五年(2018-2022)全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題20立體幾何多選、填空(解析版)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題20立體幾何多選、填空

一、多選題

1.(2022新高考全國II卷?第口題)如圖，四邊形ABC。為正方形，ED_L平面ABC。，

FB〃ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—ACD,F-ABC,/一ACE的體積分別為乂,匕,匕，則

()

J7

A.匕=2匕B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2K=3乂

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因為瓦〃平面ABC。，F(xiàn)B\\ED,貝ij

V=-EDS,=--2a---（2a）2=-a3,

130cCoD32v73

匕=:尸從與至0=；?。?；?（2。）2=|/，連接班）交4?于點加，連接雨,產(chǎn)"，易得80,4?,

又匹"L平面ABC。，ACu平面ABC。，則EJDLAC,又E￡>n8Z）=r）,ED,BDu平面BDEF,

則AC,平面3￡>E尸，又BM=DM=LBD=GXI,過/作FGLDE于G,易得四邊形BDGF為

2

矩形，則FG=BD=EG=a,

則EM=J（2a4+（缶J=瓜i,FM=信+（僅『=島，EF=卜+（2拒/=3a，

EM2+FM2^EF2>則S.EFM=￥“2,AC=2Oa，

則匕=匕一￡四+%一砰”=34。5.放“=2浮，貝|2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故A、B錯誤;

C、D正確.故選：CD.

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2022新高考全國II卷?第11題

2.（2022新高考全國I卷?第9題）已知正方體A8CO-A耳G"，則（）

A.直線BC|與所成的角為9（）。B.直線BG與C4所成的角為90。

C.直線8c與平面88巴。所成角為45°D.直線BG與平面ABC。所成的角為45°

【答案】ABD

解析：如圖，連接gC、BC、,因為D&//BC，所以直線BG與gC所成的角即為直線8a與。A所

成的角，因為四邊形為正方形，則BC^BG，故直線BG與所成的角為90°，A正確;

連接AC，因為44_L平面B4GC,BC|U平面84GC,則

4片1BC,,

因為BQJ.BG，A4nBic=4,所以BC|_L平面ABC，

又4Cu平面A8C，所以BG^CA，故B正確；

連接4C，設(shè)AGngq=o,連接80,

因為BB,1平面4gGA,G。u平面A4G2，則G。，耳8,因為CQ,

所以C0_L平面8BQQ,

所以NG3。為直線BC｝與平面84所成的角,

設(shè)正方體棱長為1,則GO=，Z，BC、=叵,sinNG5O=*=〈，

?212

所以，直線8G與平面8片2。所成的角為30。，故C錯誤；

因為平面A8C。，所以NG8C為直線與平面.CO所成的角，易得/。產(chǎn)。=45。，故D

正確.故選：ABD

【題目欄目】立體幾何'空間角'直線與平面所成的角

【題目來源】2022新高考全國I卷?第9題

3.（2021年新高考全國H卷?第10題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為

正方體的頂點.則滿足的是（）

B.

【答案】BC

解析:設(shè)正方體的棱長為2,對于A,如圖⑴所示,連接AC,則MW//AC,

故ZPOC（或其補角）為異面直線所成的角,在直角三角形OPC,OC=&，CP=1,故

tanNPOC=,=工-，故MVJ_OP不成立，故A錯誤.

V22

對于B,如圖⑵所示，取MT的中點為。，連接PQ,OQ,則OQLNT,PQVMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN1平面ANDT,而OQu平面ANDT,故SNLOQ,而SN^MN=N,

故。QJ?平面SM7N,又MNu平面SN7M,OQVMN,而。。門「。=。，

所以MN_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN1OP,故B正確.

對于C,如圖（3）,連接BD,則BD//MN,由B的判斷可得OP工BD,

故0PlMN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取4）的中點Q,鉆的中點K,連接

AC,PQ,OQ,PK,OK,則AC//MN,

因為“P=PC,故PQ//AC,敬PQMMN,所以42尸?；蚱溲a角為異面直線PO,MN所成的角,

M

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故尸。=；AC=后，OQ=y/AO2+AQ2=71+2=>/3,

PO=yJPK2+OK2=^471=75-QO2<PQ2+OP2,故NQP°不是直角，故PO,MN不垂直，故D錯

誤.故選BC

【題目欄目】立體幾何'空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,空間中點線面的位置關(guān)系

