畢業(yè)論文-剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法

生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）PAGEPAGE1剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法摘要：本文從轉(zhuǎn)動(dòng)定律入手引出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后介紹了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義幾種計(jì)算方法。分別用定義法、疊加法、平行軸定理、垂直軸定理計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,利用慣量張量計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；定義法；平行軸定理；垂直軸定理；慣量張量TheCalculationofRigidBodyMomentofInertiaAbstract:Thispaperdescribedtherotationlawofinertia,andthenintroducedthemomentofinertiaofthephysicalmeaningofsomecalculation.Therigidbodymomentofinertiawascalculatedrespectivelyusingdefinedmethod,superpositionmethod,theparallelaxistheoremandtheverticalaxistheorem.Thisarticlealsocalculatedtherigidbodymomentofinertiausingtheinertiatensor.Keywords:momentofinertia；definitionoflaw；parallelaxistheorem；verticalaxistheorem;inertiatensor引言：隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量作為一個(gè)重要的工程參數(shù)，在越來(lái)越多的領(lǐng)域受到重視，如何更方便，快捷，準(zhǔn)確的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成為了一個(gè)迫切需要解決的問(wèn)題。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體中每個(gè)質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的和，而與質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能比較而言，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量。物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表示物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的研究由來(lái)已久，現(xiàn)在所取得的成果就是前人一點(diǎn)一滴積累來(lái)的。本文將在此基礎(chǔ)上，本著循序漸進(jìn)的原則，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及多種計(jì)算方法進(jìn)行探討。近年來(lái)伴隨著高新技術(shù)的日新月異，對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，尤其是對(duì)非均質(zhì)不規(guī)則物體早點(diǎn)過(guò)來(lái)的深入性研究，已經(jīng)對(duì)未來(lái)的航空、航天、軍事及精密儀器制造等高精尖行業(yè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入為引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，我們討論轉(zhuǎn)動(dòng)定律。圖1如圖1所示，剛體可看成是由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，此剛體可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

，于是剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞圖1如圖1所示，剛體可看成是由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，此剛體可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

，于是剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)。在剛體上取質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，

繞軸作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受兩個(gè)力作用，一個(gè)是外力，另一個(gè)是剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力，并設(shè)外力和內(nèi)力均在與軸相垂直的同一平面內(nèi)。由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（1）如以和分別表示外力和內(nèi)力在切向的分力，那么質(zhì)點(diǎn)的切向運(yùn)動(dòng)方程為（2）為質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。切向加速度與角加速度之間的關(guān)系。所以上式為（3）上式兩邊各乘以得（4）式中和分別是外力和內(nèi)力切向分力的力矩?？紤]到外力和內(nèi)力在法向的分力和均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力矩與內(nèi)力矩之和。若遍及所有質(zhì)點(diǎn)，可得（5）由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零，即。故上式為（6)而則為剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和，即合外力矩，用表示，有。這樣上式為（7）式中的與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說(shuō)，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，叫轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，它為一恒量，以表示，即（8)這樣，就有（9)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比，這個(gè)關(guān)系叫做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)動(dòng)定律。把式（9）與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式相對(duì)比可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對(duì)應(yīng)，角加速度與加速度相對(duì)應(yīng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量相對(duì)應(yīng)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義也可以這樣理解：當(dāng)以相同的力矩分別作用于兩個(gè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的不同剛體時(shí)，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性大；反之，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的慣性小。因此我們說(shuō)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法2.1定義法由可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用積分進(jìn)行計(jì)算，即

（10）在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是。下面計(jì)算兩種簡(jiǎn)單形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例1

一質(zhì)量為、長(zhǎng)為的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，如圖2所示，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解

設(shè)細(xì)棒的線密度為。如圖所示，取一距離轉(zhuǎn)軸為處的質(zhì)量元，可得

圖2由于轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心，有圖2

如以通過(guò)棒的端點(diǎn)且平行于的軸為轉(zhuǎn)軸，用同樣的方法?？捎?jì)算出棒對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。它比轉(zhuǎn)軸為時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要大。例2

一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解

設(shè)盤(pán)的質(zhì)量面密度為。如圖3所示，在圓盤(pán)上取一半徑為、寬度為的圓環(huán)。圓環(huán)的面積為。此圓環(huán)質(zhì)量元。那么可以求得通過(guò)盤(pán)面中心垂直盤(pán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

由于圓盤(pán)的半徑為，有圖3圖3必須指出，實(shí)際上只有對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分的方法算出它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于任意剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通常是用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定出來(lái)的。

如以代表剛體的體密度，為質(zhì)量元的體積元，于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)成?？梢钥闯?，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)。

（1）與剛體的密度有關(guān)（幾何形狀簡(jiǎn)單的剛體，則與質(zhì)量有關(guān)）。如半徑相同、厚薄相同的兩個(gè)圓盤(pán)，鐵質(zhì)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比木質(zhì)的大。

