首先去掉與它應(yīng)的聯(lián)系（即支座A處的豎向約束）， a以正向的反力RA代替其作用（圖6b）。

P P時(shí)，原結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€(gè)自由度的機(jī)使其產(chǎn)生微小的虛位移（圖6b）,以δA和δPb分別表示RA和P的作用點(diǎn)沿力的作用方向功的總和應(yīng)等于零，有 cRAAPP

d dP 1+1-根據(jù)影響線的定義：P=1，則：

圖式中δ為力A作用點(diǎn)沿其力方給定虛位移的情況個(gè)常。δP為P1x各點(diǎn)的豎向虛令δA=1，則上式成為RAδ反P1移動(dòng)時(shí)虛位δP便代表了的影響線。（圖6c），而符號相反。由于δP是以與力P向一致者為正，故δP向下為正。因而可知：當(dāng)δP向下時(shí)，A為負(fù)；當(dāng)δP向上時(shí)，RA為正。這就恰好與在影響線中縱坐標(biāo)以向上為正相一致由上述可知：要作某一反力或某一內(nèi)力的影響線時(shí)，只需將與該量的聯(lián)系去掉并使所得機(jī)構(gòu)沿該量值的正方向發(fā)則由此得到的虛位移圖即代表該量值的影響線。這種繪制影響線的方法稱為機(jī)動(dòng)法。機(jī)另種途徑其優(yōu)點(diǎn)過具體計(jì)算就能夠迅速繪出影響線的輪廓。這對于設(shè)計(jì)工作將有很，且有利于對靜力作的影響線進(jìn)行較核。為進(jìn)一步說明機(jī)動(dòng)法的應(yīng)用，下面再舉兩個(gè)例子。如圖7a梁，用機(jī)動(dòng)法作截面C的彎矩影響線和剪力影響截面C彎矩影響MC相應(yīng)的，即將截面C處改為鉸接，一對力偶Mc代替原有聯(lián)系的作用（該處便不能傳遞彎矩，但仍能傳遞剪力和軸力）。后使與Mc的正方向發(fā)生虛（圖7b），虛功方程為：M()

PC CP Pa (a若使α+β=1，即AC與BC兩部分 相對轉(zhuǎn)角等于1，則所得到的虛位移即表示MC的影響線（圖7c） 令：影響線頂點(diǎn)至基線的距離 b

la+b= d

B B

則：tga

tgb

Ca因此有a

a c

yc=lcc

ycab

a+b=b+b所以

a 圖截面C的剪力影響首先將與QC相應(yīng)的聯(lián)系去掉將截面C處改為用兩根水平鏈桿相（該處便不能傳遞剪力，但仍能傳

P 彎矩和軸力），并以一對正向剪力 a 代替原有聯(lián)系的作用（圖7d）使機(jī)

沿QC的正方向發(fā)生虛位移，由虛功理得 d

1dCg1dCpQc(

)PP

Q P12 CC12圖若使121，即與兩部分沿截面C方向的位移等于，Q（7e。必須注意于A與兩部分是兩根平行鏈桿相聯(lián)，它們之間只能作相對平行移動(dòng)，故在移圖中1與2應(yīng)為平行直線，是QC影響線的左右兩直線相互平行A CC1a CC2b a

P

Ratgb RCC1CC2(ab)tgltgAtg d

d

B B1 1右右線左線+l圖1以

CC

e

1 1

CC2 五、多跨對于多跨靜定梁，只需分清它的基本結(jié)構(gòu)和附屬部分以及這些部分間的傳力關(guān)系，再利用單跨靜定梁的已知影響線，即可順利完成按靜力ABCKDEFal圖8a所示多跨靜定梁，圖8b為結(jié)構(gòu)拆分的層疊圖，ABCKDEFalaEEFCKDAB圖8按靜力法求多跨當(dāng)P=1在CE段移動(dòng)時(shí)，附屬部分EF是不受力的，可將其撤去?；静糠諥C則相當(dāng)于CE梁的支座，故此時(shí)Mk的影響線與CE段單獨(dú)作為一伸臂的，故Mk影響線在AC段的豎坐標(biāo)為零。最后考慮P=1在附屬部分EF段移動(dòng)時(shí)的情況，此時(shí)CE梁相當(dāng)于在鉸E處受到力VE的作用（圖8c）。因此，VEl-x)/l即x的一次函數(shù)，故此時(shí)CE梁相當(dāng)于在鉸E處受到力VE

b c

aa

圖8按靜力法求多跨由此可知Mk影響線必為一直線，只需要定出兩點(diǎn)即可將其繪出。當(dāng)P=1作用于鉸E處時(shí)Mk值已由CE段的影響線得出；而P=1作用于支座F處時(shí)有Mk=0。于是可繪出Mk的整個(gè)影響線如圖（8d）所示。當(dāng)P=1在量值本身所在的梁段上移動(dòng)時(shí)，量值的影響線與相應(yīng)的單跨靜定梁相同按上述方法，不難作出QB左和RF的影響線如圖8e、f所示ABEFCKDadABEFCKDa1e 1