【題目來源】2021年新高考全國H卷?第10題

4.（2021年新高考I卷?第12題）在正三棱柱ABC-A3c中，A3=A4,=1,點尸滿足有戶=2就+瓦，

其中2e[0,1],則（）

A.當(dāng)2=1時，△AB/的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐尸-ABC的體積為定值

c.當(dāng);1=；時，有且僅有一個點P,使得8尸

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點尸，使得A8_L平面A4P

【答案】BD

易知，點尸在矩形8CC由內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當(dāng)%=1時，BP=BC+/LIBBI=BC+/LICC.,即此時Pe線段C￡,△437周長不是定值，故A

錯誤；

對于B,當(dāng)〃=1時，麗=2前+函=函+2甌,故此時P點軌跡為線段8C,而gG〃BC,B.C,//

平面ABC,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)2時，“〃鶴：取BC,4G中點分別為。，H,則麗=麗+〃西，所以

P點軌跡為線段。”，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，a]?,。[，P（0,0,〃），B（O.g,O）,

則審=一等,0,〃一1,麗=（0,-g,，，心-1）=0,所以〃=0或〃=1.故H,0均滿足，故C錯

誤;

對于D,當(dāng)〃=1時，麗=4配+：甄，取即，CG中點為M，N.BP=BM+XMN，所以P點軌

（1\

跡為線段MN.設(shè)P。,為,彳，因為A￥。0—.(6?！?(6T、

所以AP=--三'為'5'---,-?-1，所

\2/I2

3111

以'+-5=0=%=-萬，此時尸與N重合，故D正確，故選BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

【題目欄目】立體幾何'空間向量及其運算'空間向量的運算

【題目來源】2021年新高考I卷?第12題

二、填空題5.（2021年高考全國乙卷理科?第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)

視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要

求的一組答案即可）.

【答案】③④

解析：選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④,

如圖所示，長方體ABCO—AgGA中,

AB=BC=2,BB,=\,

E,尸分別為棱的中點，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐后一皿二

故答案為：③④.

【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)

量關(guān)系.

【題目欄目】立體幾何'空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖、三視圖'空間幾何體的三視圖

【題目來源】2021年高考全國乙卷理科?第16題

6.（2021高考天津?第17題）如圖，在棱長為2正方體488-4用09中，E為棱8c的中點,

為棱C。的中點.

⑴求證：。///平面

（II）求直線AC,與平面4EG所成角的正弦值.

（川）求二面角A-AG-E的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；（II）巫；（HI）.

93

解析：⑴以A為原點，48,4。,明分別為羽，2軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),A?，。，2),網(wǎng)2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),C,(2,2,2),￡>.(0,2,2),

因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱C。的中點，所以七（2,1,0）,尸（1,2,0）,

所以m=（1,0,—2）,而=（2,2,0）,乖=（2,1,-2）,

設(shè)平面A{ECt的一個法向量為而=（玉,%,zj,

”-?.

m-AC.=2x.+2y=0

則_二,令玉=2,則加=（2,—2,1）,

m-\E-2xl+y—24=0

因為印?肩=2-2=0,所以麻，肩，因為。尸?平面AEC，所以。///平面A^G；（II）由

（1）得，房=（2,2,2）,設(shè)直線AG與平面A￡G所成角為。，

m-ACj_2_>/3

則sin。慟?碼「3x26一9

（Ill）由正方體的特征可得，平面AAC的一個法向量為DB=（2,-2,0）,

/一、DB,m82>/2

則仍叩:石7r亍，

所以二面角4-AG-E的正弦值為「cos"方瓦成=|.

【題目欄目】立體幾何'空間角'二面角

【題目來源】2021高考天津?第17題

7.（2020年高考課標(biāo)H卷理科?第16題）設(shè)有下列四個命題：

0：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線m_L平面a,則m_L/.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl人P4②PlAP2③r?2VP3④可3

【答案】①③④

解析：對于命題P1,可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為a；

若4與4相交，則交點A在平面?內(nèi)，同理，4與4的交點B也在平面a內(nèi),

對于命題％，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個,

命題P］為假命題；

對于命題P3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題P3為假命題；

對于命題若直線相」平面a,

則加垂直于平面。內(nèi)所有直線，

???直線/u平面a,???直線相，直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，加，R為真命題，p2,乃為假命題，

P1八真命題，。|八。2為假命題，

—'PlVPy為真命題，—'PT,V—為真命題.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能

力，屬于中等題.

【題目欄目】立體幾何'空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系、空間中點線面的位置關(guān)系

【題目來源】2020年高考課標(biāo)H卷理科?第16題

8.（2020年高考課標(biāo)HI卷理科?第15題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的體積為.

