一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試-2022年新九年級數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）解析版

第14講一元二次方程全章復(fù)習(xí)與測試

諄【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；

2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；

3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法.

合【基礎(chǔ)知識】

一.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：''化簡后”；“一個未知數(shù)”；

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

二.一元二次方程的一般形式

（1）-一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式a^+bx+c^O

（?^0）.這種形式叫一元二次方程的一般形式.

其中or2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)b和

常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)。是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)。=0時，方程中就

沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

（2）要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式.

三.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,也是一元二次方程/+必+,

=0QW0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axr+bx^c—Q（aWO）,ax21+bx2+c—O（aWO）.

四.解一元二次方程-直接開平方法

形如/=0或（依+?。?=p（p》o）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成/=p的形式，那么可得》=±旃；

如果方程能化成（〃x+，w）2=p（pNO）的形式，那么〃x+w?=±_Jjj.

注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù).

②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

五.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（X+機）2=附的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為"2+/JX+C=O（aWO）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解,如果右邊是一個負(fù)數(shù),

則判定此方程無實數(shù)解.

六.解一元二次方程-公式法

（1）把x=="士山—4ac（.-4ac20）叫做一元二次方程ar2+bx+c=O（a#0）的求根公

2a

式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進而確定小6,c的值（注意符號）；

②求出戶-4成的值（若y-4ac<0,方程無實數(shù)根）；

③在62-44）0的前提下，把a、Ac的值代入公式進行計算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①。并0;②啟-4農(nóng)20.

七.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

八.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元

的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的.

九.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廬-4破)判斷方程的根的情況.

一元二次方程ar2+fcv+c=O(aWO)的根與△=標(biāo)-44c有如下關(guān)系：

①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)a<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

十.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：xi,總是方程f+px+q=O的兩根時，xi+%2=-p,

x\xi=q,反過來可得p=-(X1+X2),q=x\x2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi,也是一元二次方程以2+瓜+c=o(�)

的兩根時，X\+X2=X\X2=反過來也成立，即—=—(xi+%2),-=X\X2.

Qaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②己知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，X/+X22等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮。#0,△》()這兩個前提條件.

十一.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找

出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出己知量與未知量之間的等量關(guān)系，

即列出一元二次方程.

十二.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為十位數(shù)是4則這個兩位數(shù)表示為lOHa.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是4,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長百分

率）2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相

似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的"六字訣"

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹小根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

十三.配方法的應(yīng)用

1、用配方法解一元二次方程.

配方法的理論依據(jù)是公式。2±2"+廬=（a+h）2

配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時加上一次項

系數(shù)一半的平方.

2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值.

關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方.

3、配方法的綜合應(yīng)用.

十四.高次方程

（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程.

（2）高次方程的解法思想：

通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，即把

它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程.也有的通過因式分解來解.

對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項系數(shù)經(jīng)過有限

次四則運算和乘方和開方運算無法求解），這稱為阿貝爾定理.換句話說，只有三次和四

次的高次方程可用根式求解.

十五.無理方程

（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程.

（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程

（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程.

解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)

特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用

比例性質(zhì)法等.

（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，

往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根.

二

【考點剖析】

一.一元二次方程的定義（共1小題）

1.（2021秋?丹陽市期末）若方程，"I-8x-8=0是一元二次方程，則加的值等于（）

A.+1B.1C.-1D.0

【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為

0；是整式方程；含有一個未知數(shù)，可得答案.

【解答】解：若方程W—8X-8M0是一元二次方程，

則"7+1=2,

解得m=\.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

二.一元二次方程的一般形式（共1小題）

2.（2021秋?密山市校級期末）方程/-x=0的一次項系數(shù)是-1,常數(shù)項是0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=0（小b,c?是常數(shù)且“W0）.在一般

形式中o?叫二次項，區(qū)叫一次項，c?是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二次項系數(shù)，一次

項系數(shù)，常數(shù)項.

【解答】解：方程/-x=0的一次項系數(shù)是-1，常數(shù)項是0.

【點評】要確定一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一般形式.在本題中要注意常

數(shù)項是0,而不是不存在.

