新高考高中物理競賽專題1力學50題競賽真題強化訓練原卷版

新高考高中物理競賽專題1力學

50題競賽真題強化訓練

一、單選題

1.（2019?全國?高三競賽）某同學經過一段時間練習，掌握了控制籃球的技巧。如圖所示，在距離地面一

定高度的地方，讓其轉動起來，初速度為0釋放，和地面發(fā)生彈性碰撞，即在豎直方向速度大小不變。

下面說法中正確的有（）

A.不考慮空氣影響，地面有摩擦，則碰撞前后相比動能總量增加

B.不考慮空氣影響，地面有摩擦，摩擦系數(shù)為“，則籃球彈起瞬間，速度方向和豎直方向的夾角的最大

可能值為arctan/z

C.不考慮空氣影響，地面光滑，則籃球一定豎直彈起

D.考慮空氣影響，籃球的落點會比釋放點偏右

2.（2020?全國?高三競賽）有兩個同樣的梯子，其頂部用活頁連在一起，在兩梯中間某相對的位置用一輕

繩系住，便形成了人字梯。如圖所示，將兩個同樣的人字梯甲、乙放置于水平地面上，甲梯用的繩更長

一些。當某人先、后站在甲、乙兩梯頂端時，下述說法正確的是（）

甲乙

A.甲梯所受地面的支持力一定較大

B.甲、乙兩梯所受地面的支持力一定相等

C.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的大

D.繩子被張緊時，甲梯所受地面的摩擦力一定比乙梯的小

二、多選題

3.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，某同學經過段時間練習，掌握了利用在瓶中裝不同高度的水，在瓶

口吹出不同頻率聲音，以演奏樂曲的技巧。以下說法中正確的有（）

B.吹出來聲音頻率主要由在空氣柱中聲波形成的駐波頻率來決定

C.空氣駐波在水面附近是波節(jié)，在瓶口附近是波腹

D.空氣柱長度越長，發(fā)出的聲音頻率越高

4.（2020?全國?高三競賽）甲、乙兩車在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行駛，甲車在前，乙車在

后，兩車距離100m。從1=0時起，甲、乙兩車的加速度隨時間變化如圖所示。取運動方向為正方向，下

面說法正確的是（）

A.1=3s時刻兩車距離最近

B.r=9s時刻兩車距離為100m

C.3~9s內乙車做勻減速運動

D.，=9s時刻乙車速度為零

三、填空題

5.（2021?全國?高三競賽）一質量為m、半徑為R的均質小球靜止在水平桌面上，小球和桌面之間的動摩

擦因數(shù)為〃，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g。用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置

位于球心所在的水平面上，擊打方向正對球心，擊打時間極短，小球獲得的水平沖量為p。從擊打結束開

始經時間后小球開始純滾動，小球開始純滾動時的速度為。已知小球繞球心的

轉動慣量為:"次、

6.（2020?全國?高三競賽）海平面能將無線電波全反射，反射波與入射波之間存在由于反射造成的半個波

長的相位突變。一艘船在其離海平面高度為25m的桅桿上裝有發(fā)射天線，向位于海岸高處的山頂接收站

發(fā)射波長在2~4m范圍內的無線電波。當船駛至與接收站的水平距離L越接近2000m,山頂接收站所接

收到的信號越弱；當L=2000m時失去無線電聯(lián)系。山頂接收站海拔高度為150m。船上天線發(fā)出的無線

電波中有一部分直接傳播到接收站，另一部分經海平面反射后傳播到接收站，兩列波的幾何波程差為

一m,該無線電波的實際波長為一m。

7.（2019?全國?高三競賽）圖中的ABC為等邊三角形，連接A3邊、AC邊的中點與、C一再連接A4、

AG的中點邑、Q……如此繼續(xù)下去，構成無限內接等邊三角形系列.設所有線段的質量線密度相同，

BC邊的質量為加，長度為那么等邊三角形系列的總質量為m,系統(tǒng)質心與BC邊的距離為

__________a.

8.（2020?全國?高三競賽）為了提高風力發(fā)電的效率，我國目前正逐步采用變槳距（即調節(jié)風機葉片與風

輪平面之間的夾角，當風速小時使葉片的迎風面積增大，當風速超過一定限度時使葉片的迎風面積減

小，以穩(wěn)定其輸出功率）控制風力發(fā)電機替代定槳距控制風力發(fā)電機。圖a所示中風力發(fā)電機每片葉片

長度為54m,定槳距風機和變槳距風機的功率與風速的對應關系如圖b所示，所處地域全天風速均為7.5

m/s,空氣密度為1.29kg/m3,煤的燃燒值為2.9x107j/kg。每小時進入一臺變槳距控制風力發(fā)電機的風的

初始動能與完全燃燒_kg煤所放出的熱量相當，變槳距控制風力發(fā)電機將風能轉化成電能的效率為

_%?