【答案】也乃

3

解析：易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中

BC=2,A8=AC=3,且點M為8c邊上的中點，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。,

由十AM-，32-尸=2^2，故SaABC=QX2X2V2=2V2,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為人則:

S4ABC=S&AOB+S^BOC+S^AOC=gxABxr+gxBCx廠+gxACx廠=；x(3+3+2)x〃=20,

解得：r=^~,其體積：V=-7ir3-71.

233

故答案為：旦*

3

【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接

點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各

個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體

對角線長等于球的直徑.

【題目欄目】立體幾何'球的問題'空間幾何體的內(nèi)切球問題

【題目來源】2020年高考課標(biāo)in卷理科?第15題

9.（2020年新高考全國I卷（山東）?第16題）已知直四棱柱A8CD-4B1GD1的棱長均為2,NBAD=60°.以僅

為球心，也為半徑的球面與側(cè)面BCCiBx的交線長為

【答案】1萬.

2

DiG

解析：如圖:

取6cl的中點為E，的中點為尸，CG的中點為G,

因為N84D=60。，直四棱柱ABC。—A4GR的棱長均為2,所以為等邊三角形，所以RE

=5REJ.B￡,

又四棱柱ABCD-A^QD,為直四棱柱，所以BB,1平面A^D,,所以J.B,C,,

因為8瑪口與6=片，所以RE_L側(cè)面4GC8,

設(shè)P為側(cè)面B￡CB與球面的交線上的點，則D.EVEP,

因為球的半徑為逐，D[E=C，所以|砂|=JlOfF-⑷口=后與=正,

所以側(cè)面B￡CB與球面的交線上的點到E的距離為、歷，

因為|EFHEG|=正，所以側(cè)面B￡CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG，

7TTT

因為NB\EF=NGEG=—,所以NEEG=—,

42

所以根據(jù)弧長公式可得FG=-Xyf2=-7T

22

【題目欄目】立體幾何'空間距離

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第16題

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第15題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧A8所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直

3

線8c的切點，四邊形OEFG為矩形，BC±DG,垂足為C,tanZODC=-,BH//DG,EF=12cm,DE=2

cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

【答案】4+3萬

2

解析：設(shè)0B=Q4=r,由題意A"=AN=7,EF=12,所以NF=5,

因為AP=5,所以NAGP=45°，

因為BHUDG,所以NA”O(jiān)=45°，

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以。4_LAG,

即△OAH為等腰直角三角形；

在直角△0Q。中，0Q=5一與r，。。=7-

因為tan/OOC=^1=3,所以21一還r=25—迪r，

DQ522

解得r=2\/2；

等腰直角4H的面積為5,=-X2>/2X2V2=4;

2

13萬/I—\2

扇形A08的面積邑二耳乂彳*^^2)=3萬，

154

所以陰影部分的面積為S1+S?——萬=4+—.

故答案為:

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的表面積

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第15題

IL（2020年新高考全國卷n數(shù)學(xué)（海南）?第16題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧A8所在圓的圓心，A是圓弧A8與直線AG的切點，B是圓弧A8與直

3

線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCLDG,垂足為C,tan/ODC=g,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為lcm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

解析：設(shè)OB=Q4=廠，由題意AM=A/V=7,EF=Y2>所以NF=5,

因為AP=5,所以NAGP=45°，

因為BH11DG,所以NAHO=45°，

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以。4_LAG,

即△OA"為等腰直角三角形；

在直角△OQ。中，OQ=5-立r，DQ=7~—r，因為tanNO￡>C=[g=±,所以

22DQ5

21.地一25-逑r

22

解得r=2亞;

等腰直角△0A”的面積為H='x2夜x2&=4；

2

扇形AOB的面積S2=；x^x（20『=3萬，

15冗

所以陰影部分的面積為5+S,--萬=4+二一.

-22

故答案為：4+=57r.

2

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和

體積'空間幾何體的表面積

【題目來源】2020年新高考全國卷I【數(shù)學(xué)（海南）?第16題

12.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第13題）已知正方體ABCD-4&GD1的棱長為2,M、N分別為

BBi、AB的中點，則三棱錐A-NMDi的體積為

【答案】|

解析：因為正方體ABCD-4B1GD1的棱長為2,M、N分別為BBi、AB的中點

所以匕一NMD,=%,-AMN=gx；xlxlx2=；

故答案為：-

3

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2020年新高考全國卷n數(shù)學(xué)（海南）?第13題

13.（2020天津高考?第15題）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

______3

AD=ABC,而?通=、，則實數(shù)2的值為,若是線段3C上的動點，且|麗|=1,

AD

則DM-DN的最小值為一

113

【答案】【答案】（1）.-⑵?萬

【解析】AD=/IBC）:.AD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120.