三.一元二次方程的解（共1小題）

3.（2021秋?金湖縣期末）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程/+px+q=O,可列表如下:

x0.511.11.21.31.4

x1+px+q-2.75-1-0.59-0.160.290.76

則方程/+px+<7=0的正數(shù)解滿足（)

A.解的整數(shù)部分是1,十分位是1

B.解的整數(shù)部分是1,十分位是2

C.解的整數(shù)部分是1,十分位是3

D.解的整數(shù)部分是1,十分位是4

【分析】通過觀察表格可得/+川+4=0時，1.2<xV1.3,即可求解.

【解答】解：由表格可知,

當(dāng)x=1.2時，x^+px+q<0,

當(dāng)x=1.3時，x^+px+qX),

.,.X2+/?A+<7=0時，1.2<x<1.3,

.?.解的整數(shù)部分是1,十分位是2,

故選：B.

【點評】本題考查一元二次方程的解，通過觀察所給的信息，確定一元二次方程解的范

圍是解題的關(guān)鍵.

四.解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）

4.（2022?鹽城開學(xué)）解方程（x-1）2=225.

【分析】利用直接開平方法求解即可.

【解答】解：；（x-解2=225,

1=±15,

解得xi=16,X2=-14.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關(guān)鍵.

五.解一元二次方程-配方法（共2小題）

5.（2022春?溫州期中）用配方法解方程，-4x-1=0時，配方后得到的方程為（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=5C.（%-2）2=3D.（%-2）2=5

【分析】移項，配方，根據(jù)完全平方公式變形，即可得出選項.

【解答】解：?-4x-1=0,

x2-4x=1,

x2-4x+4=1+4,

(x-2)2=5,

故選：D.

【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.

6.(2022?海陵區(qū)一模)(1)分解因式：3。2-6“+3；

(2)解方程：？-4x+2=0.

【分析】(1)先提公因數(shù)3,然后利用完全平方公式分解因式；

(2)利用配方法得到J-2)2=2,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：(1)原式=3(/-2。+1)

=3(a-1)2；

(2)x2-4x+2=0,

x2-4x=-2,

x2-4x+4=2

(x-2)2=2,

x-2—±-^2,

所以xi=2+^^,x2—2—^2.

【點評】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步

驟是解決問題的關(guān)鍵.

六.解一元二次方程-公式法(共1小題)

7.(2022?泗洪縣一模)解下列方程：

(1)(2x+l)(x-3)=0；

(2)/一4在x+8=0.

【分析】(1)方程利用因式分解法求出解即可；

(2)方程利用完全平方公式變形，開方即可求出解.

【解答】解：(1)方程(2x+l)(x-3)=0,

所以2x+l=0或x-3=0,

1

解距-

XI2

(2)方程變形得：(x-272)2=0,

開方得：x-2以=0,

解得：Xi=X2=2y/2.

【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法，直接開平方法，以及因式分解法，熟練

掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.

七.解一元二次方程.因式分解法(共3小題)

8.(2021秋?平羅縣期末)方程(x+1)(x-2)=0的兩根分別為()

A.xi=1,X2=2B.xi=-LX2=-2

C.xi=1,X2=-2D.xi=-1,X2=2

【分析】利用因式分解法把方程化為x+l=0或x-2=0,然后解兩個一次方程即可.

【解答】解：x+l=0或x-2=0,

所以xi=-1,xi—2.

故選：D.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通

過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能

得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為

解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

9.(2022春?海安市期中)方程x2-2022%=0的解是-=0,==2022.

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解:x2-2022x=0,

x(x-2022)=0,

x=0或x-2022=0,

所以xi=0,^2=2022.

故答案為：xi=0,X2=2O22.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

10.(2022春?張家港市校級期中)解方程：

(1)/-4x-5=0；

(2)37-l=2x+2

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程.

【解答】解：(1)(x-5)(x+1)=0,

x-5=0或x+1=0,

所以XI=5,X2=~I:

(2)37-2%-3=0,

4=3,h~-—2,c~~~3,

△=(-2)2-4X3X(-3)=40>0,

-b±Jb2-4ac2±2101±^10

X-----*------=-----v--=-----，

2a2x33

所以xi=i±F,X1~印

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式

法.

八.換元法解一元二次方程（共1小題）

11.（2022春?射陽縣校級月考）已知（7+丁+1）（Ay2-3）=5,則？+尸的值為（）

A.0B.4C.4或-2D.-2

【分析】設(shè)/+）2=z,則原方程換元為Z2-2Z-8=0,可得ZI=4,Z2=-2,即可求解.