（2）與剛體的幾何形狀（及體密度的分布）有關(guān)，不同形狀的剛體，即使質(zhì)量相同，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是不同的。質(zhì)量分布得離軸越遠(yuǎn)，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。

（3）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量還與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。如表中細(xì)棒對(duì)通過(guò)它中心點(diǎn)的軸和通過(guò)它一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。2.2疊加法利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的代數(shù)可加性計(jì)算。如物體由1，2兩部分組成，以表示1加2對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以表示1部分對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以表示2部分對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。那么可得物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（11）如果及均很容易計(jì)算就可以通過(guò)上式計(jì)算，不必對(duì)2區(qū)域作積分，以避免復(fù)雜的計(jì)算。2.3平行軸定理如圖4所示，設(shè)通過(guò)剛體質(zhì)心的軸線為軸，剛體相對(duì)這個(gè)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。如果有另一軸線與通過(guò)質(zhì)心的軸線相平行，可以證明，剛體對(duì)通過(guò)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

（12）圖4式中為剛體的質(zhì)量，為兩平行軸之間的距離。上述關(guān)系叫做轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。平行軸定理有助于計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)研究剛體的滾動(dòng)是很有幫助的?，F(xiàn)證明如下圖4上圖中，與軸與紙面垂直，帶撇坐標(biāo)系表示質(zhì)心坐標(biāo)系剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（13）用表示剛體總質(zhì)量。根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)式，有，，和分別在質(zhì)心坐標(biāo)中的坐標(biāo)，因這一坐標(biāo)原點(diǎn)正在質(zhì)心，故，上式中兩項(xiàng)消失，即剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而，于是得（11）式，由定理知，在剛體對(duì)各平行軸的不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。2.4垂直軸定理設(shè)剛體為厚度無(wú)窮小的薄板，建立坐標(biāo)系，軸與薄板垂直，坐標(biāo)面在薄板平面內(nèi)，剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（14）等號(hào)右方兩部分順次表示剛體對(duì)y和x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即（15）因此，無(wú)窮小厚度的薄板對(duì)一與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于薄板對(duì)板面內(nèi)另二直角坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，稱(chēng)垂直軸定理，注意：本定理對(duì)與有限厚度的板不成立。2.5慣量張量法2.5.1慣量張量由理論力學(xué)知識(shí)知道物體在一般情況下的慣量張量為（17）并且把它叫做對(duì)O點(diǎn)而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個(gè)元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積）則叫做慣量張量，也叫慣量系數(shù)。其中（18）（19）（20）及（21）（22）（23）對(duì)質(zhì)量均勻分布，且形狀規(guī)則的剛體，我們可把上兩式改寫(xiě)成積分形式，即（24）（24）（25）（26）及（27）（27）（28）（29）故，，就叫做剛體對(duì)x軸，y軸，z軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，至于，，則因含有兩個(gè)坐標(biāo)的相乘項(xiàng)，所以叫做慣量積。2.5.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量容易得到一般剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由慣量張量計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式（30）式中為任一轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸相對(duì)于坐標(biāo)軸的方向余弦，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和六個(gè)慣量積（由于對(duì)稱(chēng)關(guān)系，實(shí)際上也只有三個(gè)是相互獨(dú)立的）作為統(tǒng)一的一個(gè)物理量，來(lái)代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度。2.5.3應(yīng)用例3均勻長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為與，質(zhì)量為，求此長(zhǎng)方形薄片繞其對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？用公式（16）來(lái)計(jì)算（取長(zhǎng)方形的兩邊為坐標(biāo)軸，如圖5所用公式（16）來(lái)計(jì)算（取長(zhǎng)方形的兩邊為坐標(biāo)軸，如圖5所示）。繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向角為，，圖5圖53轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論在剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量的定義中出現(xiàn)一個(gè)新的物理量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為。它取決于剛體對(duì)軸的質(zhì)量分布。對(duì)通常質(zhì)量密度均勻的剛體，它取決于剛體的質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸位置三個(gè)因素。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義表明，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，而剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是剛體中的所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。這也意味著一個(gè)剛體整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)等于其各部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。4結(jié)論通過(guò)對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念、平行軸定理、垂直軸定理及慣性張量的綜合應(yīng)用，本文對(duì)比了幾種計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。顯然，適當(dāng)選取質(zhì)量元，使用均質(zhì)直桿，均質(zhì)圓環(huán)，球殼等特殊形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的已知結(jié)論，再合理的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，運(yùn)用平行軸定理或垂直軸定理可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算難度，使物理意義更明確，讓質(zhì)量分布規(guī)律性較強(qiáng)的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算過(guò)程更清晰，步驟更簡(jiǎn)潔。參考文獻(xiàn)：[1]馬文蔚.物理學(xué)