1oo變槳距風機

5oo

A

V4oo

/I

M3oo

S

2oo

1OO

0510152025風速/(nvs“)

圖a圖b

9.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，我們以太陽為參照系，地球繞太陽的運動周期為T,以地球為參照

系，月球繞地球的運動周期為T，則相鄰兩次月球-地球-太陽排列成幾乎一條直線的時間差約為

。記地球繞太陽的軌道半徑為在，月球繞地球的軌道半徑為，M（">>r“），以太陽為參照

系，月球運動過程，加速度的最小值和最大值的大小比例為。

四、實驗題

10.(2020?全國?高三競賽)實驗題一單擺法測定重力加速度和待測金屬球材料的電導率

【實驗題目】

根據(jù)下列給定的實驗器材和內容，設計單擺實驗，測定當?shù)氐闹亓铀俣群痛郎y金屬球材料的電導率.

【實驗器材】

(1).單擺裝置一套：包括一個半徑為90cm的測角儀，量程為-5.5。~+5.5。，分度值為0.1。。

(2).帶擺線的鋁球一個(質量”=lL346g、電導率b=3.767xlO?S/m)；帶擺線的待測金屬球一個(質量

加=35.112g)。

(3).螺旋測微器一把、卷尺一個，多通道計時秒表一個(使用方法詳見”秒表使用說明書”)。

(4).軌鐵硼永磁鐵一塊。注意：磁鐵為易碎物品，使用中請勿掉落地面。

(5).秒表盒一個、泡沫板幾塊和撲克一副(可用于墊高磁鐵)。

(6).一次性口罩一個。

【實驗注意事項】

(1).擺球的懸線較細，測量過程中不能用力拉扯擺線。

(2).擺球與懸線使用膠粘合，使用過程中不能人為拉扯，輕拿輕放，人為情況導致的球線分離不能更換擺

球。

(3).不得在擺線等儀器上做任何標記。

(4).使用鈦鐵硼永磁鐵時，請小心輕放，以免損壞，影響后續(xù)實驗測量。

(5).實驗結束，必須將儀器設備整理為初始狀態(tài)。

(6).實驗過程中全程高清視頻監(jiān)控，任何惡意損壞實驗儀器等不當行為將每次扣15分。

(7).測量過程中請佩戴口罩，空氣的流動對測量結果有影響。

【基礎知識】

(1).線性阻尼振動

把一個金屬小球拴在一根細長的線上，當細線質量遠小于小球質量，小球的直徑遠小于細線的長度時，

此裝置可以看作是一單擺。略去空氣的浮力以及擺線的伸長量，且當擺角較小時(小于等于5。)，可以認

為單擺的運動是簡諧振動。較長時間觀察單擺的運動就會發(fā)現(xiàn)，單擺的擺幅隨著時間衰減，這是空氣阻

力在起作用。當小球擺動的速度很小時，空氣阻力近似與擺動速度成線性關系，小球的運動稱為線性阻

尼振動，它的運動方程為在+2尸0+成。=0,且有一般解。=a￡*cos(Of+9),其中。為擺角，/為阻尼

系數(shù)，4為無阻尼簡諧振動的固有角頻率。線性阻尼振動的角頻率。與簡諧振動的角頻率口。之間滿足

(2).運動金屬球在梯度磁場中受到的阻尼力

梯度磁場指的是空間變化率(梯度)不為零的磁場。金屬球在這樣的磁場中運動時會在其內部產生渦旋

電流，因此會受到外磁場的作用。這個作用總是與金屬球的運動方向相反，稱之為磁阻尼力。金屬球在

梯度磁場中運動時受到的磁阻尼力與金屬球的電導率有關。如果金屬球在一個梯度為G(常數(shù))的磁場

中運動，磁阻尼力可以表達成：F=^G-r\,其中「是金屬球的半徑，口為金屬球的運動速度，。為

金屬球材料的電導率。

【實驗內容及要求】

實驗內容：

①.使用鋁球做為單擺擺球，準確測量長沙的重力加速度g。

(1)選擇合適的測量工具，多次測量鋁球的直徑d、單擺擺線的長度4,列出實驗數(shù)據(jù)，求出平均值，并計

算各物理量的不確定度。

(2)設計合理的實驗方案，觀測鋁球在線性空氣阻尼作用下，擺幅隨時間的變化，記錄實驗數(shù)據(jù)，計算周

期T；根據(jù)線性阻尼振動方程一般解的形式，擬合計算空氣阻尼系數(shù)四，分別估算兩者的不確定度。

(3)根據(jù)測量結果，利用阻尼振動周期的公式計算重力加速度g,并估算其不確定度。

②.測定鋁球在磁阻尼作用下做單擺運動的阻尼系數(shù)。

(1)在擺球靜止時，被鐵硼磁鐵應放置在擺球質心的正下方2.5cm-3.0cm處，觀測鋁球在磁阻尼作用下，

擺幅隨時間的變化，記錄實驗數(shù)據(jù)。

(2)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)擬合計算出此條件下單擺的阻尼系數(shù)乩，并估算其不確定度。

③.測量待測金屬球材料的電導率

(1)選擇合適的擺長，分別在有、無磁鐵條件下，觀測待測金屬球單擺擺幅隨時間的變化，并記錄實驗數(shù)

據(jù)。

(2)根據(jù)上述測量結果分別計算出未知金屬球在有、無磁鐵時的阻尼系數(shù)片和凡，并估算這兩個阻尼系數(shù)

