人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第二章函數(shù)

主題二

函數(shù)第二章函數(shù)（必修第一冊(cè)）

盤

第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示

整課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表

法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

3.通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

⑦招激材夯實(shí)四基

必備知識(shí)?課前回顧

密知識(shí)梳理

1.函數(shù)的有關(guān)概念

⑵兩個(gè)函數(shù)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但兩個(gè)函數(shù)不一定相同，例如,

函數(shù)f(x)=2x；x￡[0,2]與函數(shù)f(x)=2x；x￡[-2,0].

2.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)

應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,

但它表示的是一個(gè)函數(shù).

■釋疑

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù),分段函數(shù)的定義域是各段定

義域的并集，值域是各段值域的并集.

Ife重要結(jié)論

與x軸垂直的直線與一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn).

—一對(duì)點(diǎn)自測(cè)?-

1.若集合A={x|0WxW2},B={y|0WyW3},則下列圖形給出的對(duì)應(yīng)中

能構(gòu)成從A到B的函數(shù)f:A-B的是(D)

解析:A中的對(duì)應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性，即存在x￡A,但B中無與之對(duì)

應(yīng)的y;B,C均不滿足函數(shù)的唯一性,只有D正確.故選D.

2.(必修第一冊(cè)P72習(xí)題3.1T2改編)下列四組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)

的是(C)

A.f(x)=V%-1,-1與g(x)=[(%-1)2

丫2

B.f(x)=x與g(x)=—

X

C.f(x)=石^與g(x)=|x|

D.f(x)=l,x￡R與g(x)=x°

解析:A選項(xiàng)中函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,+8),g(x)的定義域?yàn)镽,定義

域不同，不是同一個(gè)函數(shù);B選項(xiàng)中函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定

義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù);C選項(xiàng)中函

數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,對(duì)應(yīng)法則也相同，是同一個(gè)函數(shù);D選項(xiàng)

中函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)?-8,o)U(0,+8),定義

域不同，不是同一個(gè)函數(shù).故選C.

3.已知函數(shù)。二則f(f(T))等于(A)

+1,%<0,2

A.-B.-C.--D.-

16161616

解析：由xWO可知f(-|)=-(-1)2+1=;,結(jié)合X>0的解析式可知

f(1)=(7)2+1嚏故選A.

4416

4.已知函數(shù)數(shù)x)和g(x)的定義域?yàn)閧1,2,3,4},其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表,則

f(g(2))的值為(D)

X1234

f(X)4321

g(x)1133

A.1B.2C.3D.4

解析：因?yàn)間(2)=l,f(1)=4,則f(g(2))=f(1)=4.故選D.

5.(2020?北京卷)函數(shù)flxh2+lnx的定義域是

x+1

解析：函數(shù)f(x)=a+lnx的自變量滿足—3所以x>0且xW

T,

即定義域?yàn)?0,+°°).

答案：(0+8)

美》考點(diǎn)卷實(shí)四算

關(guān)鍵能力?課堂突破

戚考點(diǎn)一函數(shù)的定義域

1.(2021?陜西黃陵高三期中)函數(shù)f(x)=^+ln(2x-X?)的定義域?yàn)?/p>

(B)

A.(2,+8)B.(1,2)

C.(0,2)D.[1,2]

解析:要使函數(shù)有意義則[三八解得Kx<2.所以函數(shù)f(x)的定

義域?yàn)?1,2).故選B.

2.已知函數(shù)f(x)=產(chǎn)五：的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

ax^+ax-3

(B)

A.(-12,0)B.(-12,0]

C.(I，+°°)D.(-°°,|]

解析：因?yàn)閒(x)=T^的定義域?yàn)镽,所以只需分母不為0即可，

ax^+ax-3

所以a=。或段!葭X(-3)<.可得T2〈aW0.故選B.

3.已知函數(shù)f(x)=(l-x)5+(2xT)°,則f(x)的定義域

為?

解析:將(l-x)￡化為討子所以X<1,又因?yàn)?xTW0,所以xN,

綜上，定義域?yàn)?-84)口41).

答案：(一

4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),則函數(shù)g(x)=f(9+f(xT)的定

義域?yàn)?

解析：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-1,1),

所以要使g(x)有意義,則[T<§<L

1-1<X-1<1,

解得1<X<2,所以g(x)的定義域?yàn)?1,2).

答案：(1,2)

5.若函數(shù)f(x)=Va%2+abx+匕的定義域?yàn)閧x|1WXW2},則a+b的值

為.

解析：函數(shù)f(x)的定義域是不等式ax2+abx+b^0的解集.不等式

ra<0,

ax2+abx+b^0的解集為{x|1WXW2},所以11+2二",解得

[1X24，

卜=-1,

kb=-3,

所以a+b=-|-3=-|.

答案:彳

R題后悟通

(1)若函數(shù)的解析式是由多個(gè)基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成,則函

數(shù)的定義域是使構(gòu)成解析式的各部分都有意義的集合的交集.

⑵求抽象函數(shù)的定義域

①若y=f(X)的定義域?yàn)?a,b),則解不等式a<g(x)<b即可求出

y=f(g(x))的定義域；

②若y=f(g(x))的定義域?yàn)?a,b),則求出g(x)在(a,b)上的值域即得

f(x)的定義域.