ABAD=>IBC-AB=/1|BC||AB|COS120=2x6x3x[-lj=-92=-|,解得4=3

以點B為坐標(biāo)原點，8c所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

?.?8C=6,;.C（6,0）,?.?|A8|=3,NABC=60。，；.A的坐標(biāo)為

又：通=一唬則。,設(shè)M（x,O）,貝iJN（x+l,O）（其中04xW5）,

6

——?5邁'

DM=x——一￥],麗

2

所以，當(dāng)x=2時，麗?麗取得最小值13;.故答案為：1）；v13-

262

三、解答題

【題目欄目】立體幾何,線面、面面垂直的判定與性質(zhì),線線垂直的問題

【題目來源】2020天津高考?第15題

14.（2020江蘇高考?第9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺

帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

cm.

【答案】【答案】12^3-^

［解析】正六棱柱體積為6x且x22x2=126,圓柱體積為萬（J??2=1

所求幾何體體積為故答案為：126

22

【題目欄目】立體幾何'簡單兒何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2020江蘇高考?第9題

15.（2019年高考天津理?第11題）已知四棱錐的底面是邊長為0的正方形，側(cè)棱長均為石.若圓柱的

一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體

積為.

【答案】答案：-

4

解析：如圖，正四棱錐P—A5C￡>,AB=y/2,PA=45,則。。=1,

四棱錐的高=2,

圓柱的高為/2=，PO=1,HG

-AC=l,

22

圓柱的底面半徑r=-HG

22

7t

所以圓柱的體積丫=萬//?=

~4

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2019年高考天津理?第11題

16.（2019年高考全國III理?第16題）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模

型為長方體挖去四棱錐EEG”后所得的幾何體，其中。為長方體的中心,

E,F,G,H分別為所在棱的中點AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cm3,

不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

Cl

【答案】【答案】118.8

【解析】由題意得，四棱錐0-瓦G”的底面積為4x6-4x'x2x3=12cm2,其高為點0到底面

2

BBC。的距離為3cm,則此四棱錐的體積為V1=；xl2x3=12cm3.又長方體ABC。-4與GQ的

體積為V?=4x6x6=144cm）所以該模型體積為V=V2-Y=144—12=132cn?,其質(zhì)量為

m=0/=O.9xl32=118.8g.

【點評】此題奉涉到的是3D打印新時代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中信息聯(lián)系兒

何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解.

【題目欄目】立體幾何、簡單幾何體的表面積和體積、空間幾何體的體積

【題目來源】2019年高考全國HI理?第16題

17.（2019年高考全國H理?第16題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多

為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多

面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)

為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多

面體共有一個面，其棱長為（本題第一空2分，第二空3分）.

圖2【答案】【答案】（1）共有26個面；（2）棱長為

—1.

【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共

有18+8=26個面.如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x,則AB=BE=x,延長BC與FE交于點G,

延長交正方體棱于“，由半正多面體對稱性可知，\BGE為等腰直角三角形，,/

BG=GE=CH=Jx，

2

???GH=2X￥X+X=(JI+1)X=1，.??x=W==3-l,即該半正多面體棱長為后_1.

【點評】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出

物體位置，利用對稱性，平面幾何解決.

本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)

中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.

【題目欄目】立體幾何、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖、三視圖'空間幾何體的直觀圖

【題目來源】2019年高考全國II理?第16題

18.（2019年高考江蘇?第9題）如圖，長方體ABC。-A4GR的體積是120,E是CQ的中點，則三棱椎

E-BCD的體積是.

【答案】【答案】10

【解析因為VE”CD里/ABCD.空=所以

丫氏方體S矩形A8coGC3S矩形GC32212

=J上方體=\x120=10.

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和體積、空間幾何體的體積

【題目來源】2019年高考江蘇?第9題

19.（2019年高考北京理?第12題）已知/,如是平面。外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

①/_L加；②機；③/_L?.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

【答案】【答案】如果?a,m//a,則/J_加.（答案不唯一）

【解析】將所給論斷分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：

⑴如果/_La,機〃a,則LL/n.正確；

（2）如果/_La,ll.m,則用〃a.正確；

⑶如果m//a,則/J_a.不正確，有可能/與a斜交或/〃a.

【題目欄目】立體幾何'空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,空間中點線面的位置關(guān)系

【題目來源】2019年高考北京理?第12題

20.（2019年高考北京理