解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核

解密數(shù)學(xué)思的內(nèi)核數(shù)學(xué)解的思維過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧全過程的思維活動。對于數(shù)學(xué)解題思維過程G.波亞提出了四個(gè)階（見附錄），即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維動過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動過程的開始。數(shù)學(xué)解的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、接化等。一、

熟悉化略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）充分聯(lián)想回基本知和題型按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點(diǎn)題1

型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。（二）、全方位、多度分析意：對于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識。因此，根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗(yàn)適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）當(dāng)構(gòu)造輔助素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡化策略所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原。簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有:尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。1尋求中間環(huán)，挖掘含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。2分類考察討：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情。對于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題單化。3簡單化已知件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)r撇開不顧，先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線作用。4恰當(dāng)分解結(jié)：有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。2

三、直化策略：所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯(lián)系，找到原題的題思路。（一）圖表直觀：有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復(fù)雜，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。（三）圖象直觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁獲取簡便，巧妙的解法。四、特化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。五、一化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時(shí)，設(shè)法把特殊問題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利出原題。六、整化策略所謂整體化策略是我們面的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。七、間化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場合甚至找不到解依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原。3

數(shù)學(xué)解題思過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動。在數(shù)學(xué)，通?？蓪㈩}過程為四個(gè)階段第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系中找出需要的知識信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的備。第二階段是尋解途。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。第三階段是實(shí)計(jì)。計(jì)劃的所有節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢與結(jié)求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維動過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動過程的開始。通過以探索途徑來高解題力：（）研究問題的條件時(shí)，在需與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。（）清晰地理解情境中的各個(gè)素定要弄清楚其中哪些元素是給定了的已知的哪些所求的，即未知的。（）深入地分析并思考習(xí)題敘中的每一個(gè)符號、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看否有重要發(fā)現(xiàn)。（）盡可能從整體上理解題目條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。（）仔細(xì)考慮題意是否有其他同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（）認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)通過目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。4

（）如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開。以上途特別有利于始解題能迅速“登入室”找到解題的步點(diǎn)。制定計(jì)劃尋求解階段，最好用下面套探索方法（1）設(shè)法將題目與你會解的某一類題聯(lián)系起來或者盡可能找出你熟悉的最符合已知條件的解題方法。（2）記住題的目標(biāo)是尋求解答的主要方向在仔細(xì)分析目標(biāo)時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。（3）解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問題的條件結(jié)論作比較用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。（4）嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡化題的條件（也就是編擬條件簡化了的同類題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念用它的定義加以替代。（5）分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。（6）嘗試將題分解成一串輔助問題，依次解答這些輔助問題即可構(gòu)成所給題目的解。（7）研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會對基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。（8）改變題的一部分，看對其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。（9）萬一用盡方法還是解不出來你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊子中找一個(gè)同類題研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。*************************************************************附錄：波利亞給出了詳細(xì)的“怎樣解題”表，在這張表中啟發(fā)你找到解題途徑的一連串問句與建議，來表示思維過程的正確搜索程序其解題思想的核心在于不斷地變換問題連續(xù)地簡化問題，把數(shù)學(xué)解題看成為問題化歸的過程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問題加以解決。5

怎樣題G.波利

亞第：必弄問弄問：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)件否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開。你能否把它們寫下來？第：出知與知之的系如找出接聯(lián)，你能得考輔問，應(yīng)最終出個(gè)解計(jì)。擬計(jì)：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的關(guān)問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你