注意：1.求函數(shù)定義域時(shí),對(duì)函數(shù)解析式先不要化簡(jiǎn).

2.求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式.若用區(qū)間表示,

不能用“或”連接,而應(yīng)該用并集符號(hào)“U”連接.

顧考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式

1.已知f(x)滿足2f(x)+f(3=3x,則f(x)=.

X---------------------

解析：(解方程組法)因?yàn)?f(x)+f(-)=3x,①

X

把①中的X換成:得2f(3+f(x)q.②

2f(x)+f(}=3x,

聯(lián)立①②可得!

2/(>+f(x)=|,

解此方程組可得f(x)=2x」(xWO).

X

答案:2x，(xW0)

X

2.已知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x+6,則

f(x)的解析式為

解析：設(shè)f(x)=ax+b(a>0),則

f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a?x+ab+b=4x+6,于是有1°,一,解

lab+b=6,

得｛；[2或C=I；'(舍去)，所以f(X)=2X+2.

答案:f(x)=2x+2

3.已知f(l-cosx)=sir?x,則函數(shù)f(x)的解析式

為.

解析：因?yàn)閒(l-cosx)=sin2x=l-cos2x,

令1-cosx=t,tG[0,2],則cosx=l-t,

所以f(t)=l-(l-t)2=2t-t2,tG[0,2].

即f(x)=2x-x2,x￡[0,2].

答案:f(x)=2x-X2,X￡[0,2]

一題后悟通

1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式,常用換元法或配湊法或

兩種方法并用，換元法更具有一般性,在使用時(shí)一定要注意新元的取

值范圍.

2.換元法的一般方法是:令t=g(x),從中求出x-(t),然后代入表達(dá)

式求出f(t),再將?t換成X,得到f(X)的解析式,要注意新元的取值范

圍.

考點(diǎn)三分段函數(shù)及其應(yīng)用

口角度一分段函數(shù)求值

(SO(1)已知f(x)=[〃則f(f(》)+f(T)的值等

1/?.L/,XU,33

于

⑵(202一浙江高二學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)f(x)=，°g2X,x>0,則f⑴

等于；f(f(-2))等于.

解析：(1)由題意得f(?=2xg=:

f(f(^))=f(1)=2x1=p

f(--)=f(--)=f(-)=2X-=-,

33333

所以f(f?)+f(勺中+9^.

33333

(2)因?yàn)镈O,所以f(l)=Log2『0,

又因?yàn)?2<0,所以f(-2)=-(-2)=2,

所以f(f(-2))=f(2)=Log22=l.

答案：(1)?(2)01

￡解題策略I

求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略

⑴求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間,

然后代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值.

(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

除度二分段函數(shù)與方程

(SH)(2021?山西太原高三期中)已知函數(shù)f(x)=F二x，x<0,若

(Vx,x>0,

f(a)=2,則實(shí)數(shù)a等于()

A.-1或2B.2或4

C.-2或4D.-1或4

解析:法一當(dāng)a<0時(shí)，由a2-a=2解得a=-l或a=2(舍去);

當(dāng)a20時(shí)，由直=2可得a=4.故選D.

法二結(jié)合選項(xiàng)可知a=2時(shí)返W2,因此排除A,B.對(duì)于a=-2

時(shí)\(-2)2-(-2)=6W2,排除C.故選D.

根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值或解方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)分段函數(shù)各

段的定義域分類討論,結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解,要注意求出的自

變量的值應(yīng)滿足解析式對(duì)應(yīng)的自變量的區(qū)域.

除度三分段函數(shù)與不等式

?3)函數(shù)f(x)=f：/°,則滿足f(x)+f(x4)>l的x的取值范

L2X,%>0,2

圍是一

解析:當(dāng)x>Mf(x)+f(X-3=2X+2X4>2X>V2>1;

當(dāng)0<x嚀時(shí),f(x)+f(x-1)=2X+(x-i)+l=2x+x+1>2x>1;

當(dāng)xWO時(shí)，f(x)+f(x-|)=x+l+(x-1)+l=2x+|,

所以f(x)+f(x-3>1=2X+3>1=X>二，即-乂XWO.

2244

綜上,x￡(-1,+8).

答案：(q,+8)

，解題策略?

求解與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題,應(yīng)在定義域的限制之下,結(jié)合函

數(shù)解析式分別解不等式,最后取各不等式的并集.

口角度四分段函數(shù)的值域

(例上4設(shè)函數(shù)f(x)=17">°,若F(x)=f(x)+x,x￡R,則F(x)的值域

lex,%<0,

為()

A.(-8,i]

B.⑵+8)

C.(-°0,1]U[2,+8)

D.1)U(2,+8)

解析：當(dāng)x>0時(shí),F(x),+x222?x=2,當(dāng)且僅當(dāng)Lx,即x=l時(shí)取等號(hào);

%A/%x

當(dāng)xWO時(shí),F(x)=e'+x,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性得F(x)是增

函數(shù),F(x)WF(O)=1,所以F(x)的值域?yàn)?-8,1]U⑵+8).故選C.

"解題策略1

分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集.

