(29)包含與排除(上下)

(29)包含與排除(上下)LtD（二十九）包含與排除（上）《奧賽天天練》第二十一講《包含與排除》。包含與排除問題也叫重疊問題，從三年級(jí)奧數(shù)課堂開始由淺入深逐步學(xué)習(xí)，此類問題說明及容斥原理具體內(nèi)容，請(qǐng)查閱：三年級(jí)奧數(shù)解析（三十九）重疊問題與容斥原理四年級(jí)奧數(shù)解析（二十九）容斥原理這一講將在三、四年級(jí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用容斥原理二解答稍復(fù)雜的包含與排除問題?！救莩庠矶咳绻挥?jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，則：三類元素總個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)?！驹碜C明】如下圖，三個(gè)圓片兩兩重疊，用紅色圓片面積表示A類事物元素個(gè)數(shù)、黃色圓片面積表示B類事物元素個(gè)數(shù)、藍(lán)色圓片面積表示C類事物元素個(gè)數(shù)，三個(gè)圓片覆蓋的總面積就表示三類元素的總個(gè)數(shù)：A、B、C三個(gè)圓片共同重疊的正中間的一塊，覆蓋了三層圓片，重疊了2次；剩下的重疊部分都覆蓋了兩層圓片，重疊了1次。三個(gè)圓片覆蓋的總面積就等于三個(gè)圓片的面積之和減去重疊部分的面積，重疊1次的減去重疊面積，重疊2次的減去重疊面積的2倍。但用三個(gè)圓片的總面積依次減去AB的重疊部分、AC的重疊部分和BC的重疊部分，重疊1次的面積正好減去了，可三個(gè)圓片共同重疊的部分既屬于AB的重疊部分，也屬于AC的重疊部分，同時(shí)屬于BC的重疊部分。這一塊兒面積重疊2次，卻減去了3次，多減了1次，要補(bǔ)上去。所以：由題意可知：AB＋BC＝10千米；BC＋AC＝13千米；AC＋AB＝11千米；這三條路線的長(zhǎng)度之和就等于圖中三角形三邊和的2倍。所以：AB＋BC＋AC＝（10＋13＋11）÷2＝17（千米）根據(jù)三邊總和和兩邊之和，可以求出第三邊，三邊總和是一定的，根據(jù)題目給出的條件，可知A、B兩個(gè)景點(diǎn)之間的距離最短，最短距離是：17－13＝4（厘米）?！秺W賽天天練》第21講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：某單位有64人訂A,B,C三種雜志，訂A種雜志的有28人，訂B種雜志的有41人，訂C種雜志的有20人，訂A,B兩種雜志的有10人，訂B,C兩種雜志的有12人，訂A,C兩種雜志的有12人，問三種雜志都訂的有多少人？【解析】：假設(shè)三種雜志都訂的有x人，根據(jù)容斥原理二，可得：64＝28+41+20-10-12-12+x解得：x＝9所以，三種雜志都訂的有9人?！秺W賽天天練》第21講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：體育課上，50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師的口令從左到右報(bào)數(shù)1，2，3，……，50，報(bào)完后老師讓所有報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，問現(xiàn)在仍然面向老師的有多少同學(xué)？【解析】：報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)有：50÷4＝12（人）……2報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)有：50÷6＝8（人）……212既是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)，所有12的倍數(shù)都是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。所以這50名同學(xué)中報(bào)數(shù)即使4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)的同學(xué)有：50÷12＝4（人）……2向后轉(zhuǎn)的同學(xué)總?cè)藬?shù)就是報(bào)數(shù)是4的同學(xué)人數(shù)與報(bào)數(shù)是6的同學(xué)人數(shù)之和減去重復(fù)計(jì)算的既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的同學(xué)人數(shù)：12＋8－4＝16（人）。所以，現(xiàn)在仍然面向老師的同學(xué)有：50－16=34（人）。四年級(jí)奧數(shù)解析（二十九）容斥原理《奧賽天天練》第26講《容斥原理》。日常生活或數(shù)學(xué)問題中，在把一些數(shù)據(jù)按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí)，常常出現(xiàn)其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)同時(shí)屬于兩種或兩種以上不同的類別，這樣在計(jì)算總數(shù)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算的情況，這類問題就叫做重疊問題，容斥原理就是重疊問題的解題原理，也叫包含與排除原理。在三年級(jí)奧數(shù)課堂已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了運(yùn)用容斥原理（一）解決簡(jiǎn)單的重疊問題，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)請(qǐng)查閱：user3/4092/archives/2009/65608.shtml本講在三年級(jí)學(xué)習(xí)的《重疊問題》的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用容斥原理（一）解決稍復(fù)雜一點(diǎn)的重疊問題。解答問題的關(guān)鍵是，畫出示意圖，認(rèn)真分析已知條件，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？題目要求的又是哪一部分？借助示意圖進(jìn)行思考，找到正確的解答方法?！秺W賽天天練》第26講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)1【題目】：兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為5厘米，3厘米的正方形重疊在一起，重疊部分的面積為1平方厘米。求這個(gè)圖所能覆蓋的面積。