【解答】解：設(shè)/+陜=2,則原方程換元為z2-2z-8=0,

（z-4）（z+2）=0,

解得：zi=4,Z2=-2,

即/+y2=4或x2+y2=-2（不合題意，舍去），

.?.,+）2=4.

故選：B.

【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵.

九.根的判別式（共1小題）

12.（2022春?海門市期中）若方程〃江2+6*+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取

值范圍為/“W3且〃序（）.

【分析】利用一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到mWO且a=62-4/?X3>0,

然后求出兩不等式的公共部分即可.

【解答】解：根據(jù)題意得且△=62-4mX3>0,

解得且"?#0,

即實數(shù)m的取值范圍為且znWO.

故答案為：且,w#0.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c^O（a#0）的根與A=廬-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當(dāng)△<（）時，方程無實數(shù)根.

一十.根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）

13.（2022春?崇川區(qū)校級月考）已知方程7-2022x+l=0的兩根分別為如、處則后-警

的值為-1.

【分析】由題意可得用3=1,后—2022x1=-I,將代數(shù)式后一些變形為后-里瑪■

x2xrx2

即可得出答案.

【解答】解：；方程x2-2022r+l=0的兩根分別為力，處

>\x[9x2=1,x1—2022x1+1=0,

；.X2_2022XI=-1,

2022

工在一

=后一2022X1

=-2022%1

=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握代數(shù)式的求值技巧是解題的

關(guān)鍵.

14.（2022?靖江市一模）已知方程7--2=0的兩根分別為xi,xi,則x/-★2+4%2的

值為4.

【分析】利用一元二次方程解的定義得到制2=〃|+2,入22=如+2；然后由根與系數(shù)的關(guān)

系求得XI+X2=2；最后代入所求的代數(shù)式求值即可.

【解答】解：???方程--2x-2=0的兩根分別為xi,X2,

.".xr—2x]+2,x22-2x2+2,XI+X2—2.

.".XI2-A22+4X2

=(2xi+2)-(2x2+2)+4x2

=2(xi+%2)

=2X2

=4.

故答案是：4.

【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題

是--種經(jīng)常使用的解題方法.

一十一.由實際問題抽象出一元二次方程（共2小題）

15.（2022春?海門市期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個問題：“今

有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？”

大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水

的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）

A.^+52—（x+1）2B./+1。2=（x+1）2

C.x2-52=(x-1)2D.X2-IO2=(x-1)2

【分析】首先設(shè)水深X尺，則蘆葦長為(X+1)尺，根據(jù)勾股定理可得方程.

【解答】解：設(shè)水深X尺，則蘆葦長為(X+1)尺，由題意得：

7+52=(x+1)2,

故選：A.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

16.(2019春?阜陽期中)南京某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進價為每千克40元，按每

千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，

平均每天的銷售量可增加10千克.專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，

且銷售盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價為多少元？

(1)解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元，由題意，得方程為(60-x-40)(100+lOx)

=2240；

方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價為x元，由題意得方程為：(x-40)[100+10(60

-x)]=2240.

(2)請你選擇一種方法，寫出完整的解答過程.

【分析】(1)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元，利用銷售量義每件利潤=2240元列出

方程求解即可；

方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為)，元，利用銷售量X每件利潤=2240元列出方程求

解即可.

(2)利用(1)中所列方程求出答案.

【解答】解：(1)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元.根據(jù)題意，得

(60-X-40)(IOO+IOJC)=2240.

方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為x元，由題意，得

(%-40)1100+10(6()-x)|=2240,

故答案為：(60-X-40)(100+10x)=2240,(x-40)[100+10(60-x)]=2240；

(2)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元.根據(jù)題意，得

(60-X-40)(100+10%)=2240,

解得xi=4,X2=6.

要讓顧客盡可能得到實惠，只能取x=6,

60-6=54元，

答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價54元.

方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為x元，由題意，得

(A:-40)1100+10(60-x)1=2240

解得xi=54,%2=56.

要讓顧客盡可能得到實惠，只能取x=54,

答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價54元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方

程.