[針對(duì)訓(xùn)練]

1.已知函數(shù)f(x)=「+專'則f(f⑴)等于()

lx2+2,x<2,

1

A.--B.2C.4D.11

2

解析：因?yàn)閒⑴=「+2=3,所以f(f(l))=f(3)=3+白=4.故選C.

3~2

2.若函數(shù)f(x)={M；則不等式f(x)+l〈0的解集是()

A.(-8,予B.(-co,o)U(0,手

C.(0,2)D.(-1,0)U晶+8)

解析：由題意<o或

所以x<0或0<x<—,

io

所以不等式f(x)+K0的解集為(-8,0)U(0,/.故選B.

X^~X+1]V1

1、「'的值域

{->1

為.

解析：當(dāng)X<1時(shí),f(x)=x"x+l=(x-?

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)」￡(o,1).

X

綜上可得,f(x)的值域?yàn)?0,+8).

答案：(0,+8)

4.已知函數(shù)f(x)4f<°，則方程f(l+x2)=f(2x)的解集

(2,%>0,

是.

解析：因?yàn)閘+x2^0,所以f(l+x2)=2,方程f(l+x2)=f(2x),BPf(2x)=2.

所以當(dāng)x<0時(shí)，方程e2x+l=2,解得x=0,不成立；

當(dāng)xNO時(shí)，2=2成立.

所以方程f(l+x2)=f(2x)的解集是{x1x^0}.

答案：［0,+8)

>備選例題

CBD設(shè)函數(shù)f:R-R滿足f(0)=1,且對(duì)任意x,y￡R都有

f(xy+l)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(2023)=()

A.0B.1

C.2024D.2025

解析：令x=y=O,則f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=1Xl-l-0+2=2,

令y=0,則f⑴=f(x)f(0)-f(0)-x+2,

將f(0)=1,f(1)=2代入,可得f(x)=l+x,

所以f(2023)=2024.故選O

CW已知y=f(x)是定義域?yàn)锳={%|x=sin督，N*且k44),值域

為B={n,e,8}的函數(shù)，則這樣的函數(shù)共有()

A.6個(gè)B.27個(gè)

C.64個(gè)D.81個(gè)

解析：因?yàn)锳={o,1,yj,B={n,e,8},

由于函數(shù)的值域中含有3個(gè)元素,且定義域中含有3個(gè)元素，因此這是

定義域與值域之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成的函數(shù)，因此共能構(gòu)成

3X2X1=6個(gè)函數(shù).故選A.

CBD已知定義在[0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(x+1),當(dāng)x￡

[0,1)時(shí),f(x)=y/~x2+x,則當(dāng)xG[1,2)時(shí),f(x)等于()

A.--y/-x2+3x-2B.-V-x2+3x-2

22

C.-Vx2-3x+2D.--y/x2-3x+2

22

解析：根據(jù)f(x)=2f(x+l)得,f(x-l)=2f(x).

當(dāng)x￡[1,2)時(shí),x-1G[0,1),f(x-l)=J-(x~l)2+x-1=V-x2+3x~2,

所以f(x)寺(x-1)=|V-%2+3x-2.故選B.

如圖，定義在［T,+8)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一

部分組成,則f(x)的解析式為.

解析：當(dāng)TWxW0時(shí)，設(shè)解析式為y=kx+b,

由圖象％”;二°，解得{晨:

所以y=x+l;

當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)解析式為y=a(x-2)2-l,

因?yàn)閳D象過點(diǎn)(4,0),

所以0=a(4-2)2-1,解得a=；.

4

綜上，函數(shù)f(X)在[T,+8)上的解析式為

fx+1,-1<%<0,

(x-2)2-l,x>0.

14

fx+1,-1<%<0,

答案:f(x)=|i(獷2)2-1,X>0

14

炎活方唬布致梃怩

課時(shí)作業(yè)

@選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

函數(shù)的概念與表示2,3,61416,17

函數(shù)的定義域1,4,5,711

分段函數(shù)8,9,1012,1315

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

1.函數(shù)f(x)=VT}+lg(3xT)的定義域?yàn)?A)

A.(1]B.(0,1]

C.(-oo,|)D.(0,1)

解析:要使f(x)=vr三+ig(3x-i)有意義,則有解得沁《

I。人.LU,J

1.

所以函數(shù)f(x)=VI與+lg(3xT)的定義域?yàn)橥?].故選A.

2.已知函數(shù)f(x)滿足f(與+%(-x)=2x(x#0),則f(-2)等于(C)

XX

7979

R-C

---D.--

2222

解析:法一由f(?+J(-x)=2x,①

可得f(-x)-xfC)==,②

XX

將①乘以X+②得2f(-x)=2x2--,

X

所以f(-X)=X2--.所以f(-2)4故選C.

X2

法二根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(b+Zf(-x)=2x(xW0),

XX

令x=2可得f(?+|f(-2)=4,①

令x=q可得f(-2)-2f(?=-1,②

聯(lián)立①②解得f(-2)=(.故選C.

3.(2021?江西贛州高三期中)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2-a,若

f(g(1))=1,則a等于(B)

A.-lB.1C.2D.3

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x,g(x)=x2-a,所以f(g(l))=2"=l,解得a=l.故

選B.