【解析】：先求出兩個(gè)正方形的面積，分別是：5×5=25（平方厘米）；3×3=9（平方厘米）。根據(jù)容斥原理一，可得所求覆蓋面積為：25+9-1=33（平方厘米）?！秺W賽天天練》第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：在一次校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有12人，既參加田賽又參加徑賽的7人，沒有參加比賽的有21人，那么這個(gè)班有多少人？【解析】：先畫出參賽情況示意圖，如下圖：用長(zhǎng)方形的面積表示全班人數(shù)；字母A所在的橢圓表示參加田賽的人數(shù)15人；字母B所在的橢圓表示參加徑賽的人數(shù)12人；字母C所在區(qū)域即兩個(gè)橢圓的重疊部分表示既參加田賽又參加徑賽的人數(shù)7人；字母D所在的空白部分表示沒有參加比賽的人數(shù)21人。根據(jù)容斥原理一，可求出參賽總?cè)藬?shù)為：15+12-7=20（人）。全班人數(shù)即參賽人數(shù)與沒有參加比賽的人數(shù)之和：20+21=41（人）?！秺W賽天天練》第26講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：有50個(gè)學(xué)生，他們穿的褲子是白色的或黑色的，上衣是藍(lán)色的或紅色的。若有14人穿的是藍(lán)色上衣白褲子，31人穿黑褲子，18人穿紅上衣，那么穿紅上衣黑褲子的學(xué)生有多少人？【解析】：根據(jù)題意，如果有人既沒穿紅上衣，又沒穿黑褲子，就一定是穿了藍(lán)上衣白褲子，即穿藍(lán)上衣白褲子的人數(shù)就是既沒穿紅上衣又沒穿黑褲子的學(xué)生總數(shù)。所以穿黑褲子或紅上衣或兩樣都穿的學(xué)生總數(shù)為：50-14=36（人）。其中有31人穿了黑褲子，有18人穿了紅上衣，，那么穿紅上衣黑褲子的學(xué)生就是前面兩類學(xué)生的重疊部分，人數(shù)為：31+18-36=13（人）?！秺W賽天天練》26講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】：①100÷5=20；②100÷6=16……4；③100÷（5×6）=100÷30=3……101到100的全部自然數(shù)中，5的倍數(shù)有20個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)，有3個(gè)數(shù)既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)最小是30，則所有30的倍數(shù)也就是既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)）。則1到100的全部自然數(shù)中，是6的倍數(shù)和5的倍數(shù)的數(shù)總共有：20+16-3=33（個(gè)）。所以既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有：100-33=67（個(gè)）?！秺W賽天天練》第26講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：一批外國(guó)旅游者，會(huì)說英語的有88人，會(huì)說法語的有60人，其中兩種語言都能說的有40人，還有16人這兩種語言都聽不懂。這批旅游者一共有多少人？【解析】：這道題與前面的“鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1”相似，可以畫出與上題相似的示意圖，先求出會(huì)說英語、法語的這兩類人的總數(shù)：88+60-40=108（人）。把前兩類人的總數(shù)加上兩種語言都不會(huì)說的人數(shù)，求出這批旅游者的總?cè)藬?shù)為：108+16=124（人）。三年級(jí)奧數(shù)解析（三十九）重疊問題與容斥原理《奧賽天天練》第45講《重疊問題》。日常生活或數(shù)學(xué)問題中，在把一些數(shù)據(jù)按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí)，常常出現(xiàn)其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)同時(shí)屬于兩種或兩種以上不同的類別，這樣在計(jì)算總數(shù)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算的情況，這類問題就叫做重疊問題，解答重疊問題常用方法是：先不考慮重疊的情況，把有重復(fù)包含的幾個(gè)計(jì)數(shù)部分加起來，再?gòu)乃鼈兊暮椭信懦貜?fù)部分元素的個(gè)數(shù)，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又不重復(fù)。這個(gè)原理叫做包含與排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下兩條基本計(jì)算公式：①容斥原理一，如果被計(jì)數(shù)的對(duì)象，被分為A、B兩大類，則：被計(jì)數(shù)對(duì)象的總個(gè)數(shù)=A類元素個(gè)數(shù)+B類元素個(gè)數(shù)—同時(shí)屬于A類和B類的元素個(gè)數(shù)。②容斥原理二，如果被計(jì)數(shù)的對(duì)象，被分為A、B、C三大類，則：被計(jì)數(shù)對(duì)象的總個(gè)數(shù)=A類元素+B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—同時(shí)屬于A類和B類的元素個(gè)數(shù)—同時(shí)屬于A類和C類的元素個(gè)數(shù)—同時(shí)屬于B類和C類的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)屬于A、B、C三類的元素個(gè)數(shù)。這條原理比較復(fù)雜，等到高年級(jí)再向孩子介紹。本講學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的重疊問題，只需孩子理解容斥原理一就可以了。運(yùn)用容斥原理解答重疊問題應(yīng)用題的關(guān)鍵是，畫出示意圖，認(rèn)真分析已知條件，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？題目要求的又是哪一部分？借助示意圖進(jìn)行思考，找到正確的解答方法?！秺W賽天天練》第45講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：三（1）班有48人，其中訂《少年報(bào)》的有32人，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有38人，有25人兩份報(bào)都訂，那么：（1）只訂《少年報(bào)》而沒有訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有多少人？（2）只訂《數(shù)學(xué)報(bào)》而沒有訂《少年報(bào)》的有多少人？（3）有多少人兩種報(bào)都沒訂？【解析】：先畫出訂報(bào)情況示意圖，如下圖：用長(zhǎng)方形的面積表示全班人數(shù)；字母A所在的橢圓表示訂《少年報(bào)》的人數(shù)32人；字母B所在的橢圓表示訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的人數(shù)38人；字母C所在區(qū)域即兩個(gè)橢圓的重疊部分表示同時(shí)訂了兩份報(bào)的人數(shù)25人；字母D所在的空白部分表示兩種報(bào)都沒有的訂的人數(shù)。