的不確定度。

(3)根據(jù)上述實驗測量結果以及磁阻尼力公式：F=^G2r5v,推導出待測金屬球材料電導率的計算公

式，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求出待測金屬球材料的電導率并估算其不確定度。

實驗要求：

(1).請學生自行調整測角儀(半徑為90cm)到合適的位置進行實驗數(shù)據(jù)的測量。

(2).寫出實驗原理、操作要點，列出實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗內容保留必要的數(shù)據(jù)處理過程。

五、解答題

11.(2019?全國?高三競賽)如圖所示，在一次紅、藍兩軍的對抗模擬演習中，紅軍飛機在藍軍上空飛

行，飛行高度〃=5000〃，藍軍一高射炮A發(fā)現(xiàn)目標.A到飛機原飛行路徑(直線MN)在水平面上的投

影(直線M'N')的距離為4=4000，〃，A發(fā)射炮彈速度為v=2000,w/s

(1)要使A每炮均擊在飛機的原飛行路徑MN上，那么A的對準線與平面的交點軌跡是怎樣的

曲線，定量求之

(2)如果飛機在距A最近的B處發(fā)現(xiàn)了A,決定在〃=500.0,”的平面先作圓周運動再丟下一個和飛機速

度相同的炸彈攻擊A.|入|=200.0m/s.試求飛機做圓周運動半徑大小

（3）當飛機在8處并決定作出（2）中所述行動的同時，A也發(fā)現(xiàn)了飛機的行動，設此時A對準5上方，

A水平角度調整速度0=00425陽d/s,豎直方向調整時間忽略.定量計算并指出高射炮能否在飛機丟炸

彈前擊下飛機

12.（2019?全國?高三競賽）小球A、B、3,在光滑的水平面上沿一直線靜止放置，A、B質量不等，B、B'

質量相同，B與8間有一輕彈簧連接，彈簧處于自由長度狀態(tài)，讓A對準8勻速運動，彈性碰撞后，接

著又可觀察到A、B兩球間發(fā)生一次相遇不相碰事件，試求A質量與8質量的比值（給出3位有效數(shù)

值）

ABB'

S-*20VWWV\AM@

zz/zz/z/zZ/zz/Z/zz/ZZ/V/

o*

13.（2019?全國?高三競賽）一個原長為L、彈性系數(shù)為％的輕軟彈簧一端懸掛在轉軸上，另一端連接一個

質量為，〃的球體.彈簧自水平、自然伸長狀態(tài)釋放，如圖甲所示.當彈簧達到豎直位置時，彈簧的長度

是多少？（軟彈簧意味著加8?kL,因此彈簧內部的張力始終直接正比于其伸長量）

甲

14.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，有一輛左右對稱的光滑小車，質量為M,放在光滑水平面上，不

考慮輪子質量。重力加速度為g。將一個質點“如圖放置，初態(tài)質點和小車都靜止，然后自由

357"

釋放。小球下降r之后進入半徑為r的圓弧，經過圓心角為?后騰空一段距離/后恰好相對小車沿切

線進入右側圓弧，最終上升到右側與初態(tài)相同高度的點。

（1）求出質點剛開始騰空時，小車的速度大小

（2）為了使得質點恰好進入右側圓弧，/應當為多少。

m

15.（2019?全國?高三競賽）一質量為傾角為。的斜面放置在光滑水平面上，另一質量為，"、半徑為

K的均勻圓柱體沿斜面無滑動滾下，如圖所示

(1)建立斜面和圓柱體的動力學方程，并指出圓柱體作純滾動的運動學條件

(2)確定此力學系統(tǒng)的守匣量，并給出具體的表達式

(3)求解斜面的加速度，以及圓柱體質心相對于斜面的加速度

16.(2019?全國?高三競賽)兩相互咬合良好，且導通的金屬盤狀齒輪A、8均可繞水平軸無摩擦轉動，

而由另一個與A同軸絕緣滑輪C上有細繩，下掛一重物，質量為A、B、C的半徑分別為此，

RB，｛，質量分別為加“機B，機c，且兩軸。1、。2間連有電阻，大小為R.其他電阻均不計，空間中

分布有勻強磁場8,大小為8,方向垂直于金屬盤，試問：

(1)對任一時刻f(f=0時，”下落速度v=0),v(f)與流過R的總電量。⑺滿足:

x-0(/)+y-v(/)=r,X,y為常量，試求之

(2)重物下落至勻速時的速度!

(3)當=/時，重物的加速度

17.(2019?全國?高三競賽)如圖所示，空間中有一水平面，其右側為一垂直于水平面的墻面.現(xiàn)使空間

內具有一勻強磁場B,大小為B,方向如圖所示，已知一質量為機，帶電量為+夕(夕＞0)的小球，在距墻

左S處的水平面上以速度%開始向右水平運動，設球與水平面動摩擦因數(shù)為〃，且與墻的碰撞為彈性

的.試問：

XXXXXBX

XXXXXX堵面

X*'XXXXX

工

水平面

(1)要使小球曾經運動到平面以上，且最后以垂直于墻面的速度與墻相碰，以上數(shù)據(jù)應滿足的條件.