4.定義域是一個(gè)函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

[211,985],則函數(shù)8&)=￡(2018乂)+-202k)的定義域?yàn)?A)

.r211985-i0「2119851

A?L-------,-------JD.L--------,-------J

2018202120212018

C.[—,D.[——]

2018201820212021

解析:根據(jù)題意得{北建2慳<霆解得用[篇，篇]?故

選A.

5.(2021?天津高三模擬)下列四個(gè)函數(shù):①y=3-x;②y=2i(x>0);③

y=x2+2x-10;

%%<0

{1%]0：其中定義域與值域相同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)

A.1B.2C.3D.4

解析:①y=3-x的定義域與值域均為R;②丫=2-(x>0)的定義域?yàn)?0,

+8),值域?yàn)椤?8):③丫=*22*-]。的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇T1,+8)；

1%W0

1-n的定義域和值域均為R.所以定義域與值域相同的函數(shù)

{x

是①④,共有2個(gè).故選B.

6.(多選題)下列函數(shù)中，滿足f(2x)=2f(x)的是(ABD)

A.f(x)=|2x|B.f(x)=x

C.f(x)=VxD.f(x)=x-1x|

解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4析|,2f(x)=41x],所以A正確；

f(x)=x,滿足f(2x)=2f(x),所以B正確;

f(x)-y[x,f(2x)=yj2x,2f(x)=2V%,不滿足f(2x)=2f(x),所以C不正

確；

f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-21x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正確.故選ABD.

7.(2021?安徽合肥高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域是弓,8],則

f⑵)的定義域是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是48],所以戶2，W8,得TWxW3.

所以f(29的定義域?yàn)?/p>

答案：[T,3]

8.已知函數(shù)數(shù)x)=3X-3七2,則f(1)等于;若f(m)=2,則實(shí)數(shù)m

等于.

解析:由題意,函數(shù)f(x)=3,-3七2,

可得f⑴=3匚3T+2哲，

因?yàn)閒(m)=2,即35+2=2,

可得3"=3一",解得m=0.

答案(0

9.(2021?浙江紹興二模)已知函數(shù)￡&)=卜(％+1)：+7,741,則

(log2x+3,%>1,

f(0)等于;關(guān)于x的不等式f(x)>7的解集是.

,2

解析：由題可知f(x)110f工1,

所以f(0)=-(0+1尸+7=6,

①尸L2ox￡0,

l-(x+l)2+7>7

②{lg2%'+3>7nx>16，

所以f(x)>7的解集是(16,+8).

答案:6(16,+8)

10.已知函數(shù)f(x)=［「2a)”+3a<x<1,的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取

llnx,x>1

值范圍是.

解析：由題意知f(x)=lnx(x》l)的值域?yàn)椋?,+8),故要使f(x)的值

域?yàn)镽,則必有f(x)=(l-2a)x+3a為增函數(shù)，且l-2a+3aN0,所以

l-2a>0且a^-1,解得-1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-1,1).

答案：［-1，3

B級(jí)綜合運(yùn)用練

11.設(shè)函數(shù)f(x)=lg歲，則fG)+fd)的定義域?yàn)?B)

3-x3X

A.(-9,0)U(0,9)B.(-9,-1)U(1,9)

C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-3)U(3,9)

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lg—,

所以江>0n-3<x<3,

(-3<-<3,

所以"所叫%>1或％V-1,

-3<-<3,

X

所以-9<X<-1或Kx<9.故選B.

fi丫為有理數(shù)

12.(多選題)函數(shù)f(x)='生奴’則下列結(jié)論正確的是

0,%為無理數(shù),

(ACD)

A.任意x都有f(x)=f(-x)

B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=l

Cf(x)的值域是{0,1}

D.方程f(f(x))=x的解只有x=l

解析：當(dāng)X為有理數(shù)時(shí),-X為有理數(shù),則f(x)=f(-X)=1,當(dāng)X為無理數(shù)

時(shí),-X為無理數(shù)，則f(x)=f(-x)=o,故A正確;

當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),方程f(f(x))=f(l)=l=f(x)成立；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，

方程f(f(x))=f(0)=1Wf(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解為任意有

理數(shù)，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)的值域是{0,1},故C正確；

當(dāng)X為有理數(shù)時(shí),方程f(f(x))=f(1)=1=X,解得X=1；當(dāng)X為無理數(shù)時(shí),

方程f(f(x))=f(0)=l,無解,故D正確.故選ACD.

13.(多選題)已知函數(shù)f(x)=產(chǎn)二2工x<l,關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論正

(,-%+2,%>1,

確的是(BC)

A.f(x)的定義域?yàn)镽

B.f(x)的值域?yàn)?-8,4]

C.若f(x)=2,貝！Jx的值是一企

D.f(x)<l的解集為(T,1)

解析：函數(shù)f(x)的定義域是[-2,1)U[1,+oo)=[-2,+8),故A錯(cuò)誤；

當(dāng)-2Wx<l時(shí)f(x)=x2,值域?yàn)閇0,4],當(dāng)x》l時(shí),f(x)=-x+2,值域?yàn)?-

8,1],故f(x)的值域?yàn)?-8,1]u[0,4]=(-°°,4],故B正確；

由函數(shù)值的分布情況可知，f(x)=2在x21上無解，故由-2Wx<l,即

f(X)=X2=2,得至(JX=-V2,故C正確；

當(dāng)-2Wx〈l時(shí),令f(x)=x2<l,解得xG(-1,1),當(dāng)x21時(shí),令f(x)=

-x+2<l,解得x￡(1,+8),故f(x)<1的解集為(-1,1)U(1,+oo)，故D

錯(cuò)誤.