（1）用訂《少年報(bào)》的總?cè)藬?shù)A，減去重疊部分C,剩下來的就是只訂《少年報(bào)》而沒有訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的人數(shù)：32-25=7（人）；（2）同理,(B-C)就是只訂《數(shù)學(xué)報(bào)》而沒有訂《少年報(bào)》的人數(shù)：38-25=13（人）；（3）先求出訂報(bào)的總?cè)藬?shù)，即圖中所有陰影部分表示的人數(shù)，再用班級(jí)總?cè)藬?shù)減去訂報(bào)總?cè)藬?shù)，即是兩種報(bào)都沒訂的人數(shù)D。這題有兩種解法。解法一：在（1）、（2）兩小題中已求出只訂《少年報(bào)》的人數(shù)7人、只訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的人數(shù)13人，即圖中純黑色陰影部分和純紅色陰影表示的人數(shù)，中間重疊部分為25人，所以訂報(bào)總?cè)藬?shù)為：7+25+13=45（人）。所以，兩種報(bào)都沒有訂的人數(shù)為：48-45=3（人）。解法二：不考慮重疊部分，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》和《少年報(bào)》的總?cè)藬?shù)為：32+38=70（人）。有25人兩份報(bào)都訂了，這些人既包含在32人之中，又包含在38人之中，我們?cè)谇蠛蜁r(shí)，這25人就加了兩遍，重復(fù)計(jì)算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，訂報(bào)總?cè)藬?shù)為：70-25=45（人）。兩種報(bào)都沒有訂的人數(shù)就是：48-45=3（人）。《奧賽天天練》第45講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：一次老師給全班同學(xué)做兩道智力趣題，結(jié)果全班10人兩題都對(duì)，8人兩題都錯(cuò)，第二道題有15人錯(cuò)，問第一道對(duì)而第二道錯(cuò)的同學(xué)有多少人？【解析】：

解答這題要抓住題中的有效條件，避免受無效條件的干擾。因?yàn)榈诙李}有15人錯(cuò)，全班只有8人兩題都錯(cuò)，而兩題都錯(cuò)的人第二道題肯定錯(cuò)了，所以兩題都錯(cuò)的8個(gè)人包含在前面15人之中，從15人里去掉這8個(gè)人還剩：15-8=7（人）。去掉兩題都錯(cuò)的8人，剩下的7人肯定只錯(cuò)了一道題，他們第二道題錯(cuò)了，第一道題肯定是對(duì)的，所以第一道對(duì)而第二道錯(cuò)的同學(xué)有7人?！秺W賽天天練》第45講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：100位旅游者中，70人懂中文，52人懂英語，還有10人兩種語言都不懂。（1）懂中文和英語的一共有多少人？（2）既懂英語又懂中文的有多少人？（3）只懂中文不懂英語的有多少人？（4）只懂英文不懂中文的有多少人？

【解析】：（1）100名旅游者中，有10人兩種語言都不懂，所以懂中文和英語的人一共有：100-10=90（人）。（2）70人懂中文，52人懂英語，不考慮重疊情況（即既懂英語又懂中文人數(shù)），懂