(2)設小球可以運動到平面以上，并且S為(1)中所滿足條件的次小值，而且由小球運動到靜止用時為

〃小球最終停在何處？

（3）若小球始終緊貼水平面運動，且最終靜止于原出發(fā)點，則從出發(fā)到靜止耗時，為多少？

18.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，一水平光滑圓盤繞著通過。點并垂直于盤面的定軸以勻角速度。

轉動.盤上有一個以。為圓心的圓形軌道，一質量為小的質點被約束在軌道內運動，質點與軌道的動摩

擦因數(shù)為〃.開始時.，質點的相對速度為%,試分析：

（1）運動中質點的相對運動速度v

（2）軌道對質點約束反力的大小

（3）質點運動的相對路程與時間的關系.

19.（2019?全國?高三競賽）有一個豎直光滑輕軒固定在質量M=的寬大底座中央.一不可伸長的輕

繩長L,一端固定在桿頂，另一端連接在一個套在桿上的小輕環(huán)上，小輕環(huán)可沿桿自由運動（桿長略大

于乙）.另在輕繩上串一個可視為質點且小孔光滑的小珠，質量為機.平衡態(tài)下，小珠靠在小輕環(huán)上.之

后給小珠一個與水平面夾45。向上的速度丫=或誕.在整個過程中，底座處于水平面內不會翻轉.問：小

珠上升過程中，為使底座水平不動，地面和底座的靜摩擦系數(shù)至少應為多少？

r27r

20.（2019?全國?高三競賽）在行星繞太陽的橢圓運動中，若令a-r=aecosE,\—dt=T,其中，工為

Jr

周期，。為半長軸，e為離心率.在天文學上，稱E為偏近點角，試證開普勒方程：T=E-esinE.（當

行星處子近日點時，取7=0,即f=0）注：偏近點角是過橢圓上的任意一點，垂直于橢圓半長軸，交半

長軸外接圓的點到原點的直線與半長軸所成夾角.在橢圓的參數(shù)方程x=acos。，y=Ain。中，參數(shù)角6

即為偏近點角

21.（2019?全國?高三競賽）（1）質量為M的天體（例如太陽）固定不動，質量為用的質點（例如小行

星）以速度％、瞄準距離6從無窮遠處，在M的萬有引力作用下沿雙曲線軌道靠近M運動，最后又遠離

〃而去.試求圖I所示的散射角e（即運動方向的偏轉角

（2）電量Q>0的帶電質點（例如重原子核）近似不動，質量為掰、電量為的帶電質點（例如如a

粒子）以速度％、瞄準距離匕從無窮遠處（或足夠遠處）靠近Q運動，又在庫侖力的作用下遠離。而去，

試求圖2所示的散射角e.

圖I圖2

22.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，遙遠的太空中有一孤立星體，半徑為R,質量為M,分布均

勻.有一空間站在距球心，的圓軌道上做無動力飛行.現(xiàn)考慮從空間站向星體發(fā)射飛船，需要討論飛船

的著陸問題

（1）人們提出了兩種著陸方案，方案一：飛船相對空間站發(fā)射時速度指向球心，大小為W.方案二：飛

船發(fā)射時相對空間站速度指向空間站運動的反方向，大小為匕，請分別求出耳與匕的大小

（2）當空間站運動到圖示位置時發(fā)射飛船，為使飛船能精確著陸在圖中的A點，試求飛船發(fā)射時的相對

空間站的速度.（以上問題均不考慮空間站的反沖作用，且飛船總是沿切線方向著陸，飛船總是采取節(jié)省

燃料的發(fā)射方式）

23.（2019?全國?高三競賽）根據(jù)現(xiàn)代大爆炸宇宙學說，整個宇宙是膨脹的.在某個特定的時刻，，宇宙中

相距為，?的兩點的相對退行速度為丫=”廠.這就是著名的哈勃定律，其中“僅為時間，的函數(shù)，在一段不

太長的時間內，”可視為恒量

（1）宇宙的膨脹會由于引力作用而不斷減速，隨著不同的宇宙平均密度，宇宙可能是開放的（即無限膨

脹下去），也可能是閉合的（即會在某一時刻開始收縮），試求出這兩種情況下，宇宙平均密度的分界點

々（用”與基本物理常量表示）

（2）設目前宇宙的哈勃常量為H。，平均密度為＞〃，試計算宇宙從大爆炸到開始收縮的時間（用含

小,。。及基本物理常量的式子表示）

24.（2019?全國?高三競賽）飛機在空中以速度〃=200m/s做水平飛行，它發(fā)出頻率為%=2000Hz的聲

波，當它從A飛往2處時，用了4s,而地面上觀測者某處觀察者E測得飛機在從A到8過程中，聲波頻

率由匕=2400Hz降為匕=1600Hz.已知聲速v=330m/s,試求飛機飛行高度.

25.（2019?全國?高三競賽）如圖甲所示，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O,一根勁度系數(shù)為4的

輕而細的彈性繩穿過小孔O,繩的一端固定于小孔正下方的A點，另一端系一質量甲為，〃的小球，彈性

繩自由長度等于方.現(xiàn)將小球沿桌面拉至8處，設麗=/,并將小球沿垂直于OB的方向以初速度%沿

桌面射出，試求：

甲

（1）小球繞O點轉過90。至C點所需時間；

（2）小球到達C點時的速度％及C點至。點的距離.