故選BC.

14.若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函

數(shù)為“同族函數(shù)”，請(qǐng)寫出一個(gè)與函數(shù)y=x；x￡[(),2]同族的函數(shù)：

解析：函數(shù)y=x2,xe[0,2]的值域?yàn)閇0,4],因此其同族函數(shù)的函數(shù)解

析式可以是y=x2,xG[-2,t](0WtW2),也可以是y=x2,xG[m,2]

(-2WmW0)中的任意一個(gè).

答案:y=x；x￡[-2,1](答案不唯一,參考解析中的t,m的值)

C級(jí)應(yīng)用創(chuàng)新練

15.設(shè)函數(shù)f(x)』巡一1，'"-則滿足f(x)+f(x-1)<2的x的取值

范圍是?

解析：當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-1)]=-x(x+1),

①若x<0,則x-l<T,

由f(x)+f(x-1)<2得-x(x+1)-(x-1)x<2,

BP-2x2<2,即x?>-1,此式恒成立,此時(shí)x<0.

②若x21,則x-120,

由f(x)+f(x-1)<2得x(x-1)+(x-1)(x-2)<2,

即x-2x<0,即0<x<2,此時(shí)l〈x<2.

③若OWxG,貝Ux-l<0,

由f(x)+f(x-l)<2得x(x-l)-(x-l)x<2,

即0<2,此時(shí)不等式恒成立，此時(shí)OWxG.

綜上x<2,即不等式的解集為(-8,2).

答案:(-8,2)

16.(2021?浙江寧波高三模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-1|x+l|,若對(duì)于

任意實(shí)數(shù)x,有|f(x+t)-f(x)|^l(teR)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍

為.

解析：當(dāng)x22時(shí)，

f(x)=x-2-1(x+l)=|x-|,

當(dāng)一:Kx<2時(shí)，

f(x)=2-x-|(x+1)=—|x+|,

當(dāng)x^-1時(shí),

f(x)=2-x+1(x+l)=-1x+|,

作出圖象,如圖所示，

所以f(x)在上變化最快,

所以|f(x+t)-f(X)|的最大值為|-|(x+t)+|-(-|x+|)I=I|tI,

所以解得-|wtw|.

答案「|,|]

17.定義域?yàn)榧希?,2,3,…，12｝的函數(shù)f(x)滿足：①f⑴=1;②

|f(x+l)-f(x)|=l(x=l,2,-??,11);③:?⑴,f(6),f(12)成等比數(shù)列.這

樣的不同函數(shù)f(x)的個(gè)數(shù)為.

解析:經(jīng)分析,f(x)的取值的最大值為x,最小值為2-x,并且成以2為

公差的等差數(shù)列,故f(6)的取值為6,4,2,0,-2,-4.

f(12)的取值為12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,所以能使f(x)

中的f(1),f(6),f(12)成等比數(shù)列時(shí),f(1),f(6),f(12)的取值只有兩

種情況①f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4;②f(l)=l,f(6)=-2,f(12)=4.

|f(x+1)-f(x)I=1(x=l,2,???,11),f(x+l)=f(x)+l,或者f(x+l)=

即得到后項(xiàng)時(shí),把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1.

⑴當(dāng)f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4時(shí);將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分

為兩步，第一步:從f(1)變化到為6);第二步:從f(6)變化到f(12).

從f(1)變化到f(6)時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到2,故應(yīng)從5次

中選擇3次加1,剩余的兩次減1.對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為髭=10種.

從f(6)變化到f(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4,故應(yīng)從6次

變化中選擇4次增加1,剩余兩次減少1,對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為第=15種.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有10X15=150種方法.

(2)當(dāng)f(l)=l,f(6)=-2,f(12)=4時(shí)，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分

為兩步,第一步:從f(1)變化到f(6);第二步:從f(6)變化到f(12),

從f(1)變化到f(6)時(shí)有5次變化,函數(shù)值從1變化至卜2,故應(yīng)從5次

中選擇1次加1,剩余的4次減1,對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為瑪=5種.

從f(6)變化到f(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從-2變化到4,故應(yīng)從6次

變化中選擇6次增加1,對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為盤=1種.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5X1=5種方法.

綜上，滿足條件的f(x)共有150+5=155種.

答案：155

第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.

2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.

⑥㈱散材夯實(shí)四基

必備知識(shí)?課前回顧

朕知識(shí)梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)f(X)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間

D上的任意兩個(gè)自變量的值xbx2

當(dāng)X《X2時(shí),都有f(X1)(X2),當(dāng)X《X2時(shí)，都有f(XI)>f(X2),那

定那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單

義單調(diào)遞增.調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定特別地，當(dāng)函數(shù)f(X)在它的定義

義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是

它是增函數(shù)減函數(shù)

圖rt/

：/(?l)：/(孫)

象0方X2x

04142X

描

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

述

■釋疑

函數(shù)單調(diào)性定義中的Xi,X2具有以下三個(gè)特征:一是任意性，即“任意

兩數(shù)X1,X2$D”，“任意”兩字絕不能丟；二是有大小，即X《X2；三是同

屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)

y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)回口叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)

間.