一十二.一元二次方程的應(yīng)用(共1小題)

17.(2022春?鼓樓區(qū)校級月考)我們把一個式子或一個式子部分改寫成完全平方式或者幾

個完全平方式的和的形式，這種解題方法叫做配方法，配方法常常用于恒等變形、化簡

求值、解一元二次方程、求最值等問題.

(1)己知三角形ABC的三邊長“、氏c都是正整數(shù)，并且滿足J+2層-6〃-46+11=0,

求三角形ABC的周長，你能利用配方法解決這個問題嗎？

(2)某商品現(xiàn)在每件盈利10元，每天可賣出30件.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如調(diào)整價格，每漲

價1元，每天要少賣1件，當(dāng)每件商品漲價多少元時，每天的利潤最大？

【分析】(1)由a2+2h2-6a-4Z>+ll=0得(a-3)2+2(b-I)2=0,據(jù)此知a=3、b

=1,繼而根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定c的范圍，結(jié)合c是正整數(shù)可得c=3,從而得出答案；

(2)設(shè)每件商品漲價x元，每天的利潤為(10+x)(30-x)=-(x-10)2+400,由

(%-10)22。知-(x-10)2+400W400,從而得出答案.

【解答】解：(1)；/+2層-6。-4%+11=0,

.?./-6。+9+2戶-46+2=0,即(a-3)2+2(&-1)2=0,

則“-3=0且b-1=0,

解得〃=3,b=\,

：.3-l<c<3+l,即2<c<4,

???c是正整數(shù)，

.?.c=3,

則△A8C的周長為3+1+3=7；

(2)設(shè)每件商品漲價x元，

每天的利潤為(10+x)(30-%)

=-/+20x+300

=-(x-10)2+400,

,/(X-10)220,

-(X-10)2<0,

則-(x-10)2+400W400,

.?.當(dāng)x=10時，-(x-10)2+400取得最大值400,

答：當(dāng)每件商品漲價10元時，每天的利潤最大.

【點評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式的應(yīng)用、

三角形三邊關(guān)系及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識點.

一十三.配方法的應(yīng)用(共1小題)

18.(2022春?潤州區(qū)校級期中)閱讀材料：

數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式，-八+5的最小值時，利用公式〃2±2"+戶=(a+b)2,

對式子作如下變形：/-4x+5=/-4x+4+l=(x-2)2+1.

,/(jc-2)220,(x-2)2+121.

當(dāng)x=2時，(x-2)2+1=1,

因此(x-2)2+1有最小值1,即/-4x+5的最小值為1.

通過閱讀，解決下列問題：

(1)代數(shù)式/+10x-6的最小值為-31：

(2)試比較代數(shù)式A=37-2x與B=2?+4x-10的大小，并說明理由.

【分析】(1)仿照閱讀材料中的方法把代數(shù)式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出最小值

即可；

(2)利用作差法列出關(guān)系式，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出大小即可.

【解答】解：(1)7+10x-6

=(AlOx+25)-31

=(x+5)2-31,

,/(x+5)220,

...當(dāng)x+5=0,即x=-5時，代數(shù)式/+10x-6的最小值為-31.

故答案為：-31；

(2)A>B.理由如下：

'/(3?-2x)-(2?+4x-10)

=3'-2x-2X1-4x+10

=j？-6x+10

=(7-6x+9)+1

=(x-3)2+l>l>0,

：.A>B.

【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本

題的關(guān)鍵.

一十四.高次方程(共1小題)

19.(2021秋?漂陽市期中)閱讀理解：

對于(j+1)X+〃這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：

x3-(H2+1)x+n

=r3-n2x-x+n

=x(x2-n2)-(x-n)

=x(x+")(x-n)-(x-ri')

=(x-n)(.x1+nx-1)

理解運用：

如果4-(n2+l)x+n—O,那么(x-ri')(7+?%-1)—0,

即有x-w=0或-1=0.

因此，方程x-"=0和-1=0的所有解就是方程『-(j+1)》+〃=0的解.

解決問題：

求方程4-5x+2=0的解.

【分析】仿照題例，先變形方程，轉(zhuǎn)化為一個一次方程和一個二次方程的形式，求解即

可.

【解答】解：方程4-5/2=0變形為/-(4+l)x+2=0,

.,.X3-4x-x+2=0.

(x3-4x)-(x-2)—0.

(x+2)(x-2)-(x-2)=0.

(x-2)(JT+2X-1)=0.