26.（2019?全國?高三競賽）一個小球連接兩個相同的自然伸長的輕質彈性繩，彈性繩的遠端都固定起

來，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）.現(xiàn)在把小球在垂直于彈性繩初始直線方向向上拉開

1cm,然后釋放，后讀出小球的振動周期為2s.問：拉開距離為2cm時，小球振動的周期為多少？（彈

性繩自然長度/。？1cm,重力不計）

tX

27.（2021?全國?高三競賽）6個小朋友在操場上玩追逐游戲。開始時，6個小朋友兩兩間距離相等，構成

一正六邊形。然后每個小朋友均以不變的速率v追趕前面的小朋友（即小朋友1追2、2追3、3追4、4

追5、5追6、6追1）,在此過程中，每個小朋友的運動方向總是指向其前方的小朋友。已知某一時刻

片0,相鄰兩個小朋友的距離為/，如圖所示。試問：

（1）從3時刻開始，又經過多長時間后面的小朋友可追到前面的小朋友；

（2）從為時刻開始，直至追上前面的小朋友，每個小朋友又跑了多少路程；

（3）在S時刻，每個小朋友的加速度大小是多少。

28.(2019?全國?高三競賽)某同學特別喜愛造橋游戲，如圖所示，用10根一樣的輕桿搭了一座橋，桿長

I,所有連接的地方均為較接，在B點掛了小重物，重力大小為P。AG在同一水平高度。

(1)求地面對AG點作用力的豎直分量大小NL,NR；

(2)如果每根桿能承受的最大壓力或張力均為F,則為了保證橋不塌方最大為多少？

29.(2019?全國?高三競賽)2016年9月，G20峰會在杭州隆重召開，其會議廳的裝飾設計既展示出中國

建筑的節(jié)能環(huán)保理念，又體現(xiàn)了浙江的竹文化特色.圖a給出了其部分墻面采用的微孔竹板裝飾的局部

放大照片，該裝飾同時又實現(xiàn)了對聲波的共振吸收.竹板上有一系列不同面積、周期性排列的長方形微

孔，聲波進入微孔后導致微孔中的空氣柱做簡諧振動.單個微孔和竹板后的空氣層，可簡化成一個亥姆霍

茲共振器，如圖b所示.假設微孔深度均為1、單個微孔后的空氣腔體體積均為玲、微孔橫截面積記為S.

聲波在空氣層中傳播可視為絕熱過程，聲波傳播速度匕與空氣密度。及體積彈性模量K的關系為

匕羋,其中《是氣體壓強的增加量如與其體積V相對變化量之比K=-二黑7=-丫鋁，已知標準狀

]/pAV/VAV

7

態(tài)(273K,latm=1.01x105pa)下空氣(可視為理想氣體)的摩爾質量Mm°i=29.0g/mol,熱容比/=二，氣體普適

常量R=8.31J/(K-mol).

(1)求標準狀態(tài)下空氣的密度和聲波在空氣中的傳播速度匕；

(2)求上述亥姆霍茲共振器吸收聲波的頻率(用《、S、I、Vo表示)；

(3)為了吸收頻率分別為120Hz和200Hz的聲波，相應的兩種微孔橫截面積之比應為多少？

30.(2019?全國?高三競賽)農用平板車的筒化模型如圖。所示，兩車輪的半徑均為/■(忽略內外半徑差),

質量均為皿車輪輻條的質量可忽略），兩輪可2〃?繞過其中心的光滑細車軸轉動（軸m的質量可忽略）；車

平板長為/、質把手量為2如平板的質心恰好位于車輪的軸上；兩車把手（可視為細直桿）的長均為2/、質

量均為〃?，且把手前端與平板對齊，平板、把手和車軸固連成一個整體，車輪、平板和把手各自的質量

分布都是均勻的.重力加速度大小為g.

（1）該平板車的車輪被一裝置（圖中未畫出）卡住而不能前后移動，但仍可繞車軸轉動.將把手提至水平位置

由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉動角速度.

（2）在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時將車輪和軸鎖死，在碰后的瞬間立

即解鎖，假設碰撞時間較短（但不為零），碰后把手末端在豎直方向不反彈.已知把手與地面、車輪與地面

之間的滑動摩擦系數(shù)均為"（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）.求在車輪從開始運動直至靜止的過程中，車軸

移動的距離.

31.（2019?全國?高三競賽）如圖m旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳（可視為剛性結構），三個相同凳

腳的端點連線（均水平）構成邊長為。的等邊三角形，凳子質心位于其軸上的G點.半徑為/■的一圓筒形薄壁

茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心。點處，茶杯質量為皿遠小于凳子質量），其中杯底質量為最

（杯壁和杯底各自的質量分布都是均勻的），杯高為”（與杯高相比，杯底厚度可忽略）.杯中盛有茶水，茶水

密度為P.重力加速度大小為g.