■釋疑

若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫,用“，”或“和”

連接,不要用“U”.

2.函數(shù)的最值

-XZLA

刖

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

提

(1)對(duì)于任意x￡I,都有皿(3)對(duì)于任意x￡I,都有f(x)

條

WM;2M;

件

(2)存在x°WI,使得以出溺(4)存在x0￡I,使得f(x0)=M

結(jié)

M是函數(shù)y=f(x)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值

論

■釋疑

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間

上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.

⑵開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.

;三重要結(jié)論

1.函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)定義

設(shè)任意X1,X2GD(X17^X2),則

⑴人】)一詐)>0(或(X_X2)[f(X1)-f(X2)]>0)Of(x)在D上單調(diào)遞增;

Xi-X2

⑵(或(X「X2)[f(X1)-f(X2)]<0)=f(x)在D上單調(diào)遞減.

X1-X2

2.函數(shù)f(x)=ax+2的單調(diào)性

X

若a>0,b<0,則函數(shù)在區(qū)間(-8,o),(0,+8)上是增函數(shù),若a<0,b>0,

則函數(shù)在區(qū)間(-8,0),(0,+8)上是減函數(shù);若a>0,b>0,則函數(shù)在區(qū)

間(邛,0),(0,E)上是減函數(shù),在區(qū)間(-8,-2)，(歸+8)上是

7a7a7Q7Q

增函數(shù).

特別地,''對(duì)勾函數(shù)”y=x+2(a〉0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,一份)，(6,+

X

8)；單調(diào)遞減區(qū)間是[-正,0),(0,正].

3.與函數(shù)運(yùn)算有關(guān)的單調(diào)性結(jié)論

(1)函數(shù)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)k>0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)單調(diào)性相同;k〈0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)

單調(diào)性相反.

⑶若f(x)恒為正值或恒為負(fù)值,則f(x)與六具有相反的單調(diào)性.

/(X)

(4)若f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則當(dāng)兩者都恒大于零時(shí),f(x)?晨x)

是增(減)函數(shù);當(dāng)兩者都恒小于零時(shí),f(x)-g(x)是減(增)函數(shù).

⑸在公共定義域內(nèi)，增+增=增,減+減=減.

(6)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這

兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這

兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡(jiǎn)稱“同增異減”.

—，對(duì)點(diǎn)自測(cè)?-

1.(2021?全國甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)

A.f(x)=-xB.f(x)=(|)x

C.f(X)=X'D.f(X)~y[x

解析:f(x)=-x為R上的減函數(shù);f(x)=(|)"為R上的減函數(shù);f(x)=x?

在(-8,0)上為減函數(shù);f(x)=正為R上的增函數(shù).故選D.

2.若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),且f(a?-a)<f(a),則a的取值范圍是

(B)

A.(0,2)B.(-8,0)U(2,+8)

C.(-8,o)D.(2,+8)

解析：因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，且f(a2-a)(a),所以a2-a>a,所以

a-2a>0,所以a>2或a<0.故選B.

3.已知二次函數(shù)f(x)=2x?-4x,則f(x)在［-1,|］上的最大值

為?

解析：f(x)=2x2-4x圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,

因此函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，在［1,|］上單調(diào)遞增，

且f(-1)=6,f(|)=-1,則有f(-1)>f(|),則函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,|］上的

最大值為f(T)=6.

答案：6

4.(必修第一冊(cè)P100T4改編)函數(shù)f(x)=x?+2(aT)x+2.

(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-oo,6］,則實(shí)數(shù)a的值(或取值范

圍)是；

⑵若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-co,6］上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的值(或取值范

圍)是.

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,6］,且函數(shù)f(x)圖象

的對(duì)稱軸為直線x=l-a,所以有l(wèi)-a=6,即a=-5.

⑵因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-8,6］上單調(diào)遞減,且函數(shù)f(x)圖象的對(duì)

稱軸為直線x=l-a,所以l-a16,即aW-5.

答案：(1)-5(2)(-8,一5］

5.(2021?吉林松原高三模擬)寫出一個(gè)符合“對(duì)Vxi,x2eR,當(dāng)x】Wx2

v

時(shí)，(X「X2)［f(Xi)-f(x2)］<0的函數(shù)：f(x)=.

解析:設(shè)VX1,X2GR,X1<X2,則f(X1)>f(x2),由單調(diào)性的定義可知，函數(shù)

f(X)是定義域?yàn)镽的減函數(shù),所以函數(shù)f(x)=-x滿足題意.