.,.x-2=0或JT+2X-1=0.

，X1=2,X2~~1+^2>X3=-1—y/2-

【點評】本題考查r解高次方程，看懂和理解題例，掌握一元二次方程的解法是解決本

題的關(guān)鍵.

一十五.無理方程(共1小題)

20.(2021秋?秦淮區(qū)期中)閱讀解方程的途徑.

方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的數(shù)學(xué)思想--轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為己知,

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解決一些新的方程.

(1)請用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，填寫如圖的空格.

'隼分解

（2）求方程，2x+3=x的解.

【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的兩個根即可；

（2）通過方程兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用一元二次方程的解法求解即

可.

【解答】解：（1）???/+x-2=0,

Z.（x+2）（x-1）=0.

即x+2—O或x-1=0.

-2,X3=l.

故答案為：-2,1；

（2）兩邊平方，得2x+3=".

整理，得/-2%-3=0.

二（x-3）（x+1）=0.

??X[=3,X2=-1.

經(jīng)檢驗，X=-1是增根，舍去.

所以原方程的解為x=3.

【點評】本題考查了高次方程和無理方程，掌握轉(zhuǎn)化的思想和一元二次方程的解法是解

決本題的關(guān)鍵.

一十六.一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共1小題）

21.（2010秋?海淀區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程心分2"+i）x-3=0

（1）若方程有兩個有理數(shù)根，求整數(shù)k的值

（2）若k滿足不等式16k+3>0,試討論方程根的情況.

【分析】（1）方程有兩根，則根據(jù)跟的判別式求出《的取值范圍，然后根據(jù)兩根都是有

理數(shù)，進而判斷出整數(shù)人的值，

（2）分類討論，當(dāng)k=0時，方程是一元次方程，方程的根只有一個，當(dāng)結(jié)合

不等式16k+3>0和跟的判別式等條件討論出方程根的情況.

【解答】解：（1）若方程有兩個有理數(shù)根，

則△=4（R1）2+1240,

解得k<三回或k>心產(chǎn),

若一元二次方程有有理根，

則△=4（RI）2+12k是一個有理數(shù)的平方，

解得k=3或-5或-8,

（2）若:滿足不等式16好3>0,

即A-W，

1O

①若上=0,方程履2+2a+1）X-3=0只有一個根，

②當(dāng)kK0時，方程小+2（A+l）x-3=0為一元二次方程，

令△=4（&+1）2+12左=4正+20〃+4=0,

解得k=-5產(chǎn),

乂知仁〉￥，

.?.當(dāng)16k+3>0時，△>0,

二方程有兩個根，

故當(dāng)A=0時，方程有一個根，

當(dāng)Jtwo,16k+3>0,時，方程有兩個根.

【點評】本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟

練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式的知識，此題有點難度.

?【過關(guān)檢測】

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）下列說法正確的是（）

A.方程87-7=0的一次項系數(shù)為-7

B.一元二次方程的一般形式是小+公+。=0

C.當(dāng)％=0時，方程依3x-1=/為一元二次方程

D.當(dāng)“取所有實數(shù)時，關(guān)于x的方程（〃P+i）/-〃a-3=0為一元二次方程

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答.一元二次方程必須滿足四個條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0；

（3）是整式方程；

（4）含有一個未知數(shù).依此即可求解.

【解答】解：A、方程8f-7=0的一次項系數(shù)為0,故選項錯誤；

B、一元二次方程的一般形式是“/+6x+c=0（&W0）,故選項錯誤；

C、當(dāng)&-1W0,即ZW1時，方程fc?+3x-1=/為一元二次方程，故選項錯誤：

D、當(dāng)，“取所有實數(shù)時，關(guān)于x的方程（〃?+1）/-m氏-3=（）為一元二次方程是正確的.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2.（3分），"是方程/+x-1=0的根，則式子/+2機2+2014的值為（）

A.2014B.2015C.2016D.2017

（分析】把"?代入f+x-1=0得至m2+m-1=0,即in2+m=1＞把m2+m=1代入式子：

加+2,“2+2014,再將式子變形為（WAH”）+〃?2+20|4的形式，即可求出式子的值.

【解答】解：是方程』+x-1=0的根，

/.rn^+m-1=0,即rn1+m—1,

.\w3+2m2+2014=m（m2+m）+/n2+2014=w+w2+2014=1+2014=2015.