（1）為了使茶水杯所盛茶水盡可能多并保持足夠穩(wěn)定，杯中茶水的最佳高度是多少？

（2）現(xiàn)該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內切于。點時靜止（凳面邊有小凸緣，可防止物體

滑出；凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分布都是均勻的），且OCAC（見圖與，求此時旅行車內底板對各

凳腳的支持力相對于滑移前（該茶水杯位于凳面中心處）的改變.

32.（2019?全國?高三競賽）一個半徑為弓和弓，重量為G0=2（）0N,可繞軸A轉動的滑輪通過一個固定在

墻上可轉動的叉子A8支撐，其中：=3,a=30。，如圖所示.繩索在滑輪較小半徑片的軸肩上纏繞了一

圈，繩索右端用重力G=500N加載，滑輪與墻之間以及滑輪與繩之間的摩擦因數(shù)相同，靜摩擦因數(shù)為

〃,=0.3,動摩擦因數(shù)為〃=0.2.試問：

（1）如果要使重物G懸起，左邊繩子在￡=。的情況下，至少要施加多大力尸？

（2）如果要使重物G緩慢升起，左邊繩子在尸=0時需用多大為尸？

（3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最??；其值為多大？

33.（2019?全國?高三競賽）均質桿A8長為2/,豎直地放在桌面邊緣上，B點與桌面的邊緣接觸.給一微

小擾動，桿將繞B點向外轉動.當桿受到桌子的反力為零時，桿將離開桌子，試求：

（1）當桿離開桌子時，桿轉過的角度，并求此時桿的角速度？

（2）如果桿垂直地打擊地面，則桌子的高度應為多少？

34.（2019?全國?高三競賽）打樁機的鐵塔高度為〃=40.0加，錘的質量肛=L0xl04&g；鋼筋混凝土樁的

質量咫=2.0xl（）9g,樁的橫截面為正方形，其邊長。=0.5m.樁在被打入地下的過程中，其阻力可以認

為主要來自樁側面泥土對其的黏滯作用，且阻力系數(shù)為火=2.5x104N/m2,當樁已被打入地下％=10.0巾

時，再把錘升高力=1?！?,然后自由落下打擊樁.假設碰撞過程是完全非彈性碰撞，試回答下列問題：

（1）這一錘能把樁再打多深？

（2）打樁的效率（用于推進樁的能量與錘打擊樁的能量之比）為多少？

（3）如果碰撞過程是彈性碰撞，其恢復因數(shù)e=0.8,重新分析問題（1）和（2）.

35.（2019?全國?高三競賽）質點或光滑球以某一角度入射到硬質表面上發(fā)生的反跳，通常呈現(xiàn)“反射角等

于入射角”的現(xiàn)象.但是對于一種粗糙的硬質橡皮球，當其與硬質表面碰撞且滿足動能守恒時，它在反跳

過程中卻表現(xiàn)出許多奇異的現(xiàn)象，這種粗糙的高彈性人造硬質橡皮球稱為超級彈性球，簡稱為超球.這

種超球在硬質表面上的反跳幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現(xiàn)象.試回答下

又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當，那么小超球將反跳的高度大約是原先下落高

度的9倍，如圖1所示.若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球

的質量選擇恰當，那么在它們碰撞地面后，乒乓球將反跳的高度幾乎是原先下落高度的49倍.試建立力

學模型進行說明

（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉的角速度與硬質地面碰撞，旋轉的超球在A、B兩點之間來

回反跳，如圖3所示.試說明發(fā)生這種現(xiàn)象的條件

36.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，豎直平面內有懸點。和B,O上有一原長為0的彈性輕繩，彈性

繩的勁度系數(shù)為3懸于。點，另一端掛一質量為〃，的小球8,靜止于B處，另有一個同樣的彈性繩懸于

。點，和8小球一樣的小球A系在繩的另一端.現(xiàn)將A球拉至水平，且。4=/,O點左邊g處有一豎直的

彈性墻初始時可使A具有豎直方向的速度叭且A能擊中B,求速度上（繩與繩之間不會相纏繞，

A球懸繩不會與8“相碰”）

37.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，四個半徑為1,且完全相同的均質光滑圓球，將它們擺為上下兩層

且彼此相切，下層三個球A、8、C質量均為加，放置在光滑水平面上，上層球。的質量為下邊三個球

質量之和.試分析：

（1）若將下層三個球用一根繩子在球心高度處纏繞，把三個球捆扎在一起，再將第四個球放在上層，

問：靜止情況下張力T為多大？

（2）若在圖所示的位置突然剪斷繩子，四個球由靜止開始運動，問：上下層球在什么位置處開始脫離？

（3）問：上層球第一次落到桌面時，下層三個球的質心運動后所組成等邊三角形的邊長為多大？

38.（2019?全國?高三競賽）有一支架，由光滑的桿構成，疊放方式如圖所示，A置于光滑的碗沿

上，其中4為加&的中點，鳥為c6G的中點，A為4鳥的中點，戶為A4的中點，桿的粗細不計，現(xiàn)