答案：-x(答案不唯一)

類今考點(diǎn)您實(shí)四案

關(guān)鍵能力，課堂突破

戚考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

1.下列函數(shù)中，滿足“Vxi,x2e(o,+8)且xiW

>>

x2,(xi-x2),[f(xi)-f(X2)]<O的是(C)

A.f(x)=2"B.f(x)=|x-lI

C.f(x)--xD.f(x)=ln(x+l)

X

解析：由(X1-X2)?[f(Xi)-f(x2)]<0可知，f(x)在(0,+8)上是減函

數(shù),A,D選項(xiàng)中,f(x)為增函數(shù);B選項(xiàng)中,f(x)=|xT|在(0,+8)上不

單調(diào)；對(duì)于f(x)4-x,因?yàn)閥,與y=-x在(0,+8)上均為減函數(shù)，因此

XX

f(X)在(0,+8)上是減函數(shù).故選c.

2.函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)

A.(-8,-2)B.(-8,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

解析：由X2-2X-8>0,得f(x)的定義域?yàn)閧x|x>4或x<-2}.

設(shè)t=x?-2x-8,則y=lnt為增函數(shù).

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即函數(shù)t=xz-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間(定義域

內(nèi)).

因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-8在(4,+8)上單調(diào)遞增,在(-00,-2)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8).故選D.

3.函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：之2,

(一％“+2x,x<2.

畫出f(x)的大致圖象(如圖所示),

由圖知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2].

答案：[1,2]

一題后悟通;

判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法

⑴利用已知基本初等函數(shù)的單調(diào)性(如一次、二次、反比例、指數(shù)、

對(duì)數(shù)等函數(shù))，轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間.

(2)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作此

可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.一般地,解析式中含絕對(duì)值的

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用此法.

(3)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(4)復(fù)合函數(shù)法:如果是復(fù)合函數(shù),則首先將一個(gè)函數(shù)“拆分”成幾個(gè)

簡(jiǎn)單函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則判斷.

說明：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先需要求函數(shù)的定義域.

彳考點(diǎn)二求函數(shù)的最值(值域)

方法-基本不等式法

函數(shù)f(x)二六的值域?yàn)?)

xz+l

A.(-°0,-2]U[2,+8)

B.-1]U[1,+8)

C.(-°°,U+8)

D.[A-]

22

解析:當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0;

當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)=」7W一=；,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號(hào)成立；

當(dāng)x<0時(shí),f(x)="〈0,且f(X)=-YTN--2_：=4,

%+1⑷+與2r(-x).i2

7x

當(dāng)且僅當(dāng)X=-1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述,函數(shù)f(x)=-^的值域?yàn)閁，；].故選D.

x2+l22

產(chǎn)解題策略I

利用基本不等式法求最值應(yīng)先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三

相等”的條件后用基本不等式求出最值，若自變量符號(hào)不確定,則需要

分類討論.

方法二換元法

(SO求下列函數(shù)的值域.

(l)f(x)=4x+(1)x+l(x^0);

(2)f(x)=2x+VF2x.

解：(1)因?yàn)閤NO,設(shè)t=(1)xe(o,l],y=t2+t+l,te(o,1],

y=t2+t+l=(t+|)2+^.

由于函數(shù)y=t2+t+l在(0,1]上單調(diào)遞增，

所以l<t2+t+1^3,因此函數(shù)的值域?yàn)橐?].

⑵令VF石占t20,則2x=l-t2(t^0),

所以函數(shù)y=-t2+t+l(t^0),

又函數(shù)y=Y+t+l(t20)圖象的對(duì)稱軸方程為tgeO,且開口向下，

所以==_2

yraaxy|t_i(1)+|+1=|,

所以函數(shù)y=2x+“-2%的值域?yàn)?-8,刃.

4

,解題策略I

1.形如y=ax±b±Vcx±d,通過換元將他們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù),通過求

有理函數(shù)的值域間接求原函數(shù)的值域.

2.若函數(shù)的解析式可以看作是一個(gè)關(guān)于基本初等函數(shù)的二次式,可以

考慮換元法，但是要注意換元后新元的取值范圍.

方法三函數(shù)的單調(diào)性法

?O求下列函數(shù)的值域.

(2)f(x)=74-x7x+2.

解：⑴因?yàn)閒(x)①X=3x上在[-1,4：上是增函數(shù)，

xx2

f(-l)=T,f(4)=|,

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?/p>

⑵因?yàn)樗?2<xW4,

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,4].又y,=V4-x,+2在區(qū)間

[-2,4]上均為減函數(shù),所以f(x)+2在—2,4]上為減函數(shù),

所以f(4)Wf(x)Wf(-2),即-遍Wf(x)W遍,所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

[-V6,V6].

解題策略:

若已知函數(shù)具有明顯的單調(diào)性,則應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)

性求最值.

方法四分離常數(shù)法

(例1~4函數(shù)的值域是()

2+%2

A.(-1,B.(-1,1)

C.(―(-2,2)

解析:法一尸(]+?+3r三,因?yàn)?+x?22,所以。〈義〈今所以

2+x22+xz2+x22

所以函數(shù)y4馬的值域是(-1,勺.故選A.

2+xz22+xz2

法二由y=二馬可得x2=^,由x2^0可得上空20且y+IWO,解得

2+x2y+1y+1

-Ky^,因此函數(shù)的值域是(-1,與?故選A.

，解題策略

一般地，形如y=￥*(acWO)(f(x)為常見的基本初等函數(shù))的函數(shù)

cf(x)+d

常用分離常數(shù)法或反解法(即用y表示f(x),然后借助f(x)的取值范

圍求y的取值范圍).