故選：B.

【點評】考查了一元二次方程的解，代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含

在題設(shè)中，首先應(yīng)從題設(shè)中獲取代數(shù)式的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式

的值.

3.（3分）用直接開平方法解方程（x-3）2=8,得方程的根為（）

A.x=3+2^2B.x=3-2^2C.x—3i2^3D.x=3i2^2

【分析】方程利用平方根的定義開方即可求出解.

【解答】解：方程開方得：x-3=±2&,

解得：XI=3+2721%2=3-2^/2，

故選：D.

【點評】此題考查了解一元二次方程-直接開方法，熟練掌握平方根的定義是解本題的

關(guān)鍵.

4.（3分）用配方法解關(guān)于x的方程，+px+q=O時，此方程可變形為（）

A.（、+獷=9B.（》+獷=中

C（"獷=半D.（x—獷=呼

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，要注意解題步驟，把左邊配成完全平方式,

右邊化為常數(shù).

【解答】解：,：x2+px+q^0

..廠+〃x=-q

...f+px+。=一什號

A（x+與）2=/

24

故選：B.

【點評】配方法的一般步驟：

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數(shù)化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2

的倍數(shù).

5.（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2，-3x-&=0的一個根為1,則另一個根為（）

17

A.2B._IC.-D.一

22

【分析】首先把X=1代入方程，即可求得k的值，代入火的值，解方程即可求得.

【解答】解：根據(jù)題意得：2X1-3X1-/=O

:.k=-I

二方程為：2xi-3x+\=0

解得：JC1—1,X2=

故選：C.

【點評】此題考查了方程解的定義.還應(yīng)注意根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題時會更簡單.

6.（3分）下列一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）

A.7+1=0B./+4x-4=0C.x2+x+y=0D.?=0

42

【分析】直接利川根的判別式分別分析各選項，即可求得答案.

【解答】解：A、b=0,c—1.

二A=tr-4ac=02-4X1X1=-4<0,

此一元二次方程無實數(shù)根；

B、'.'a—1.b—4,c--4,

A=廬-4?c=42-4X1X(-4)=32>0,

此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根;

C、'."a=1,b=I.c—

4

△=hr-4ac=I2-4X1x=0,

此一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

D、a—1,b—~1?c=之，

A=房-4ac—（-1）2-4X1x1=—1<0,

此一元二次方程無實數(shù)根.

故選：C.

【點評】此題考查了根的判別式.注意△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；A=0Q方

程有兩個相等的實數(shù)根：A<（）Q方程沒有實數(shù)根.

7.（3分）畢業(yè)之際，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，

每兩個同學(xué)都相互贈送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為（）

A.5人B.6AC.7人D.8人

【分析】易得每個同學(xué)都要送給其他同學(xué)，等量關(guān)系為：小組的人數(shù)X（小組人數(shù)-1）

=30,把相關(guān)數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人.

x（x-1）=30.

解得xi=6,X2=-5（不合題意，舍去），

故選:B.

【點評】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到禮物總件數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8.（3分）一元二次方程2?+6工=9的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）

A.2,6,9B.6,2,9C.2,6,-9D.6,2,-9

【分析】方程整理為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，以及常數(shù)項即可.

【解答】解：方程整理得：2X2+6X-9=0,

則二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為6,常數(shù)項為-9.

故選：C.

【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c

=0（a,h,c是常數(shù)且a40）特別要注意的條件.這是在做題過程中容易忽視的

知識點.在一般形式中ar2叫二次項，hx叫一次項，c是常數(shù)項.其中a,b,。分別叫二

次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

9.（3分）若x=1是一元二次方程/+2x+m=0的一個根，則機的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【分析】把x=l代入方程/+2%+切=0,得出一個關(guān)于〃，的方程，求出方程的解即可.

【解答】解：把x=l代入方程/+2%+加=0得：1+2+/”=0,

解得：m—~3,

故選：C.

【點評】本題考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得應(yīng)用，能得出關(guān)于，〃的方程

是解此題的關(guān)鍵.