在p點放一質量為M的重物，試求GVC4處支持力的大小.（為方便表示，可用各點序號表示此處的相

互作用力）

39.（2019?全國?高三競賽）許多相同的小球按圖甲所示方法堆積，第一層有一個球，第二層有三個

球，…，第”層有當W個球.現(xiàn)對第，"層的球按圖乙所示方法編寫坐標（孫〃,。）（其中〃和P分別表

示球在m層中的排數(shù)和從左往右數(shù)在該排的序數(shù)）.試求出編號為（私〃,P）的球與下面三個球

++之間的彈力，小球質量為〃

40.（2019?全國?高三競賽）所謂暗物質是指宇宙中那些既不發(fā)光也不反光，因而無法看到的物質，不過

暗物質與通常物質都遵循萬有引力定律，天文觀測有跡象表明，暗物質的質量可能占宇宙總質量的90%

至99%.如果能用磁譜儀探測到暗物質，從而進一步測出宇宙中物質的總平均密度夕，那么，我們就能

根據(jù)下面敘述的原理預言宇宙膨脹的前景.

尸［

JA

??

.

宇宙的膨脹現(xiàn)象是在20世紀30年代由哈勃等科學家發(fā)現(xiàn)的，它是指觀察者在宇宙中的任何一個星系

（例如。）上向任何一方向看去，會看到所有其他的星系（例如P）都在遠離自己，其速度v與距離R成

正比，即丫=印?，如圖6所示比例系數(shù)H叫哈勃常量，單位為千米/（秒?光年）.

①如果認為宇宙是均勻的各向同性的，其物質密度為0,那么質量為根的星系P在遠離觀察者。時，所

受到的宇宙所有其他物質（包括圖匕球面內、外兩部分）對它的總引力是多少？

②如果質量為〃，的星系P相對于。點的引力勢能不二G―M-m1（其中M為圖6中球面內物質的質量），星

A

系P的總能量E等于其動能與引力勢能之和，以證明恰使￡=0的宇宙物質密度.=福.

③試說明，通過比較現(xiàn)在宇宙的物質密度夕與上述密度々的大小即可預言宇宙膨脹前景：或永遠膨脹下

去，或在將來的某一時刻停止膨脹，轉而變?yōu)槭湛s.

41.（2019?全國?高三競賽）桿BC、BD、CD、CE、CG、0G由光滑較鏈連接，位于正方體的邊和對

角線上，各桿的質量不計，如圖所示.錢鏈8、E及G是固定的，在較鏈O處有沿EO方向的作用力P,

在錢鏈C處有沿CG方向的作用力。.在平衡狀態(tài)時，試求各桿的內力

42.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，在xOy坐標系內，f=0時，一質量為機的小球A以％的x正方向

速度開始運動，A與0點間連接著一勁度系數(shù)為3原長4=0的彈簧，且相云＞初二現(xiàn)有一小狗從O點

出發(fā)，追A球，且追蹤時線路滿足如下規(guī)律：（出發(fā)時f=0）

r

4（0.6L%?%

o*

（1）任意時刻，狗、球、。三點共線

22

（2）任意時刻，狗、球的速度滿足：曦+嗑.器=曦+噸.篝

（下標中x,y分別表示速度在x,y方向上的分量）試求：狗追上球的軌跡方程和時間

43.（2019?全國?高三競賽）一個大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為月和

。2（月＜￡）?現(xiàn)讓一長為L、密度為（8+々）/2的均勻木棍，豎直地放在上面液體內，其下端離兩液體

分界面的距離為3L/4,由靜止開始下落.試計算木棍到達最低處所需的時間.假定由于木棍運動而產生

的液體阻力可以忽略不計，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內部運動，既未露出液面，也未

與容器相碰.