方法五數(shù)形結(jié)合法(圖象法)

'JO若定義運(yùn)算a*b=，40]則函數(shù)g(x)=(-X2-2X+4)*(-x+2)的

值域?yàn)?)

A.(-8,4]B.(-8,2]

C.[1,+°°)D.4)

b,a>b,

解析：由a*b=

a,a<b,

得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)

_(~x+2,[-2,1],

[-X2~2X+4,X￡(-°°,-2)U(1,+°°),

當(dāng)x￡[-2,1],g(x)=-x+2e[1,4],當(dāng)x￡(-°°,-2)U(1,+

°°),g(x)=-(x+l)2+5<4,可得g(x)W4.故選A.

若所求值域的函數(shù)的圖象容易作出，則先作出函數(shù)的圖象,通過觀察

其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出最值(值域).一般地,涉及新定義問題

的函數(shù)最值或分段函數(shù)的最值問題,常借助圖象法求解.

[針對(duì)訓(xùn)練]

1.函數(shù)丫=六的值域?yàn)?)

2%+3

A.(0,1)B.(0,

C.(-°°,1)D.[+8]

解析：因?yàn)?>>002'+3>300〈總號(hào)所以函數(shù)丫=總的值域?yàn)?0,

2人+332人+33

故選A.

2.函數(shù)f(x)=V%-l+2x的值域?yàn)?)

A.[-1,+°°)B.[0,+°°)

C.[1,+8)D.[2,+°°)

解析:令xT，0,解得x令1,函數(shù)f(x)在[1,+8)上為增函數(shù),所以f(x)

￡[2,+8),即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,+8).故選D.

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義min{a,b}。設(shè)函數(shù)

kb,a>b.

f(x)=-x+3,g(x)=log2x,則函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值

是.

解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(X),g(x)圖象,依題意,h(X)

的圖象如圖實(shí)線部分所示.易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn)，因此h(x)

的最大值為h(2)=1.

答案：1

4.函數(shù)燈碧的值域是

Vl+x2--------

解析:

Vl+x2vl+x2Vl+x2

令則y=t+-^2口^=2(當(dāng)且僅當(dāng)t=；即t=l,即

t7tt

x=0時(shí),取等號(hào))，因此函數(shù)的最小值為2.函數(shù)無最大值，即函數(shù)的值

域是2+8).

答案：［2,+8)

啜考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

口角度一利用單調(diào)性比較大小

CMO已知函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)l<xi<x2

時(shí)，[f(x2)-f(xj](x2-X1)>0恒成立,設(shè)a=f(-1),b=f(2),c=f(3),則

a,b,c大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,又因?yàn)楫?dāng)1<X,<X2

時(shí)，[f(X2)-f(Xl)](X2-X1)>0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(1,+8)上單調(diào)

遞增，

因此f⑶>f(|)=f(-1)>f(2),即b<a<c.故選A.

["解題策略I

利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí),應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對(duì)稱性等)將自

變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,利用單調(diào)性比較大小.

摘度二利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

(例2二2已知函數(shù)f(x)=-x|x|,xG(-1,1),則不等式f(1-m)<f(m2-l)的

解集為?

解析：函數(shù)f<"工)則f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,不等

I-%2,0<%<1,

-1<1-m<1,

式f(l-m)<f5-1)可轉(zhuǎn)化為卜1<式-1<1,解得0<m<l.

.m2-l<1-m,

答案：{m|O〈m〈l}

>解題策略I

解決與抽象函數(shù)有關(guān)的變量的取值范圍問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單

調(diào)性“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式，常見

的轉(zhuǎn)化方法為:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),對(duì)任意X”X2^D,

且f(X1)<f(x2),則有X《X2；若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù),對(duì)任

意XbX2$D，且f(X,)<f(X2),則有X〉X2.但需要注意的是不要忘記函數(shù)

的定義域.

。角度三含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性

華已知函數(shù)f(x)4XX>.<D'在xER上單調(diào)遞減，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,|)

C.［f］D.(0,U⑵3)

283

解析：由函數(shù)f(x)=9%2-8產(chǎn)｝3(X<1)，在x￡R上單調(diào)遞減可知函

2

數(shù)y=2x-8ax+3在區(qū)間(-8,1)上是減函數(shù)，函數(shù)y=lOgax在區(qū)間［1,+

8)上是減函數(shù),且左邊函數(shù)的最小值大于等于緊挨著它的右邊函數(shù)

的最大值，因此

,2a>1,

0<a<l,解得LWaWS.故選C.

、2-8a+3>logal,~

.解題策略I

對(duì)于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題，除了保證在定義

域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外，還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的

大小關(guān)系.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且函數(shù)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)

遞增，則下列關(guān)系式成立的是()

A.f(-^)<f(-3)<f(4)

B.f(-3)<f(-1)<f(4)

C.f(-3)<f(4)<f(-^)

D.f(4)<f(-|)<f(-3)

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以f(-3)=f⑶，f(-辨f(,，

又因?yàn)?<|<4且f(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增,所以f(3)<f(，<f(4),

所以f(-3)〈f(1)<f(4).故選B.

2.(2021?山東濟(jì)南模擬)若函數(shù)產(chǎn)2，在R上

單調(diào)遞增，則