10.（3分）下面結(jié)論錯誤的是（）

A.方程7+4X+5=0,貝！］XI+JQ=-4,XIX2=5

B.方程2?-3"機=0有實根，則加工￡

O

C.方程7-8x+l=0可配方得（X-4）2=15

D.方程/+x-1=0兩根加==逸，雙=二室

【分析】A、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式即可得到結(jié)論；8、由根的判別式即可得

到結(jié)論；C、把原方程配方后可得結(jié)果；。、解方程即可得到結(jié)論；

【解答】解：A、方程/+4x+5=0,???△=42-4義5<0,則方程無實數(shù)根，此選項錯誤；

8、；方程2?-3工+，"=0有實根，.?.A=9-8，"20,.?.，”工?,此選項正確；

O

C、方程7-8x+l=0可配方得（x-4）2=15,此選項正確；

D、解方程/+x-1=0得劉=二1鬟，筮=匚三但，此選項正確；

故選：A.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，配方法解一元二次方程，公式法解

一元二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）

11.（3分）（1）若（施-2）--2%+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則加的取值范圍是m

W2.

（2）一元二次方程（ra+1）/+x+z?2-1=0有一個根為0,則/〃=1.

【分析】（1）直接根據(jù)一元二次方程的定義進行解答即可；

（2）將x=0代入方程即可求出，”的值.

【解答】解：⑴?.?方程（/n-2）?-2r+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，

：.m-2^0,解得，"W2.

故答案為：mW2；

（2）將x=0代入（m+1）/+x+^2-1=0,

m1-1=0,

，加=1或ni=-1,

V/n+1^0,

??m=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是將尸0代入（，〃+1）/+》+"[2-1=0,

本題屬于基礎(chǔ)題型.

12.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x+1）2+加=0可以用直接開平方法求解，則m的

取值范圍是mWO.

【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得.

【解答】解：???（x+l）2+,”=0,

（x+1）2=-m,

?.?方程（x+1）2+%=0可以用直接開平方法求解

20,

/."?<0.

故答案為

【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，正確化簡方程是解題關(guān)鍵.

13.（3分）若尤1=西一2是二次方程/+方+1=0的一個根，則a=4,該方程的另一

個根X2=—2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩根之積，即可得到方程的另一根，再由兩根之和

即可得出一個關(guān)于〃的方程，從而求得”的值.

【解答】解：設(shè)方程的另一個根為X2,

"：xi=百—2是二次方程/+以+1=0的一個根，

*"?Xi*x2=1>即（^3—2）x2=1>

?'?x2=~\/3—2，

/.xi+x2=-a,即值一2一0—2=—。，解得。=4,

故答案為4,--^3—2.

【點評】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，注意在解題時要重視解

題思路的逆向分析.

14.（3分）已知方程/-3x-1=0的兩個根是xi,X2,則xi+%2=3,xi'X2=-1.

（xi-1）（%2-1）--3,x\-X2—_+\/13?

【分析】可以直接利用根與系數(shù)的關(guān)系，計算兩根之積和兩根之和，進而即可求得（XI

-1）（X2-I）和X]~X2的值.

【解答】解：???方程/-3x-1=0的兩個根是xi,g

.*.X|+X2=3,X\X2--1,

:.（XI-1）（X2-1）=X1X2-（X1+X2）+1=-1-3+1=-3,

XI-X2=±Jg+口2）2-4X/2=±\!9+4=±\^13.

故答案為：3,-1,-3,±^13-

【點評】本題考查的是一元二次方程的解，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

Xl+X2=-2X1X2=￡得出是解題關(guān)鍵.

aa

15.（3分）某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30米，寬20米的長方形空地建成一個矩形花園，要

求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余地方種植花草.如圖所示，要

使種植花草的面積為532平方米，那么小道進出口的寬度應(yīng)為1米.（注：所有小

道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）

【分析】設(shè)小道進出口的寬度應(yīng)為x米，則種植花草部分的面積與長為（30-2x）米、

寬為（20-x）米的矩形的面積相等，根據(jù)種植花草的面積為532平方米，即可得出關(guān)于

x的一元二次方程，取其符合題意的值即可得出小道進出口的寬度.

【解答】解：設(shè)小道進出口的寬度應(yīng)為x米，則種植花草部分的面積與長為（30-2%）

米、寬為（20-x）米的矩形的面積相等，

依題意得：（30-2x）（20-x）=532,

整理得：x2-35x+34=0,

解得：xi=l,X2=34.

當(dāng)x=l時，30-2x=3