K

Q左E左

f

RF1圖8按靜力法求多跨1按機(jī)動(dòng)按機(jī)動(dòng)法求解多跨靜定梁的影響線更為方便。首先去掉與所求反力或內(nèi)力的相應(yīng)聯(lián)系，使所得到的體系沿X的正方向發(fā)生單位位移，此時(shí)根據(jù)每一剛片位移圖應(yīng)為一段直線以及在每一豎向支座處豎向位移為零的條件。便可迅速繪ABCKDEFalABa+b=ABCKDEFalABa+b=EFCMKADFEABBCDEFa

ab MKa1 QB左11d RF1

a) l

l

b l l aa+b=1

aa+b=1

中跨MK影響++K-

中跨QK影響 a+b=a+b=-bK 支點(diǎn)MB影響+RB右影響--+-xK+反力RB影響

+K反力+K反力RD影響

RB左影響+-++-+首先討論當(dāng)若干個(gè)集中力荷載或分布荷載作用于某已知位置時(shí)，如何利y1+1.集中力荷線上的縱距分別為y1、y2…yn，要求解這些集中荷載作用下所產(chǎn)生的某一量S的大小

根據(jù)影響線的定義和特點(diǎn)，影響線上的縱距y1代表荷載P1SP1PP1SP1y1SP1y1P2y2PnynPi(P1x1P2x2Pnxn)tgtgPi

CaB1 xy因∑Pixi為各力對O點(diǎn)CaB1 xyOPixiRx代入上式，SRxtgR

式 y——為合力R所對應(yīng)得影響線縱坐標(biāo)

圖2、分布力荷若將任意分布荷載沿其長度分成微段，則每一微段dx上的荷載qx?dx都作為集中荷載（圖13a），故在ab區(qū)段內(nèi)的分布荷載所產(chǎn)生的量值S為bSaqx

b若qx為均布q時(shí)（圖13b、13c），則上式為S

yxdxq

（4式中ω——表示影響線在均布荷載范圍ab區(qū)段內(nèi)的面積合a-byxa a -SbS(a

Sa+-b(a+-b圖

(c由此可見，在均布荷載作用下求量值S時(shí)，只需把影響線在荷載分布六、利用影響線求最不利荷載位量值都將隨荷載的位置求出各（或最小值）是我們的最終目的，以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。首先必須確定使發(fā)生最大值（或最小值）因此，尋求某一量值的最大值的關(guān)鍵，就是確定其最不利荷載位置，當(dāng)其位就可按前述方法求解該量值的最大值（或最小值）。1、一個(gè)集中荷 P+-P+-+-S這是最+-SS=P·集中荷載P置于S影響線最大縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生

S

(a

(b最小縱坐標(biāo)處即產(chǎn)生Smin值 圖2、均布荷b這里是指可以任意截?cái)嗖贾玫木己奢d，也稱為可動(dòng)均布荷載（如b群荷載）。由式Sqayxdxq可得：將荷載布滿對應(yīng)影響線所有面a反將布滿對應(yīng)影響線所有負(fù)號積的部分，則i值；如圖15所示求的最大、最小值時(shí)相應(yīng)的最不利荷--S++q--S++q-S-++qa b 合力為Ri（i=1~n）,則S1可表示為：S1R1y1R2y2Rnaaaa aab當(dāng)整個(gè)荷載組向右移動(dòng)一微小距離Δx時(shí)，其相應(yīng)的量值S2S2R1(y1y1)R2(y2y2)Rn(ynyn故S的增量為SS2S1R1y1R2y2R1xtga1R2xtga2RnxnRixni其中Δx為一常數(shù)，上式可寫為 SxRitg量值S的增加率和減小率

SR

（5 使S成為極大值的條件是：荷載自該位置向左或向右移動(dòng)時(shí)，S的當(dāng)荷載向左移動(dòng)時(shí)，Δx0

SR 當(dāng)荷載向右移動(dòng)時(shí)，Δx0

SR 即：當(dāng)荷載先向左、后向右移動(dòng)時(shí)，Ri可能為極大當(dāng)荷載先向左、后向右移動(dòng)時(shí)，Ri可能為極小值

必須由正變負(fù)，S才必須由負(fù)變正，S才 Ritgai變號的荷載稱為臨界荷載，而把

應(yīng)的不利荷載位置可能有幾個(gè)，這就需將與各臨界荷載對應(yīng)的S極SPi

dsΔSSqω可知，S為x的二次函數(shù)，故此時(shí)最不利荷載位置可按一ds0的條件來確定。對于常遇的形圖 述別式以化為更便于應(yīng)用的形式。設(shè)臨界荷載 Pk處于三角形影響線的頂點(diǎn)位置以a載力，以b表荷則根據(jù)荷載向左、向右移時(shí)，判式由正負(fù)可以寫出如兩個(gè)：(RaPK)tgRbtgRatg(RbPK)tg式中α、β為水平基線與影響間的傾角（圖17），其正負(fù)號規(guī)

h同前。若以tghtgh代 則 RaPk RaPk

（6

圖 這就是三角形影響線上確定臨界荷載 。上式可以理解為：把Pk入影響線的哪一邊，則哪一邊上的“平均荷載”就大