一道高考數(shù)學(xué)試題的變式研究

第第頁(yè)一道高考數(shù)學(xué)試題的變式研究例題：（2012年安徽卷）：如圖1，點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C：

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

F1作x軸的垂線，交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線

于點(diǎn)Q

（1）如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），求此時(shí)橢圓C的方程；

（2）證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)

解：（1）易求橢圓C的方程：

（2）證明：根據(jù)條件可得點(diǎn)P坐標(biāo)

可得直線QF2的方程為

因?yàn)橹本€QF2與直線

交點(diǎn)為Q，易得Q點(diǎn)坐標(biāo)是

又因?yàn)辄c(diǎn)P坐標(biāo)

，可得PQ直線方程為

得x=-c，y=b2a，所以直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)

筆者對(duì)問(wèn)題（2）進(jìn)行了認(rèn)真探究，得到以下優(yōu)美結(jié)論：

結(jié)論1點(diǎn)

F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C：

x2a2

+y2b2

=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線交直線

x=a2c于點(diǎn)Q，則

PF2QF2

結(jié)論2：點(diǎn)

F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）

分別是橢圓C：

x2a2

+y2b2=1（a>b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線

l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2，則l1與l2的交點(diǎn)必在右準(zhǔn)線上

結(jié)論3：點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓C：

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線

x=a2c于點(diǎn)Q，橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M

（-a2c，0），則P、Q、M三點(diǎn)共線

通過(guò)類比雙曲線也有如下優(yōu)美結(jié)論

結(jié)論4：如圖2，點(diǎn)

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的

垂線交雙曲線C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)

F2作直線PF2的垂線交直線

x=a2c于點(diǎn)Q，則直線PQ與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)

結(jié)論5：點(diǎn)

F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：x2a2

-b2b=1（a>0，b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的垂線交雙曲線C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線C的切線交直線

結(jié)論6：點(diǎn)

F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

F1作x軸的垂線交雙曲線C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線C的切線l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線

l2，則

l1與l2的交點(diǎn)必在右準(zhǔn)線上

結(jié)論7：點(diǎn)

F1（-c，0）、F2（c，0）分別是雙曲線C：

x2a2

-b2b=1（a>0，b>0）

的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作x軸的

垂線交雙曲線C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線交直線

x=a2c于點(diǎn)Q，雙曲線C的左準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M（

-a2c，0），則P、Q、M三點(diǎn)共線

以上結(jié)論的