44.（2019?全國?高三競賽）平臺A的質量為〃?，由勁度系數(shù)為々的輕彈簧來支持，彈簧上31端與A相

連，下端與地面相連，物塊8的質量也是，小自由地放在平臺中心，現(xiàn)用豎直向下的力雄=，2萬2+4,咫

把彈簧壓下（仍在彈性限度內），如圖所示，并在系統(tǒng)靜止時撤去外力，求此后4、B的運動情況及兩者

各自到達的最大高度.（若A、B間發(fā)生碰撞，則其碰撞為彈性碰撞）

45.（2020?全國?高三競賽）激光干沙引力波天文臺（LIGO）2015年首次探測到了十億光年外雙黑洞并合

產生的引力波，證實了愛因斯坦理論關于存在引力波和黑洞的預言。黑洞并合過程分為三個階段：第一

階段（旋近階段），兩黑洞圍繞系統(tǒng)質心在同一平面內做近似圓周的運動（見圖），損失的機械能轉化為

引力輻射能，兩者螺旋式逐漸靠近；第二階段（并合階段），雙黑洞并合為一個黑洞；最后階段（衰蕩階

段），并合的黑洞弛豫至平衡狀態(tài)，成為一個穩(wěn)定的旋轉黑洞。在旋近階段，若忽略黑洞的自轉和大小，

則雙黑洞均可視為質量分別恒為M與，〃的質點。它們之間距離隨時間而逐漸減小。假定系統(tǒng)除了輻

射引力波外無其它能量耗散，不考慮引力輻射的反作用，可用牛頓引力理論進行近似處理。

（1）引力波輻射功率除了與引力常量G成正比之外，還可能與兩黑洞的質量M與機、兩黑洞之間的距離

L,以及系統(tǒng)繞質心的轉動慣量/、轉動角速度。和輻射引力波的傳播速度（其大小等于真空中的光速c）

有關，試選取描述轉動體系輻射的三個物理量與G一起導出引力波輻射功率的表達式（假設其中可能待

定的無量綱比例常數(shù)為。）；

（2）若在初始時刻/=0時兩黑洞之間的距離為Lo,且引力波輻射功率表達式中的無量綱比例常數(shù)a是已知

的，求兩黑洞從z=0時開始繞系統(tǒng)質心旋轉360。所需要的時間；

(3)當兩黑洞從片0時開始繞系統(tǒng)質心旋轉多少度時，它們間的距離恰好是其初始距離的一半？

一?！?/p>

T

46.(2020?全國?高三競賽)我國大科學裝置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它在諸多領域有廣泛

的應用。歷史上，查德威克在1932年首次確認了中子的存在并測出了它的質量；哈恩等人在1939年發(fā)

現(xiàn)用中子轟擊鈾原子核可使其分裂，同時放出中子，引發(fā)鏈式反應。為了使鏈式反應能夠持續(xù)可控地進

行，可通過彈性碰撞使鈾核放出的中子慢化。不考慮相對論效應。

(1)查德威克用中子(質量為〃。轟擊質量為叫的靜止靶核(氫核H或氮核"N,質量為，碼或14如口。觀

察它們的運動。設靶核的出射動量與入射中子的初動量之間的夾角為a,試導出此時靶核的出射速率W

和中子的末速率v分別與中子初速率%之間的關系?該實驗測得氫核的最大出射速率為3.30xl07m/s,氮

核的最大出射速率為4.70x106m/s,求皿和力的值。

(2)在上述實驗中一個氮核也可能受到一束中子的連續(xù)撞擊。假設氮核開始時是靜止的，每次與之相碰的

中子的速率都是％,碰撞都使得氮核速率的增量最大。試計算經過多少次碰撞后氮核的動能與中子的初

動能近似相等？

(3)設經過多次碰撞被減速的中子處于熱平衡狀態(tài)，其速率滿足麥克斯韋分布

嚴心一齡

2叫T

這里建為玻爾茲曼常量，T為系統(tǒng)的絕對溫度。試計算在熱平衡時，中子的最概然速率所對應的動能和

最概然動能。

47.(2020?全國?高三競賽)反粒子最早由狄拉克的理論所預言。1932年，安德森研究宇宙射線時發(fā)現(xiàn)了

電子的反粒子——正電子。此后，人類又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了反質子等反粒子。

用單粒子能量為6.8GeV的高能質子束轟擊靜止的質子靶，可產生反質子，其反應式為

p+p-----------------Ap+p+p+

I

JT+

質子和反質子湮滅時可產生兀一介子，因此在反質子束流中還伴隨有大量匯介子。下圖是探測反質子的實

驗裝置原理圖。反質子而和打介子流依次通過閃爍計數(shù)器S1、S2和S3,S1與S?相距/=12m,在S2和S3

之間放置有切倫科夫計數(shù)器和C?。切倫科夫計數(shù)器通過探測切倫科夫輻射(帶電粒子在介質中的運動

速度超過介質中光速時所激發(fā)的電磁輻射)而確定帶電粒子的運動速度。G僅記錄速度較快的兀一介子，

C?僅記錄速度較慢的反質子。實驗中S,的作用是檢驗前面的計數(shù)結果是否真實。

(1)在上述反應中，假設末態(tài)質子和反質子速度相同，求反質子從和運動到S?所需的時間“。若武介子

與反質子動能相同，求兀-介子從&運動到S?所需的時間

(2)運動速率為v(v>c/〃)的帶電粒子通過折射率為〃的介質，求所產生的切倫科夫輻射傳播方向與帶電粒

了?的運動方向的夾角

(3)微分式切倫科夫計數(shù)器可以記錄速率在某一個區(qū)間的粒子數(shù)。下圖是其關于軸線(圖中虛線)旋轉對

稱的原理剖面圖。光收集系統(tǒng)包括半徑為R的球面鏡和半徑可調的環(huán)狀光闌。當切倫科夫輻射傳播方向

與帶電粒子運動方向的夾角。很小時，球面鏡將帶電粒子激發(fā)的切倫科夫輻射會聚在其焦平面上，形成半

徑為，?的輻射光環(huán)。投射在計數(shù)器上。對于速率為v的帶電粒子激發(fā)的輻射，求光環(huán)的半徑。

(4)反質子與質子相遇會發(fā)生湮滅反應p+p-3?！?。反應末態(tài)粒子的總動能與反應初態(tài)粒子的總動能之差

即為反應能Q。為簡單起見，假設質子和反質子的動能可忽略。末態(tài)三個兀。介子的總動能是一個常量，

可用Dalitz圖表示總動能在三個兀。介子之間的分配。如下圖所示，Dalitz圖是一個高為1的等邊三角形，

P點到三邊的距離等于三個兀。介子的動能占反