2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第3節(jié)平行關(guān)系教師用書文北師大版

PAGEPAGE1第三節(jié)平行關(guān)系[考綱]1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理：假設(shè)平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．(2)性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與平面的交線與該直線平行．(3)符號(hào)與圖形語(yǔ)言2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(2)性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．(3)符號(hào)與圖形語(yǔ)言1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)假設(shè)一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．()(2)假設(shè)直線a∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．()(3)假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．()(4)假設(shè)兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)以下命題中，正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．假設(shè)直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．假設(shè)直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．假設(shè)直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，那么b∥αD[根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.]3．(2022·北京高考)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mα，“m∥β〞是“α∥β〞的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[當(dāng)m∥β時(shí)，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥β?/α∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙α，所以m∥β.綜上知，“m∥β〞是“α∥β〞的必要而不充分條件．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，那么BD1與平面ACE平行[如下圖，連接BD交AC于F，連接EF，那么EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2022·河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)mα，n∥α，那么m∥n；②假設(shè)α∥β，β∥γ，m⊥α，那么m⊥γ；③假設(shè)α∩β＝n，m∥n，m∥α，那么m∥β；④假設(shè)α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β.其中是真命題的是________(填上序號(hào))．②[①，m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③，m∥β或mβ，故③錯(cuò)誤；④，α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤．]與線、面平行相關(guān)命題真假的判斷(2022·安徽高考)m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)α，β垂直于同一平面，那么α與β平行B．假設(shè)m，n平行于同一平面，那么m與n平行C．假設(shè)α，β不平行，那么在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．假設(shè)m，n不平行，那么m與n不可能垂直于同一平面D[A項(xiàng)，α，β可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，假設(shè)mα，α∩β＝n，m∥n，那么m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，那么必有m∥n，所以原命題正確，故D項(xiàng)正確．][規(guī)律方法]1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng)．2．(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過舉反例否認(rèn)結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．[變式訓(xùn)練1](2022·唐山模擬)假設(shè)m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)m∥α，m∥n，那么n∥αB．假設(shè)mα，nβ，m∥β，n∥α，那么α∥βC．假設(shè)α⊥β，m∥α，n∥β，那么m∥nD．假設(shè)α∥β，m∥α，n∥m，nβ，那么n∥βD[在A中，假設(shè)m∥α，m∥n，那么n∥α或nα，故A錯(cuò)誤．在B中，假設(shè)mα，nβ，m∥β，n∥α，那么α與β相交或平行，故B錯(cuò)誤．在C中，假設(shè)α⊥β，m∥α，n∥β，那么m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤．在D中，假設(shè)α∥β，m∥α，n∥m，n?β，那么由線面平行的判定定理得n∥β，故D正確．]直線與平面平行的判定與性質(zhì)(2022·南通模擬)如圖7-3-1所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)假設(shè)平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．圖7-3-1[解](1)如下圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1.2分連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1∴OD1∥BC1.4分又∵OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.6分(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，8分∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由題(1)可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.12分[規(guī)律方法]1.判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用反證法(線面平行的定義)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．2．利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過直線作一平面找其交線．[變式訓(xùn)練2](2022·全國(guó)卷Ⅱ)如圖7-3-2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．圖7-3-2(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱錐P-ABD的體積V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距離．[解](1)證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.3分因?yàn)镋O平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.5分(2)由V＝eq\f(1,6)PA·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB，又V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB交PB于點(diǎn)H.7分由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13).所以A到平面PBC的距離為eq\f(3\r(13),13).12分平面與平面平行的判定與性質(zhì)如圖7-3-3所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.圖7-3-3[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C又∵B1C1∥BC∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.5分(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.7分∵A1G綊EB∴四邊形A1EBG是平行四邊形，那么A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.10分∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.12分[遷移探究]在本例條件下，假設(shè)點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.[證明]如下圖，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1∴HD∥A1B.5分又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.12分[規(guī)律方法]1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．2．面面平行的性質(zhì)定理的作用：(1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問題的指導(dǎo)思想．解題時(shí)要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向．易錯(cuò)警示：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)，需要說明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行．[變式訓(xùn)練3](2022·山東高考)在如圖7-3-4所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB.圖7-3-4(1)AB＝BC，AE＝EC，求證：AC⊥FB；(2)G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC.[證明](1)因?yàn)镋F∥DB，①所以EF與DB確定平面BDEF.2分如圖①，連接DE.因?yàn)锳E＝EC，D為AC的中點(diǎn)，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分因?yàn)镕B平面BDEF，所以AC⊥FB.5分②(2)如圖②，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在△CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GI∥EF.8分又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因?yàn)镚H平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分[思想與方法]1．線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化其中線面平行是核心，線線平行是根底，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化．2．直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)．3．平面與平面平行的主